by 
Από την 17η Ολυμπιάδα Μαθηματικών δημόσιων σχολείων στη Βραζιλία:
Έστω ότι και οι δύο προτάσεις που ακολουθούν είναι αληθείς:
- Ο Πινόκιο πάντοτε ψεύδεται.
- Ο Πινόκιο λέει, «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα».
Από τις παραπάνω δύο προτάσεις μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Α) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Β) Ο Πινόκιο έχει μόνο ένα πράσινο καπέλο.
Γ) Ο Πινόκιο δεν έχει καπέλα.
Δ) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον πράσινο καπέλο.
Ε) Ο Πινόκιο δεν έχει πράσινα καπέλα.
Ποια πρόταση επιλέγετε;
Γ
Γεια σου Βαγγέλη.
Γιατί αποκλείεις τις άλλες;
Θα απαντήσω και ο ίδιος αλλά θα αναρτήσω και το βίντεο από τον εξαιρετικό χώρο που το αλίευσα.
Αυτό είτε δοθεί σωστή απάντηση, είτε όχι.
Θα επιχειρήσω επίσης να συσχετίσω Αριστοτέλη με Μπουλ.
Είναι ένας καταπληκτικός γρίφος, γι’ αυτό τον ανέβασα. Εδράζεται στα θεμέλια της Μαθηματικής Λογικής.
Το μου σημαίνει ότι έχει καπέλα, άρα ψέμα
Δεν κατάλαβα Βαγγέλη.
Η πρόταση Γ λέει ότι “Ο Πινόκιο δεν έχει καπέλα”. Αν ο Πινόκιο έχει καπέλα τότε είναι λανθασμένη πρόταση. Γιατί την επιλέγεις;
Έπειτα Βαγγέλη γιατί να αποκλείσουμε την επιλογή Α που έκανε ο Παύλος;
Γιατί να αποκλείσουμε τις άλλες;
Θα μπορούσε να υπάρχουν περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις.
Περισσότερα συμπεράσματα ή κανένα συμπέρασμα αν οι προτάσεις που επιλέγονται δεν αντιφάσκουν.
Διότι το μου στην πρόταση 2
Καλό μεσημέρι.Γεια σου Γιάννη, θα έλεγα το Α.
Γεια σου Παύλο.
Όμως:
Λόγου χάριν ο Βαγγέλης επέλεξε το Γ. Γιατί να μη δεχθούμε την επιλογή του;
Το γεγονός ότι η πρόταση που αναφέρει είναι ψευδής σημαίνει πως μπορει κανένα από τα καπέλα του (μπορεί να έχει μόνο ένα) δεν είναι πράσινου χρώματος ή ένα μέρος των καπέλων του αν έχει πολλά να είναι πρασίνου χρώματος. Άρα η πιο «σωστή» πρόταση είναι ότι έχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Στη δήλωση 2 λέει όλα μου, άρα δεν έχει κανενα
Ψευδής πρόταση δεν σημαίνει ότι το “μου” είναι ψέμα.
Για παράδειγμα Βαγγέλη, αν έχει 4 κόκκινα καπέλα και ένα πράσινο και πει:
-Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα.
τότε ψεύδεται όπως το συνηθίζει.
Δεν μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι δεν έχει καπέλα.
Οι δύο προτάσεις ισχύουν:
Γεια σου Βαγγέλη, δεν ξέρω μπορεί να έχεις δίκιο αλλά με αυτήν την λογική μπορεί να μην αναφέρεται σε καπέλο αλλά σε κάποιο άλλο αντικείμενο και το αναφέρει ψευδώς ως καπέλο.
Το θέμα Παύλο δεν είναι αν έχει όλα του τα σορτσάκια πράσινα και τα λέει καπέλα. Το θέμα είναι τι συμβαίνει με τα καπέλα του.
Ποια πρόταση είναι σωστή ή ποιες προτάσεις θα; μπορούσαν να είναι σωστές, οπότε δεν έχουμε συμπέρασμα.
θα τις βάλω με την σειρά από την πιο λάθος στην πιο σωστή (αυτές που θεωρώ) : 1.Γ, 2.Ε , 3.Β , 4.Δ , 5.Α.
Αν κατάλαβα Παύλο θεωρείς την Γ λανθασμένη πρόταση.
