by 
Μια λυκειακή προσέγγιση
Παραδοχές:
-Θεωρούμε πως μόνο η μάζας της Γης δημιουργεί βαρυτικό πεδίο, δηλαδή αγνοούμε την επίδραση άλλων ουρανίων σωμάτων και κυρίως την επίδραση της μάζας του Ήλιου
-Θεωρούμε την Γη ακίνητη
-Θεωρούμε πως δεν υπάρχει αντίσταση από την ατμόσφαιρα κατά την κίνηση του σώματος εντός αυτής
Ι) Να υπολογίσετε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να αποκτήσει ένα σώμα στην επιφάνεια της Γης, μάζας ΜΓ και ακτίνας RΓ, ώστε κινούμενο υπό την επίδραση μόνο του βάρους του να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται ταχύτητα διαφυγής
ΙΙ) Το βαρυτικό πεδίο της Γης εκτείνεται σε ύψος από την επιφάνεια της Γης τουλάχιστον:
α) h=25RΓ β) ) h=100RΓ γ) ) h=400RΓ δ) ) h=425RΓ
Επιλέξτε και αιτιολογείστε.
Οι αναφερόμενες τιμές είναι προσεγγιστικές.
Θοδωρή καλημέρα.
Χαίρομαι γιατί πρόκειται για ένα θέμα στο οποίο γίνονται εύλογες προσεγγίσεις και προκύπτει ουσιαστικό αποτέλεσμα.
Αυτή η αντίληψη εφαρμόζεται εδώ και εδώ.
Καλημέρα Θοδωρή.
Ουσιαστική ανάρτηση, σε μία ερώτηση που τίθεται στην πράξη κατά τη διδασκαλία.
Πάρα πολύ έξυπνο!!
Ενδιαφέρον θα είχε και μια προσέγγιση τρίτου δεκαδικού ψηφίου.
Έτσι θα βρίσκαμε ότι η έκταση τείνει στο άπειρο.
Γεια σου Θοδωρή.
Η αξία της είναι, νομίζω, ακριβώς στο ότι δείχνει την σημασία των προσεγγίσεων στη μελέτη των φυσικών φαινομένων, ώστε να αποφύγουμε του απειρισμούς. Την θεωρώ σαν ευκαιρία για να μιλήσει κανένας για τις προσεγγίσεις σε όλες τις περιπτώσεις που οι συνάρτηση είναι π. χ. εκθετική αύξουσα ή φθίνουσα. Άρα σε ασκήσεις επαγωγής για το πότε έχω πρακτικά ορική ταχύτητα ή στους χρόνους απόκρισης κυκλώματος αυτεπαγωγής.
καλό μεσημέρι σε όλους
πολύ καλή, Θοδωρή
να προσγειωθούμε (και μεταφορικά)
προσεγγίσεις κάνουμε παντού
Καλησπέρα Θοδωρή.
Εξαιρετική.
Καλησπέρα Θοδωρή. Πολύ καλή, αφού αποτελεί ερώτηση αρκετών μαθητών και όχι μόνο.
Η πρώτη θεωρητική απάντηση που έρχεται στο νου είναι ότι εκτείνεται μέχρι το άπειρο. Όμως τι θα πει άπειρο; Ακόμα και το σύμπαν είναι πεπερασμένο. Άρα ορθώς αρχίζουμε τις προσεγγίσεις.
Θεωρώντας τη Γη μόνη της, βρίσκεις 2,7 . 10^6 km.
Αν όμως σκεφτούμε ότι η Γη είναι δορυφόρος του Ήλιου, ο οποίος έχει τον κυρίαρχο ρόλο για το που σταματάει το βαρυτικό πεδίο της Γης, έρχεται η σφαίρα Hill, που εκτείνεται μεταξύ των σημείων Lagrange L1 και L2, που βρίσκονται κατά μήκος της γραμμής των κέντρων Γης – Ήλιου.
