by 
Από την 17η Ολυμπιάδα Μαθηματικών δημόσιων σχολείων στη Βραζιλία:
Έστω ότι και οι δύο προτάσεις που ακολουθούν είναι αληθείς:
- Ο Πινόκιο πάντοτε ψεύδεται.
- Ο Πινόκιο λέει, «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα».
Από τις παραπάνω δύο προτάσεις μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Α) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Β) Ο Πινόκιο έχει μόνο ένα πράσινο καπέλο.
Γ) Ο Πινόκιο δεν έχει καπέλα.
Δ) Ο Πινόκιο έχει ένα τουλάχιστον πράσινο καπέλο.
Ε) Ο Πινόκιο δεν έχει πράσινα καπέλα.
Ποια πρόταση επιλέγετε;
Αν κατάλαβα Παύλο θεωρείς την Γ λανθασμένη πρόταση.
Δεν θα μπορούσε ο ψευταράς Πινόκιο να μην έχει καπέλο και να μας παραμυθιάσει ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα;
Δεν μπορώ εγώ (που δεν έχω κόρες) να πω ότι “όλες οι κόρες μου είναι ξανθές”;
Οι άλλες γιατί είναι ψευδείς;
Η Α είναι αληθής ή απλώς η πιθανότερη;
Γιατί είναι ψευδείς όσες είναι ψευδείς;
Γιατί η Α είναι αληθής; (Αν την θεωρείς αληθή).
Για να αποκλείσω την περίπτωση να μπερδεύει η κακή μετάφραση που έκανα, το πρωτότυπο κείμενο του γρίφου:
Ναι δεν το διατύπωσα σωστά , η κατάταξη που έδωσα είναι από την λιγότερο πιθανή σωστή απάντηση προς την πιο πιθανώς σωστή απάντηση.
Καλησπέρα σας
Γιάννη, ενδιαφέρον πρόβλημα!
Μια αντιμετώπιση με προτασιακό λογισμό στον σύνδεσμο εδώ.
Το Α.
Γιώργο γιατί είναι η μόνη σωστή;
Θρασύβουλε η πρωτότυπη λύση χρησιμοποιεί επίσης τον ίδιο πίνακα αληθείας που χρησιμοποίησες. Διευκρινήσεις θέλει.
Γράφεις:
Θα απορήσει κάποιος με ότι το “Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα” ισοδυναμεί με την “Έχω καπέλο, άρα είναι πράσινο”;
Γιατί στην τρίτη και στην τέταρτη σειρά το “δεν έχω καπέλο” συμβιβάζεται με το “το καπέλο μου είναι πράσινο”;
Η πρωτότυπη λύση:
Σ’ αυτήν θα δούμε ένα παράδοξο. Είναι η vacuous trouth
Είναι και ο λόγος που ανάρτησα τον γρίφο.
Θα γράψω κάτι σύντομα.
Εκανα δυο σκέψεις. Η μια (δεύτερη)παρόμοια με του Θρασύβουλου. Η πρωτη ,μπακαλικη ,ξεκινώντας απο τις απαντήσεις η μοναδικη που απαντούσε δε δύο αρνήσεις συγχρόνως περα απο τις επιμέρους φαιινεται μονο η Α.
Καλή σκέψη Γιώργο.
Η υπόθεση έχει πολύ ψωμί.
Είναι σχετικά απλό το να βρούμε μία σωστή λύση.
Αφού ο Πινόκιο ψεύδεται η λύση πρέπει να είναι η άρνηση της πρότασης «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα», ή έστω πρόταση που απορρέει από την άρνηση.
Πως φτιάχνουμε την άρνηση μιας πρότασης;
Βάζουμε εκεί που λέει «Υπάρχει» το «Διά κάθε» και όπου λέει «Διά κάθε» το «Υπάρχει». Προσθέτουμε έπειτα το «δεν» ή το «Μη».
Έτσι η άρνηση της πρότασης «Κάθε καπέλο μου είναι πράσινο» είναι η «Υπάρχει καπέλο μου μη πράσινο».
Αφού υπάρχει μη πράσινο καπέλο καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον καπέλο.
Η Α πρόταση είναι απόρροια της άρνησης της πρότασης που εκφέρει ο Πινόκιο. Η άρνηση είναι αληθής αφού ο Πινόκιο λέει πάντα λανθασμένες προτάσεις. Η πρόταση Α είναι σωστή ως απορρέουσα από αληθή.
Οι άλλες όμως;
Υπάρχουν άλλες σωστές προτάσεις;
Η Γ είναι λάνθασμένη μια και αποτελεί την άρνηση της (αληθούς) Α.
Η Β είναι λανθασμένη διότι ο Πινόκιο θα μπορούσε να έχει 5 πράσινα καπέλα και 2 μπλε και να μας πει (ψευδόμενος) ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Η Δ είναι λανθασμένη διότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να έχει 4 μπλε καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Η Ε είναι λάθος διότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να έχει 2 πράσινα και δύο μαύρα καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι όλα του τα καπέλα είναι πράσινα.
Εδώ όμως προκύπτει ένα σοβαρό θέμα:
Θα πει κάποιος ότι θα μπορούσε ο Πινόκιο να μην έχει καπέλα και να μας πει ψευδόμενος ότι τα καπέλα του είναι πράσινα. Θα μπορούσε να κάνει κάτι τέτοιο;
Δεν θα μπορούσε να το κάνει διότι τότε θα έλεγε αλήθεια ενώ έχει διαταχθεί να λέει ψέματα. Το παράδοξο είναι ότι αν δεν έχεις καπέλα η πρόταση «Όλα τα καπέλα μου είναι πράσινα» είναι αληθής.
Είναι περίπτωση vacuous truth.
Για να μην κουράζω θα συνεχίσω σε άλλο σχόλιο.
Αν η απλή πρόταση p είναι αληθής τούτο δεσμεύει την απλή πρόταση q.
Αν όμως η απλή πρόταση p – η βάση μας – είναι ψευδής τότε ό,τι και αν πούμε για την απλή πρόταση q καθιστά τη σύνθετη πρόταση p=>q αληθή.
Η λογική είναι ό,τι εφόσον η αφετηρία p είναι εσφαλμένη, δεν υφίσταται καμιά δέσμευση για την q. Δεχόμαστε ως αληθή τη σύνθετη πρόταση υποχρεωτικά.
Η συνέχεια:
Καταλαβαίνω και συμφωνώ.
Εστίασα στο vacuous truth.