Δεν θα μπορούσε ο ψευταράς Πινόκιο να μην έχει καπέλο και να μας παραμυθιάσει ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα;
Δεν μπορώ εγώ (που δεν έχω κόρες) να πω ότι “όλες οι κόρες μου είναι ξανθές”;
Οι άλλες γιατί είναι ψευδείς;
Η Α είναι αληθής ή απλώς η πιθανότερη;
Γιατί είναι ψευδείς όσες είναι ψευδείς;
Γιατί η Α είναι αληθής; (Αν την θεωρείς αληθή).
Ναι δεν το διατύπωσα σωστά , η κατάταξη που έδωσα είναι από την λιγότερο πιθανή σωστή απάντηση προς την πιο πιθανώς σωστή απάντηση.
Να βοηθήσω λίγο:
Το θέμα είναι από Μαθηματική Ολυμπιάδα. Δεν είναι κουίζ από περιοδικό ή από εκείνα του διαδικτύου σαν αυτό με τα δέκα άλογα που χωράνε σε εννέα κουτάκια:
Είναι ένα σοβαρό πρόβλημα Μαθηματικής Λογικής.
Για να αποκλείσω την περίπτωση να μπερδεύει η κακή μετάφραση που έκανα, το πρωτότυπο κείμενο του γρίφου:
Καλησπέρα σας
Γιάννη, ενδιαφέρον πρόβλημα!
Μια αντιμετώπιση με προτασιακό λογισμό στον σύνδεσμο εδώ.
Θρασύβουλε η πρωτότυπη λύση χρησιμοποιεί επίσης τον ίδιο πίνακα αληθείας που χρησιμοποίησες. Διευκρινήσεις θέλει.
Γράφεις:
Θα απορήσει κάποιος με ότι το “Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα” ισοδυναμεί με την “Έχω καπέλο, άρα είναι πράσινο”;
Γιατί στην τρίτη και στην τέταρτη σειρά το “δεν έχω καπέλο” συμβιβάζεται με το “το καπέλο μου είναι πράσινο”;
Αν η απλή πρόταση p είναι αληθής τούτο δεσμεύει την απλή πρόταση q.
Αν όμως η απλή πρόταση p – η βάση μας – είναι ψευδής τότε ό,τι και αν πούμε για την απλή πρόταση q καθιστά τη σύνθετη πρόταση p=>q αληθή.
Η λογική είναι ό,τι εφόσον η αφετηρία p είναι εσφαλμένη, δεν υφίσταται καμιά δέσμευση για την q. Δεχόμαστε ως αληθή τη σύνθετη πρόταση υποχρεωτικά.
Καταλαβαίνω και συμφωνώ.
Εστίασα στο vacuous truth.
Το Α.
Γιώργο γιατί είναι η μόνη σωστή;
Εκανα δυο σκέψεις. Η μια (δεύτερη)παρόμοια με του Θρασύβουλου. Η πρωτη ,μπακαλικη ,ξεκινώντας απο τις απαντήσεις η μοναδικη που απαντούσε δε δύο αρνήσεις συγχρόνως περα απο τις επιμέρους φαιινεται μονο η Α.
Καλή σκέψη Γιώργο.
Η υπόθεση έχει πολύ ψωμί.
Η “μπακάλικη” σκέψη ξεκινά απο την αρνηση της υπόθεσης¨´Οχι όλα τα καπέλα ειναι οχι πράσινα.
Με αναλυτική σκέψη ξεκινώντας από τις πέντε απαντήσεις η μοναδική που στέκει και στις δύο αρνήσεις είναι η Α.
Αργότερα έκανα συνδυαστικές σσυγκρλισεις (όχι με πίνακα όπως έκανε ο Θρασύβουλος) και έφτασα στο ίδιο συμπέρασμα.
Εμένα μου αρέσει περισσότερο η “μπακάλικη “σκέψη (όπως συνήθως)
Δεν υπάρχει μπακάλικος τρόπος.
Τυποποιημένη πορεία υπάρχει ή πορεία με διαδοχικούς αποκλεισμούς ή πορεία με πίνακες αληθείας. Όλα αποδεκτά.
Η πρωτότυπη λύση:
Σ’ αυτήν θα δούμε ένα παράδοξο. Είναι η vacuous trouth
Είναι και ο λόγος που ανάρτησα τον γρίφο.
