by 
Όταν η συνισταμένη δύναμη στο σώμα είναι της μορφής ΣF=-kx διατηρείται πάντα η μηχανική ενέργεια; Είναι αυτή η δύναμη πάντα διατηρητική;
Η προσωπική μου θέση διατυπώνεται μέσα από την επόμενη άσκηση
Σώμα μάζας m=2Kg ηρεμεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε κατάλληλη δύναμη οπότε το σώμα αρχίζει να μετακινείται πολύ αργά από τη θέση (Ο) μέχρι τη θέση (Γ), όπου το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δlo=0,32m . Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και δαπέδου, είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης και έχει τιμή μs=μ=0,5.
α) Να εκφράσετε το μέτρο της δύναμης F σε συνάρτηση με τη συσπείρωση του ελατηρίου Δl από τη θέση φυσικού μήκους, F=f(Δl), κατά τη διάρκεια της κίνησης ΟΓ και να υπολογίσετε τη δαπανώμενη ενέργεια για τη μετατόπιση αυτή.
Κάποια στιγμή αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί.
β) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που αποκτά το σώμα Kmax, μέχρι αυτή να μηδενιστεί για 1η φορά;
γ) Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για 1η φορά, είναι τμήμα αρμονικής ταλάντωσης και να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μέχρι τότε, καθώς και τη χρονική στιγμή μετά την έναρξη της κίνησης που θα συμβεί αυτό; Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την κίνηση του σώματος ως απλή αρμονική ταλάντωση;
δ)Σε πόση απόσταση d από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου θα σταματήσει το σώμα; Πόσο συνολικά διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε και ποια χρονική στιγμή μετά την έναρξη της κίνησης θα συμβεί αυτό ;
ε)Ποια η απώλεια μηχανικής ενέργειας, από τη στιγμή που αφήνουμε ελεύθερο το σώμα και μέχρι να σταματήσει;
Δίνεται: g=10 m/s^2
Η ιδέα της ανάρτησης στηρίχθηκε σε παλαιότερη ανάρτηση του 2016
του αξέχαστου Βαγγέλη Κορφιάτη
Η ανάρτηση με κλικ ΕΔΩ.
ή
Μία φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η μείωση του πλάτους δεν είναι εκθετική
Πολύ καλό παράδειγμα.
Να πούμε ότι όσο εκτελεί το τμήμα της ταλάντωσης διατηρείται η ενέργεια ταλάντωσης;
Καλησπέρα Γιάννη, να πούμε ότι:
όσο εκτελεί το τμήμα της ταλάντωσης διατηρείται η “ενέργεια” ταλάντωσης
δίνοντας έμφαση στα εισαγωγικά.
Να πούμε επίσης ότι όσο ταλαντώνεται η μηχανική ενέργεια χωρίς εισαγωγικά,
δηλαδή το άθροισμα της δυναμικής ελαστικής παραμόρφωσης και της κινητικής
μειώνεται, λόγω θερμικής απώλειας από το έργο της τριβής ολίσθησης.
Καλημέρα Θοδωρή.
“…επειδή βρήκες ΣF=-Dx εξασφάλισες ότι η δύναμη είναι συντηρητική. Αυτό δεν είναι σωστό.
Η συνισταμένη μπορεί να ικανοποιεί την μαθηματική σχέση ΣF=-Dx, αλλά είναι η τριβή ολίσθησης!!! Θα ορίσουμε δυναμική ενέργεια που θα την αποδόσουμε στην τριβή ολίσθησης;
Η σχέση ΣF=-Dx οδηγεί στα γνωστά περί δυναμικής ενέργειας, αν προηγούμενα εξασφαλίσουμε ότι η δύναμη είναι ανεξάρτητη του χρόνου και χωροεξαρτώμενη.
Όλα αυτά δεν τα “λέει” η εξίσωση… Δεν τα δίνει καμιά εξίσωση…”
Αυτά έγραφα πριν λίγες μέρες σε ένα σχετικό σχόλιο – απάντησή μου.