Η ακτίνα αυτής της σφαίρας βγαίνει περίπου 1,5 . 10^6 km, στην αντίθετη από τον Ήλιο περιοχή, ενώ η επίδραση του Ήλιου καθιστά μικρότερη την ακτίνα στην περιοχή ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο. Πιο ακριβείς υπολογισμοί δίνουν τη σφαίρα επιρροής της Γης, περίπου στα 0,92 . 10^6 km.
Θοδωρή ενδιαφέρουσα η ανάλυση σου. Όμως τα ορια θελουν λιγο προσοχη διοτι ευκολα διαφοροποιούνται . Παρακατω προσπαθω να δειξω αυτό ακριβως :
Καλησπέρα, καλό Φλεβάρη να έχουμε
Ανδρέα ευχαριστώ, μόλις ξύπνησα είδα το σχόλιό σου και ένιωσα καλά,
διότι η ανάρτηση μετέφερε συζήτηση στην τάξη και ήθελα να είμαι σίγουρος
για το αποτέλεσμα.
Μίλτο, έτσι ακριβώς είναι. Η ερώτηση τέθηκε μετά την εισαγωγή της ταχύτητας
διαφυγής: “Μέχρι πού φτάνει το ΒΠ της Γης; Σε πόσο ύψος από την επιφάνεια
δεχόμαστε πως υπάρχει;”
Γιάννη, αυτό το “τείνει στο άπειρο” προσπάθησα να μαζέψω με όσο το δυνατόν λιγότερα μαθηματικά.
Άρη, οι προσεγγίσεις που πρέπει να κάνουμε σε τέτοια θέματα απαιτούν γνώση,
εμπειρία και μαεστρία στον τρόπο διδασκαλίας σε μαθητές Β’ Λυκείου…
Η δική μου προσπάθεια είναι εντελώς ερασιτεχνική…
Βαγγέλη, εφόσον εγκρίνει ο δάσκαλος, όλα καλά…το σώσαμε…
Χρήστο ευχαριστώ, η ανάγκη να απαντήσω σε ένα ερώτημα που αρχικά πήγα
να αποφύγω, έδωσε την ιδέα, να παίξουμε το έργο “ταχύτητα διαφυγής”
από το τέλος προς την αρχή
Ανδρέα, νομίζω πως το σχόλιό σου πρέπει να το προσθέσω στην ανάρτηση ώστε
να μην δημιουργηθούν παρανοήσεις.
Είχα διαβάσει κάποτε για τη σφαίρα Hill, αλλά τα είχα συγκεχυμένα στο μυαλό μου
και σίγουρα δεν μπορούσα να τα μεταφέρω σωστά.
Κώστα ευχαριστώ για τον κόπο να επεξεργαστείς τα δεδομένα.
Δεν βλέπω να διαφωνούμε σε κάτι ουσιαστικό.
Εσύ το 2goR το αντικαθιστάς από την τιμή της υδ=8,31Km/s στο τετράγωνο και έτσι έχεις 127,916*10^6 , τιμή που δίνει μεγαλύτερη ακρίβεια στους επόμενους υπολογισμούς.
Εγώ το πήρα 128*10^6 και στη συνέχεια είχα μικρότερη ακρίβεια.
Συνεχίζω να θεωρώ πως η ακρίβεια στο αποτέλεσμα 425R είναι ικανοποιητική
Μπορεί εσύ να βρίσκεις 554,5R δηλαδή 130R μεγαλύτερο, αλλά σε αυτή την περιοχή για ποια ένταση βαρυτικού πεδίου μιλάμε;;;;
Εκτιμώ πως είναι πολύ μικρή
Σε κάθε περίπτωση, η ανάρτηση μετέφερε όσα ειπώθηκαν στην τάξη, προσπαθώντας να μην αφήσω να αιωρείται άπειρη αμφιβολία για το άπειρο της έκτασης του ΒΠ της Γης….