Θα γράψω κάτι σύντομα.
Είναι σχετικά απλό το να βρούμε μία σωστή λύση.
Αφού ο Πινόκιο ψεύδεται η λύση πρέπει να είναι η άρνηση της πρότασης «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα», ή έστω πρόταση που απορρέει από την άρνηση.
Πως φτιάχνουμε την άρνηση μιας πρότασης;
Βάζουμε εκεί που λέει «Υπάρχει» το «Διά κάθε» και όπου λέει «Διά κάθε» το «Υπάρχει». Προσθέτουμε έπειτα το «δεν» ή το «Μη».
Έτσι η άρνηση της πρότασης «Κάθε καπέλο μου είναι πράσινο» είναι η «Υπάρχει καπέλο μου μη πράσινο».
Αφού υπάρχει μη πράσινο καπέλο καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Η Α πρόταση είναι απόρροια της άρνησης της πρότασης που εκφέρει ο Πινόκιο. Η άρνηση είναι αληθής αφού ο Πινόκιο λέει πάντα λανθασμένες προτάσεις. Η πρόταση Α είναι σωστή ως απορρέουσα από αληθή.
Οι άλλες όμως;
Υπάρχουν άλλες σωστές προτάσεις;
Η Γ είναι λάνθασμένη μια και αποτελεί την άρνηση της (αληθούς) Α.
Η Β είναι λανθασμένη διότι ο Πινόκιο θα μπορούσε να έχει 5 πράσινα καπέλα και 2 μπλε και να μας πει (ψευδόμενος) ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Η Δ είναι λανθασμένη διότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να έχει 4 μπλε καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Η Ε είναι λάθος διότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να έχει 2 πράσινα και δύο μαύρα καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Εδώ όμως προκύπτει ένα σοβαρό θέμα:
Θα πει κάποιος ότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να μην έχει καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι τα καπέλα του είναι πράσινα. Θα μπορούσε να κάνει κάτι τέτοιο;
Δεν θα μπορούσε να το κάνει διότι τότε θα έλεγε αλήθεια ενώ έχει διαταχθεί να λέει ψέματα. Το παράδοξο είναι ότι αν δεν έχεις καπέλα η πρόταση «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα» είναι αληθής.
Είναι περίπτωση vacuous truth.
Για να μην κουράζω θα συνεχίσω σε άλλο σχόλιο.
Η συνέχεια:
Έρχεται ένας παραμυθατζής που δεν έχει κόρες και μας λέει:
-Οι κόρες μου είναι ξανθιές.
Είπε (κατά τη Μαθηματική Λογική) αλήθεια.
Συμπέρασμα Ε ή Γ.
Η πρόταση : “όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα”
μπορεί να θεωρηθεί σύζευξη Λ δύο προτάσεων
“α: Έχω καπέλα” Λ “β. όλα υα καπέλα που έχω είναι πράσινα”
Η σύζευξη : (“α.” Λ “β.” ) είναι ψευδής αν είναι ψευδής είτε η α είτε η β είτε και οι δυο.
Όχι Μήτσο. Δεν είναι έτσι.
Πρόκειται για μια πρόταση “αληθή εν κενώ”.
Θα παραθέσω σύντομα απόδειξη για κάθε εν κενώ αλήθεια.
επανέρχομαι, Γιάννη
θεωρώ ότι το “όλα μου” είναι καταλυτικό, δείχνει και όλα και ιδιοκτησία, δεν είναι ισότιμο με το “που τυχόν έχω”, με το “αν έχω”, συνεπώς ψευδής πρόταση, άρα όλες οι άλλες απορρίπτονται διότι ενέχουν ιδοκτησία έστω και ενός καπέλου
(εν μέρει σωστή και η Ε, η οποία, όμως, αφήνει και ενδεχόμενο να έχει άλλου χρώματος καπέλο)
Βαγγέλη κυριολεκτώντας το “όλα μου τα καπέλα” ισοδυναμεί με το “Κάθε καπέλο μου”.
Θα παραθέσω σύντομα απλή απόδειξη της εν κενώ αληθούς πρότασης.
Αν μετέφρασα καλά το vacuous truth.
Διάβασε την απόδειξη που έγραψα, την απόδειξη του βίντεο και την απόδειξη του Θρασύβουλου.