Και καλύτερη εφαρμογή, από την παραπάνω ανάρτηση, δεν θα μπορούσε να δοθεί!
Ας προσέξουμε να μην χάσουμε την μεγάλη εικόνα, αφήνοντας στην άκρη τους υπολογισμούς δυνάμεων και επιμέρους ζητουμένων.
Τι έχουμε;
Έχουμε μια κίνηση του σώματος, όπου σε κάθε θέση η συνισταμένη ικανοποιεί την σχέση:
ΣF=-Dx
Η παραπάνω εξίσωση (η διαφορική σε απλή εκδοχή…) μας επιτρέπει να βρούμε περίοδο και να γράψουμε, αν θέλουμε και την εξίσωση απομάκρυνσης x=Aημ(ωt+φ) και … τέλος.
Η εξίσωση αυτή δεν μας λέει τίποτα για ενέργειες!
Δεν είναι φανερό; Ξεχάστε τις επιμέρους ταλαντώσεις τις θέσεις ισορροπίας, τα πλάτη τα πάντα.
Το σώμα θα σταματήσει μετά από λίγο ναι ή όχι;
Και αν το σώμα ξεκινά να κινείται και μετά από λίγο σταματά, μπορεί κάποιος να αναφέρεται σε διατήρηση μηχανικής ενέργειας ή διατήρηση της “ενέργειας ταλάντωσης”;
Θοδωρή συγχαρητήρια για το “ξεκαθαριστικό” θέμα που ανέβασες!
ΥΓ
Παραπάνω δεν ασχολήθηκα, ούτε με την δύναμη του ελατηρίου, ούτε χρησιμοποίησα την λέξη “τριβή”, ασχολούμενος ΜΟΝΟ με την συνισταμένη. Τι μας λέει η εξίσωση της συνισταμένης για τις ενέργειες; Τίποτα…
Γεια σου Θοδωρή. Ξεκάθαρη η θέση σου, με την οποία βέβαια θα πρέπει να συμφωνήσουμε όλοι. Καλός ο αντίλογος, όταν συνοδεύεται όμως από ακλόνητα επιχειρήματα…
Καλημέρα συνάδελφοι.
Πολύ ωραία άσκηση Θοδωρή για να διασαφηνιστούν περισσότερο τα περί της συντηρητικότητας των δυνάμεων και τα της ενέργειας ταλάντωσης.
Μερικές σκέψεις:
1) Μπορεί η συνισταμένη δύναμη να δίνεται, για κάποιο χρονικό διάστημα, από την έκφραση ΣF=-Dx, αλλά δεν είναι συνάρτηση του x, με την έννοια ότι για κάθε x να έχουμε μία και μόνο μία τιμή της ΣF, για τη συγκεκριμένη διάταξη. Αυτό βέβαια οφείλεται στην τριβή. Στη συγκεκριμένη διάταξη, ανάλογα πώς κινείται (ή αν δεν κινείται το σώμα) η τριβή θα έχει άλλη τιμή. Με αποτέλεσμα αυτή η κατάσταση να προσδίδει και στη συνισταμένη την ίδια ιδιότητα. Η δύναμη από ελατήριο (Fελ), όπως επίσης και το βάρος (w) [συντηρητικές δυνάμεις] έχουν την ίδια τιμή σε κάποια θέση x, ανεξαρτήτως πώς θα βρεθούμε σε αυτή τη θέση. Είναι δηλαδή συναρτήσεις. Για κάθε τιμή του x έχω μία και μόνο μία τιμή για την Fελ και το w αντίστοιχα.
2) Στην άσκησή σου, όταν το σώμα σταματήσει οριστικά και θελήσουμε να αποδώσουμε σε αυτό δυναμική ενέργεια ταλάντωσης (λόγω της ταλάντωσης που εκτελεί με θέση ισορροπίας την ΘΙ2 και η οποία είναι ίση με 1/2DΑ2^2=0,02J) τίθεται το ερώτημα: υπάρχει αυτή η ενέργεια; Μπορούμε να την εκμεταλλευτούμε; Μπορούμε να την μετατρέψουμε σε κινητική; Η απάντηση είναι: Όχι. Δηλαδή, η ενέργεια ταλάντωσης είναι, κατά κάποιον τρόπο, μία «μη πραγματική» ενέργεια.
