by 
Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, έχουν προσδεθεί δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m1=3kg και m2=1kg, οι οποίες αντιμετωπίζονται ως υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, δημιουργώντας ένα στερεό S. Στηρίζουμε τη ράβδο στο σημείο Ο, με αποτέλεσμα το στερεό να ισορροπεί με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.
i) Να αποδείξετε ότι (ΑΟ=x=d/4. Ποιο σημείο είναι το κέντρο μάζας του στερεού S;
Αφαιρούμε τις δυο σφαίρες από την ράβδο και τις συνδέουμε στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l0=88cm. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, οπότε κάθε σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ=π/2 s, γύρω από το κέντρο μάζας Κ του συστήματος των δύο σφαιρών, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη).
ii) Να υπολογιστούν οι ακτίνες των δύο κυκλικών τροχιών, που διαγράφουν οι δυο σφαίρες.
iii) Πόση ενέργεια απαιτήθηκε για να τεθεί το παραπάνω σύστημα σε περιστροφή;
iv) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών.
v) Ποια η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών, ως προς το κοινό κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, που διαγράφουν.
Καλημερα και καλή βδομάδα σε όλους.
Μια ανάρτηση σαν συνέχεια της χθεσινής:
Η περίοδος περιστροφής του συστήματος
του Μίλτου Καλδιτζόγλου.
Πηγαίνοντας από την Β΄τάξη, στην Γ!
Δικαιωματικά η ανάρτηση αφιερώνεται στον Μίλτο.
Διονύση καλημέρα.
Ευχαριστώ πάρα πολύ για την αφιέρωση!
Όπως είχα γράψει και σε σχόλιό μου στην αντίστοιχη ανάρτηση, η αρχική σκέψη ήταν η κατασκευή του θέματος με ερωτήματα που θα κάλυπταν ανάγκες και της Γ. Επέλεξα τη Β.
Να είσαι καλά, ευχαριστώ και πάλι για την αφιέρωση και την ετοιμότητά σου.
Καλημέρα Μίλτο.
Νομίζω ότι είναι ένα ζωντανό παράδειγμα της αλληλεπίδρασης που μπορούμε να έχουμε στο δίκτυό μας!
Να είσαι καλά.
Ακριβώς Διονύση!
Ξεχωρίζω πάντως το ερώτημα (iii) στην ανάρτησή σου.
Ίσως επειδή δεν το σκέφτηκα και δεν θα το ζητούσα!
Καλημέρα Διονύση
Χρήσιμοι οι μετασχηματισμοί για την προαγωγή ενός θέματος σε ανώτερη τάξη.
Το πέτυχες όμορφα
Καλή συνέχεια 🙂
Καλημέρα Παντελή.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
καλημέρα σε όλους
πολύ καλή, Διονύση
(πειραματικά, πάντως, δεν στήνεται ούτε με σφαίρες, κανονικές όπλου δηλαδή…)
Καλό μεσημέρι Βαγγέλη.
“Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, …”
Η υπόθεση εργασίας… δεν αμφισβητείται 🙂
Επανέρχομαι Βαγγέλη για να δώσω ένα παράδειγμα, υποστηρικτικό της παραπάνω θέσης, αλλά και να κάνω μια πρόταση προς έναν … πειραματικό.
Τι λες να στήσεις ένα πείραμα, για να υλοποιήσεις το παρακάτω πρόβλημα (από το σχολικό βιβλίο):
Διονύση, γράφει “θεωρούμε ότι”, άρα παύει να είναι πειραματική…
(έχω και ένα ερώτημα ακόμη για την αρχική άσκηση: πώς καταφέρνουν τα σφαιρίδια και τα ελατήρια να περνούν μέσα από το άλλο ελατήριο καθώς διαγράφουν κύκλους χωρίς να το κόβουν;)
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Ρωτάς: «πώς καταφέρνουν τα σφαιρίδια και τα ελατήρια να περνούν μέσα από το άλλο ελατήριο καθώς διαγράφουν κύκλους χωρίς να το κόβουν;»
Τα σφαιρίδια θα περνούσαν μέσα από το ελατήριο, αν το ελατήριο ήταν ακίνητο και τα σφαιρίδια περιφέρονταν εκτελώντας κυκλικές κινήσεις. Αλλά τα σφαιρίδια συνδέονται με το ελατήριο, το οποίο περιστρέφεται μαζί με τα σφαιρίδια. Αλλά τότε ποτέ κανένα σφαιρίδιο δεν θα βρει μπροστά του, κατά την διάρκεια της κίνησής του το ελατήριο.