Καλημέρα Θοδωρή και συγχαρητήρια για την προσέγγιση το θέματος του απείρου!
Προσωπικά θα συμφωνήσω με τον Άρη (καλημέρα Άρη):
“ δείχνει την σημασία των προσεγγίσεων στη μελέτη των φυσικών φαινομένων, ώστε να αποφύγουμε του απειρισμούς. Την θεωρώ σαν ευκαιρία για να μιλήσει κανένας για τις προσεγγίσεις σε όλες τις περιπτώσεις που οι συνάρτηση είναι π. χ. εκθετική αύξουσα ή φθίνουσα. Άρα σε ασκήσεις επαγωγής για το πότε έχω πρακτικά ορική ταχύτητα ή στους χρόνους απόκρισης κυκλώματος αυτεπαγωγής.”
Να αναφέρω και ένα παράδειγμα, που χρησιμοποιούσα στην τάξη, όταν αναφερόμαστε στον ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους.
Έστω ο αγωγός του σχήματος μήκους l=1m και δύο σημεία Α και Γ.
Στα σημεία Α και Γ στέκονται δύο μυρμήγκια. Τι βλέπει το μυρμήγκι στο Α; Κοιτάζει δεξιά, κοιτάζει αριστερά και “βλέπει ένα σύρμα, μέχρι εκεί που πιάνει το μάτι του”! Θεωρεί άπειρο τον αγωγό.
Αυτό στο Γ; Προφανώς βλέπει ένα σύρμα με μήκος 3-4 φορές της απόστασής του από αυτό και δεν το αντιμετωπίζει σαν σύρμα απείρου μήκους.
Σήμερα; Σήμερα αν είχε παραμείνει στην ύλη η εξίσωση 4.2, θα μπορούσε να προχωρούσε η συζήτηση, βάζοντας και τις σχετικές προσεγγίσεις για το συνθ, όταν η γωνία θ, έπαιρνε τις τιμές θ=88° ή 89° ή 89,9°…
Ωραία η παρουσίαση και πρωτότυπη.
Ενδιαφέρουσα η σκέψη να βρούμε τα όρια του βαρυτικού πεδίου της Γης, όταν όμως έχουμε μόνο την Γη.
Το μοντέλο μας, η Γη χωρίς την επίδραση του Ήλιου, δίνει μια ενδιαφέρουσα ανάρτηση και συζήτηση για τα όρια που μου άρεσε.
Προσωπικά θα τόνιζα στο τέλος πως η διαφορά της Φυσικής που διδάσκουμε με την πραγματικότητα είναι πως οι τιμές που παίρνουμε με τις μετρήσιμες τιμές έχουν μεγάλη απόκλιση.
Θεωρώ πως οι μαθητές έχουν να κερδίσουν από την μελέτη που κάνεις, αλλά θα τους είναι δύσκολο να διαχωρίσουν το ότι τους διδάσκουμε μια “προσομοίωση”. Για αυτό και θεωρούν πως η Γη (τόσο σημαντική για εμάς τους κατοίκους της) έχει μια άπειρη επίδραση στα πάντα, (όπως αναφέρεις για τους μαθητές).
Καλημέρα Θοδωρή,
νομίζω πως ο Κώστας ο Ψυλάκος έχει δίκιο. Αν υπήρχαν μόνον οι επιλογές α, β και γ, τότε θα ήταν σωστή η γ! αν υπήρχε άλλη μία επιλογή h=550R, θα ήταν σωστή αυτή!
Όπως έδωσε την συνάρτηση ο Κώστας γίνεται φανερό ότι στην ταχύτητα διαφυγής το ύψος γίνεται άπειρο, άρα πολύ μικρές μεταβολές της ταχύτητας οδηγούν σε τεραστιες μεταβολές στο ύψος. Ποιο κλάσμα v/vδ θεωρείτε “σωστό” για την προσέγγιση;
Καλημέρα, καλό Σ/Κ
Διονύση, κάτι ανάλογο έλεγα πριν λίγες μέρες με τον αγωγό “απείρου” μήκους.