3) Με αφορμή την ανάρτηση του Γιάννη «Προσφέρει ενέργεια ο μηχανισμός;» προσπάθησα, για αρκετές ημέρες, να βρω μία διάταξη χωρίς ελατήρια, χωρίς βάρος (ή ισοδύναμα να γίνονται οι κινήσεις σε οριζόντιο επίπεδο) και χωρίς τριβές, όπου ένα η περισσότερα σώματα να εκτελούν κινήσεις της μορφής x=Aημ(ωt+φ) και να πρέπει να αποδώσω δυναμική ενέργεια ταλάντωσης για να διατηρείται η ενέργεια. Δηλαδή, καθώς κάποιο σώμα που εκτελούσε ταλάντωση έχανε κινητική ενέργεια, πηγαίνοντας προς ακραία θέση, η ενέργεια αυτή να μετατρεπόταν αναγκαστικά σε δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. Δεν μπόρεσα να βρω τέτοια διάταξη. Σε όλες τις περιπτώσεις, όταν ελαττώνονταν η κινητική ενέργεια σε κάποιο σώμα, αυτή μεταβιβαζόταν πάλι ως κινητική ενέργεια σε κάποιο άλλο σώμα.
Ο Θοδωρής ρίχνει καλή ιδέα.
Να στήσουμε πλήρη και αμείωτη ταλάντωση όπου θα υπάρχει και τριβή ολίσθησης.
Γράφω μία τώρα.
Γεια σου Γρηγόρη.
Ένας μηχανισμός που προκαλεί αρμονική ταλάντωση.
Ούτε ελατήρια, ούτε βάρη, ούτε τριβές.
Είναι ο μηχανισμός Yoke.
Ανάλογο χρησιμοποίησε ο Δημήτρης Τσαούσης στον μηχανικό παλμογράφο του.
Καλησπέρα σας. Για να αποδείξουμε αν ένα σώμα εκτελεί αατ ελέγχουμε πρωταρχικά αν υπάρχει ΜΙΑ ΜΟΝΟ θέση ισορροπίας για το σώμα! Με βάση τη συνθήκη ΣF=0 παίρνουμε μια εξίσωση που τη χρησιμοποιούμε στη θέση εκτροπής! Εδώ υπάρχουν άπειρες θέσεις ισορροπίας καθώς η στατική τριβή παίρνει τιμές μεταξύ μηδέν και Τσ,max. Αν δεν υπάρχει ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΘΈΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ δεν έχει κανένα νόημα να ελέγξουμε αν ισχύει ΣF=-Dx!! Αυτή η μία και μοναδική θέση ισορροπίας δεν είναι θεμελιώδες χαρακτηριστικό κάθε αατ και με αρχή αυτή τη μοναδική θέση δεν δεν ορίζεται το διάνυσμα θέσης που ονομάζεται απομάκρυνση; Συνεπώς όχι αατ, αλλά ούτε καν ταλάντωση δεν είναι η κίνηση του σώματος! Όσο για την περιοδικότητα της κίνησης αυτής, ούτε λόγος! Βάσει ορισμού και από το γενικό στο ειδικό έχουμε περιοδικές κινήσεις – ταλαντώσεις (οι περιοδικές κινήσεις με ΜΙΑ ΜΟΝΟ θέση ισορροπίας και όχι υποχρεωτικά ευθύγραμμη τροχιά)
– γραμμικές ταλαντώσεις ( μια μόνο θέση ισορροπίας καθότι ταλάντωση και ευθύγραμμη κίνηση) – γραμμικές ή απλές αρμονικές ταλαντώσεις ( μια θ.ι. ευθύγραμμη κίνηση και απομάκρυνση αρμονική συνάρτηση του χρόνου).