Ας το δούμε μέσω του σχήματος, όπου δείχνονται 5 στιγμιότυπα, απέχοντα χρονικά κατά Τ/4 (το 1ο για t=0 και το 5ο για t=Τ).
Στο σχήμα με μπλε ο κύκλος που διαγράφει το μπλε σφαιρίδιο και με κόκκινο ο αντίστοιχος κύκλος για το κόκκινο. Προφανώς το κέντρο μάζας Κ παραμένει ακίνητο και στα 5 στιγμιότυπα βρίσκεται στην ίδια θέση και δεν έχει μετατοπισθεί.
Σωστός!
(έχουν την ίδια περίοδο, οπότε είναι διαρκώς απέναντι)
Πολύ όμορφη προέκταση στην άσκηση του Μίλτου! Ευχαριστούμε πολύ Διονύση .
Ωραίο θέμα συνέχεια του θέματος του Μίλτου (ο δημιουργός είναι γρήγορος, αποτελεσματικός 🙂 ).
Να σχολιάσω ότι το θέμα του Μίλτου έχει ένα βαθμό δυσκολίας για την Β λυκείου (του έγραψα και στην ανάρτηση του: λόγω της παρουσίας του ελατηρίου).
Το θέμα όμως της παρούσας ανάρτησης είναι πολλαπλά χρήσιμο για τους μαθητές της Γ λυκείου.
Πολύ ωραία παρουσίαση της λύσης.
Καλημέρα και από εδώ Παύλο, καλημέρα Κώστα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χαίρομαι που σας άρεσε.
Καλημέρα Διονύση.Οπως πάντα μια όμορφη και διδακτική άσκηση!
Καλημέρα Γιώργο.
Σε ευχαριστώ για τον καλό σου λόγο.
Υποδειγματικά σχεδιασμένη ανάρτηση…..
Ξεκινώντας από την εύρεση του ΚΜ έφτασες στις κυκλικές κινήσεις των σφαιρών
γύρω από αυτό, με ρόλο κεντρομόλου δύναμης για κάθε σφαίρα τη δύναμη του ελατηρίου….
Κατά τη γνώμη μου, εξαιρετικά είναι και τα δύο τελευταία ερωτήματα.
Νομίζω θα ξαφνιάσει πως ενώ p(ολ)=0, L(ολ) διάφορο από το μηδέν
Εδώ κρύβεται ο ορισμός της στροφορμής μέσω του εξωτερικού γινομένου,
αν το βλέπω σωστά.
Νομίζω καλύτερο παράδειγμα “ομαδικής” συνεργασίας με την ανάρτηση
του Μίλτου δεν θα μπορούσε να υπάρξει.
Σας το αφιερώνω, αξίζει να το δείτε, 30sec διαρκεί
Ο Μίλτος (Καράμπελας) δίνει την ασίστ και ο Διονύσης (Μάκλεμορ) καρφώνει
Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό, καθώς και την μπασκετική αφιέρωση.
Η αλήθεια είναι ότι η όλη ιδέα ανήκει στον Μίλτο. Εγώ απλά «πήρα την μπάλα», εκμεταλλευόμενος την ευκαιρία, πράγμα που μου λείπει, μιας και έχω περάσει στην απομαχία.
Κάποτε οι αφορμές δίνονταν από ερωτήματα και συζητήσεις μέσα στην τάξη…
Επί της ουσίας τώρα, από τη στιγμή που το κέντρο μάζας των δύο σφαιρών παραμένει ακίνητο δεν μπορεί παρά οι ορμές τους να είναι αντίθετες! Θυμίζω την θέση (και την ταχύτητα) του κ.μ.:
Ενώ όμως οι δυο ορμές είναι αντίθετες, οι δυο στροφορμές ως προς το κ.μ. έχουν την ίδια κατεύθυνση (οι σφαίρες στρέφονται με την ίδια φορά), με αποτέλεσμα το άθροισμά τους να είναι διάφορο του μηδενός.
Καλημέρα Διονύση
να συμπληρώσω πως και Κ1+Κ2 (μονόμετρο βέβαια)διάφορο του 0
Καλημέρα Παντελή.
Βεβαίως!