Καρούλι – λαμπτήρας – πηνίο

Καρούλι αποτελείται από κύλινδρο ακτίνας r και δυο δίσκους ακτίνας R = 2r που είναι προσαρτημένοι κατα τέτοιο τρόπο στις βάσεις του κυλίνδρου ώστε ο άξονας του κυλίνδρου να διέρχεται από τα κέντρα τους. Στον κύλινδρο του καρουλιού είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό μονωτικό νήμα που το ελεύθερο άκρο του είναι ακλόνητα στερεωμένο στο μέσο αγωγού αντίστασης R₁ = 5 Ω. Ο αγωγός ΜΝ μήκους ℓ = 1 m μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε παράλληλους, οριζόντιους αγωγούς αμελητέας αντίστασης και μεγάλου μήκους ενώ είναι συνεχώς κάθετος σε αυτούς. Στο κύκλωμα είναι συνδεδεμένο μη ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,2 H και παράλληλα στο πηνίο είναι συνδεδεμένος λαμπτήρας με στοιχεία κανονικής λειτουργίας Pκ = 5 W και Vκ = 5 V όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη διάταξη υπάρχει μεταγωγός διακόπτης δυο θέσεων (1) και (2). Στη θέση (1) είναι εντός κυκλώματος ο λαμπτήρας και στη θέση (2) είναι εντός κυκλώματος το πηνίο. Η διάταξη βρίσκεται εντός κατακόρυφου ομογενούς μαγνητικού πεδίου με φορά προς τα κάτω και ένταση μέτρου Β = 1 Τ. Οι παράλληλοι αγωγοί είναι ακλόνητα στερεωμένοι με μονωτικές βάσεις πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ώστε το επίπεδο που σχηματίζουν να είναι παράλληλο με το έδαφος και να απέχει απόσταση από αυτό ίση με την απόσταση του ανώτερου σημείου του κυλίνδρου του καρουλιού από το έδαφος. Αρχικά το καρούλι είναι ακίνητο και έχει τον άξονα του παράλληλο στον αγωγό ΜΝ, το νήμα είναι τεντωμένο και ο μεταγωγός βρίσκεται στη θέση (1). Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 ασκούμε κατάλληλες δυνάμεις στο καρούλι ώστε να ξεκινήσει την κύλιση χωρίς ολίσθηση με σταθερή επιτάχυνση του κέντρου μάζας αcm = 4/3 m/s² με τον άξονα του να παραμένει συνεχώς παράλληλος στον αγωγό ΜΝ και την τροχιά της κίνησης του κάθετη στον αγωγό ΜΝ. Την χρονική στιγμή t₁ που ο λαμπτήρας θα λειτουργήσει κανονικά μεταβάλλουμε τις δυνάμεις που ασκούμε στο καρούλι ώστε να συνεχίσει να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά και ταυτόχρονα μετακινούμε τον μεταγωγό στη θέση (2). Παρατηρούμε ότι τελικά το ρεύμα στο κύκλωμα σταθεροποιείται στην τιμή Ι = 1,25 Α.

1) Να αποδείξετε ότι αρχικά η επιτάχυνση του αγωγού ΜΝ έχει μέτρο αΜΝ = 2 m/s² και να υπολογίσετε την χρονική στιγμή t₁.
2) Να βρείτε την συνάρτηση του μέτρου της τάσης του νήματος που δέχεται ο αγωγός ΜΝ σε σχέση με τον χρόνο από την t₀ έως την t₁ αν η μάζα της ράβδου είναι m = 1 kg.
3) Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης Laplace (FL) τη στιγμή που η ταχύτητα του αγωγού είναι υ = υ₁/2, όπου υ₁ η ταχύτητα του αγωγού την t₁, και το φορτίο που θα περάσει μέσα από τον λαμπτήρα από την χρονική στιγμή t₀ έως την χρονική στιγμή t₁.
4) Να υπολογίσετε την αντίσταση του πηνίου (Rπ) και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της απόλυτης τιμής του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος συναρτήσει της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα από την χρονική στιγμή t₁ έως την χρονική που σταθεροποιείται η ένταση του ρεύματος.
5) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο όταν η ενέργεια μαγνητικού πεδίου είναι το 1/4 της τελικής της τιμής.

Η άσκηση και η λύση της.