Η μια θέση ισορροπίας, απαιτείται για μια ΑΑΤ.
Αλλά κανείς δεν μίλησε για ΜΙΑ ταλάντωση!!! Η κίνηση αποτελείται από διαδοχικά τμήματα, όπου μπορεί το καθένα από αυτά να αποτελεί τμήμα μιας ταλάντωσης, για την οποία να ισύει η σχέση ΣF=-Dx.
Αν κάθε τμήμα αποτελεί τμήμα μιας ΑΑΤ, τότε στη διαρκειά του η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή!
Αλλά τότε και στη διάρκεια δύο ή τριών τέτοιων διαδοχικών τμημάτων η μηχανική ενέργεια θα διατηρείται!!!
Πράγμα που εδώ δεν συμβαίνει…
Να προσθέσω ένα παράδειγμα:
Έστω ένα σώμα Σ, το οποίο εκτελεί αατ, στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, γύρω από μια θέση ισορροπίας Θ.Ι.1. με πλάτος Α1.
Σε μια στιγμή που το Σ βρίσκεται σε θέση πλάτους, τοποθετούμε πάνω του ένα δεύτερο σώμα Σ΄, με αποτέλεσμα να ακολουθήσει μια δεύτερη ΑΑΤ, με πλάτος Α2, όπως στο σχήμα.
Αν πάρω το χρονικό διάστημα Δt, το οποίο αποτελείται από μισή περίοδο από την πρώτη ταλάντωση και μισή από την δεύτερη, θα έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργειας, στη διάρκεια του χρονικού αυτού διαστήματος Δt;
Η σχέση ΣF=-Dx προϋποθέτει ή όχι μια μόνο θέση ισορροπίας; Στο συγκεκριμένο θέμα υπάρχει μια μόνο θέση ισορροπίας;; Επομένως τι νόημα έχει να εξετάζουμε αν η ισχύει η
ΣF=-Dx εφόσον ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ και μάλιστα να αποφαινομαστε ότι ισχύει;;;(!!!)
Καλησπέρα παιδιά.
Τμήμα ταλάντωσης:
Το αρμονικό τμήμα είναι αυτό που δείχνουν τα βέλη.
Μάλλον δεν διαβάζεις Γιώργο τι έγραψα…
Ξέχασε την όλη κίνηση και περιορίσου στο πρώτο μέρος από 0-Τ/2.
Υπάρχει μια θέση ισορροπίας; Υπάρχει.
Ισχύει η σχέση ΣF=-Dx; Ισχύει.
Αν λοιπόν αυτήν την κίνηση την χαρακτηρίσεις ΑΑΤ, τότε διατηρείται η μηχανική ενέργεια.
Πάμε στην 2η ημιπερίοδο.
Υπάρχει μια νέα θέση ισορροπίας για την νέα αυτή ταλάντωση; Υπάρχει.
Ισχύει η σχέση ΣF=-Dx; Ισχύει.
Άρα αν και αυτή είναι ΑΑΤ, ξανά διατηρείται η μηχανική ενέργεια.
Να πάμε στην 3η ημιπερίοδο; Στην 4η;;;
Όσες αντίστοιχες ημιπεριόδους και να πάρουμε, σε όλες, η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Άρα θα διατηρείται και στην συνολική κίνηση…
Και όμως το σώμα σταματά και έχει και …ζεσταθεί!!!
Άλλη μία περίπτωση που σώμα εκτελεί τμήμα ταλάντωσης.
Η ράβδος μπαίνει από το λείο επίπεδο στο τραχύ:
Η κίνηση είναι τμήμα ταλάντωσης μέχρι εκεί που δείχνει το βέλος.
Θοδωρή καλογραμμένο. Διαβάζεται, γίνεται κατανοητό σε λεπτά.
Τα σχήματα, αλλά και οι τέσσερις σελίδες οδηγούν στα συμπεράσματα σου.
Τα σχόλια συμπληρώνουν.
Μπράβο σου.