Έχεις κάνει το καλοκαίρι του 2022 μια εξαιρετική ανάρτηση στον Biot-Savart
με το ΔΒ από στοιχειώδες ΔL και το Β από όλο τον αγωγό σε σημείο κοντά
στο ΔL…. Εκεί είναι όλα τα λεφτά
Κώστα, δεν διδάσκουμε προσομοίωση… Διδάσκουμε μοντέλα εύκολα
στον απαιτούμενο φορμαλισμό με χρήση των μαθηματικών που μπορούμε
να χρησιμοποιούμε στο Λύκειο… Λογικό είναι να υπάρχουν αποκλίσεις…
Ο πρώτος που “δίδαξε” με μοντέλα ήταν ο Ιούλιος Βερν…. και ακόμα
διδάσκει…. σήμερα αγόρασα μερικά Classics Illustraded, κυκλοφορούν
σε μικρό μέγεθος…τα έδειξα στα παιδιά μου και τους είπα: αυτό είναι
το instagram της γενιάς μου….
Στάθη, στόχος της ανάρτησης δεν είναι να διδάξει προσεγγίσεις…
Φοβάμαι πως εστιάζετε, εσύ και ο Κώστας, στο δέντρο και όχι στο δάσος….
Εξακολουθώ να πιστεύω πως η μεθοδολογία εκτίμησης έχει σημαντική αξία.
Όποιος πιστεύει πως το 425R είναι λάθος, βάζει τις δικές του τιμές
και βγάζει την ακρίβεια που θέλει…
Όποιος θεωρεί πως η μεθοδολογία είναι λάθος, απλά δεν το διδάσκει…
ή ακόμα περισσότερο το δείχνει ως παράδειγμα για αποφυγή…
Περίμενα πως θα υπάρχουν ενστάσεις για περισσότερους από έναν λόγους….
Δεν βλέπω γιατί το 555R διδάσκει στην ουσία κάτι περισσότερο…
Σε αυτή την περίπτωση να αντικαθιστούμε ακριβείς τιμές και όχι προσεγγιστικές..
αφού η αξία βρίσκεται σε αυτές….
Συνέχεια στο προηγούμενο σχόλιο
Προφανώς αν υπήρχαν μόνο οι τρεις πρώτες θα ήταν σωστή η (γ)
Υπάρχει όμως και η (δ), οπότε τουλάχιστον μέχρι 425R υπάρχει ΒΠ.
Αυτό δεν αποκλείει και παραπέρα….
Κάθε μαθητής σκεπτόμενος καταλαβαίνει πως το πεδίο δεν έχει συνοριακή γραμμή…
Το ζητούμενο είναι πού προσεγγιστικά μπορούμε να υποθέσουμε πως βρίσκεται αυτή… Το προσεγγιστικά καθορίζεται από τις τιμές σταθερών που χρησιμοποιούμε…
Το έγραψα νομίζω αρκετά κατανοητά αυτό στο προηγούμενο σχόλιο…απορώ πώς δεν έγινε αντιληπτό …
Καλησπέρα Θοδωρή
Θα περίμενα εσύ να αιτιολογήσεις του 425R ως την σωστή επιλογή. Γιατί αυτό είναι σωστό και όχι το 555R για παράδειγμα; Αυτήν είναι η ουσία της ερώτησης που
θέτω.
Και την θέτω σε ανάρτησή σου σε ένα ιστότοπο φυσικής, όπου εσύ στην απάντησή σου εμπεριέχεις τα “Όποιος θεωρεί πως η μεθοδολογία είναι λάθος, απλά δεν το διδάσκει… ή ακόμα περισσότερο το δείχνει ως παράδειγμα για αποφυγή… Περίμενα πως θα υπάρχουν ενστάσεις για περισσότερους από έναν λόγους….”
Δεν σε καταλαβαίνω.