Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος έχουν μάζες m1=m και m2=2m αντίστοιχα και ηρεμούν πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα σώματα είναι δεμένα στα άκρα ενός τεντωμένου, αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους l=15cm. Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=240N/m βρίσκεται συμπιεσμένο μεταξύ των δύο σωμάτων με τα άκρα του απλώς να ακουμπούν σε αυτά. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι ίσο με l0=20cm και ο άξονάς του ταυτίζεται με το νήμα.
Α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος και τη δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο παραμορφωμένο ελατήριο, στην κατάσταση ισορροπίας του συστήματος.
Κόβουμε το νήμα και τα σώματα αρχίζουν να κινούνται απομακρυνόμενα μεταξύ τους και κάποια στιγμή χάνουν την επαφή τους με το ελατήριο.
Β. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του κάθε σώματος από τη στιγμή που κινείται ανεξάρτητα από το ελατήριο και χωρίς να βρίσκεται σε επαφή με αυτό.
Η συνέχεια εδώ.
Καλημέρα Μίλτο, όμορφη άσκηση, ευχαριστούμε πολύ.
Καλημέρα Παύλο, σ’ ευχαριστώ πολύ.
Να είσαι καλά και να συνεχίσεις την προσφορά!
Καλημέρα Μίλτο, όμορφη παρουσίαση σε ένα κλασικό θέμα.
Προκύπτει Κ(1)=2Κ(2) , αναμενόμενο αφού οι κινητικές ενέργειες σωμάτων που έχουν ορμές ίσων μέτρων, είναι αντίστροφα ανάλογες των μαζών των σωμάτων.
Θα ήθελα να ρωτήσω όποιον γνωρίζει
Κ(1)=2Κ(2)–> W(F1)=2W(F2) όπου F(1)=F(2) κάθε στιγμή, αλλά μεταβλητές.
Μπορούμε να βρούμε σχέση μετατοπίσεων Δx(1)/Δx(2) για τα δύο σώματα,
μέχρι να χαθεί η επαφή με το ελατήριο;
Καλημέρα Θοδωρή, ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Νομίζω ότι Δx1 = 2Δx2, καθώς διαρκώς α1 = 2α2 και το κέντρο μάζας του συστήματος παραμένει ακίνητο.
Καλημέρα σε όλους,
Μιλτο όπως αναφέρει ο Θοδωρής ένα κλασικό μοντέλο αλλά πάντα επίκαιρο.
Στο ερώτημα του Θοδωρή. Από τη διατήρηση της ορμης προκύπτει ότι
υ1=2υ2 από όπου προκύπτει ότι και κάθε στιγμή Δχ1=2Δχ2. Έτσι όταν αποχωριστούν S1+S2=5cm. Προκύπτει S1=10/3cm και S2=5/3cm.
Μάλιστα αν κάνει κάποιος τη γραφική παράσταση της Fελ για κάθε σώμα μέχρι τη στιγμή του αποχωρισμού θα βρει την ενέργεια που αποδίδεται σε κάθε σώμα από το ελατήριο και εμφανίζεται ως κινητική ενέργεια.
Είναι επιπλέον ένα καλό παράδειγμα για να πείσουμε ότι παρόλο που οι δυνάμεις είναι αντίθετες τα σώματα έχουν διαφορετικές μετατοπίσεις για αυτό και διαφορετικά έργα.
Καλημέρα και πάλι, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Μίλτο, συμφωνώ αλλά νομίζω πως πρέπει να γίνει χρήση ολοκληρωμάτων
για την αιτιολόγηση που προτείνεις.
Χρήστο, εδώ έχω θέμα, ίσως κάτι κάνω λάθος
Πώς θα κάνουμε τη γραφική παράσταση Fελ=f(x) για κάθε σώμα;
Η παραμόρφωση x βρίσκεται και στα δύο άκρα. Ισχύει F(ελ)=κχ;
Αν ναι, τότε με χ1=2χ2 προκύπτει W(1)=4W(2)
Καλημέρα Μίλτο, καλημέρα σε όλους.
Μίλτο θα συμφωνήσω με το Χρήστο, ότι το θέμα αυτό είναι πάντα επίκαιρο.
Όσον αφορά το θέμα των μετατοπίσεων, δεν νομίζω Θοδωρή ότι χρειάζεται να πάμε σε ολοκληρώματα. Η σχέση των ταχυτήτων υ1=2υ2, κάθε στιγμή, οδηγεί και σε αντίστοιχες στοιχειώδεις μετατοπίσεις, για κάθε μικρό χρονικό διάστημα δt και αυτό με τη σειρά του στη σχέση Δx1=2Δx2.
Όσον αφορά τα εμβαδά Χρήστο, μακριά! Δεν υπάρχει σχέση δύναμης ελατηρίου, σε συνάρτηση με την μετατόπιση του ενός σώματος.
Καλησπέρα σε όλους.
Σκέφτομαι το εξης: η Η δύναμη του ελατηρίου κάθε στιγμή είναι ΚΔl. Αλλά το κάθε σώμα έχει διαφορετική μετατόπιση. Η συνάρτηση αφορά την Fελ που ασκείται σε κάθε σώμα και το μέτρο της υπολογίζεται κατά τα γνωστά και τη μετατόπιση του καθενός. Όταν αποχωρίζονται η Fελ=0 όπου για το Σ2 όταν αποχωρίζονται το Δχ=5/3cm και για το άλλο 10/3cm. Tο έκανα γραφικά και βγηκε. Δεν έβγαλα σχέση της Fελ με τη μετατόπιση του καθενος. Απλώς ότι η δύναμη του ελατηρίου έχει συγκεκριμένο μέτρο και αντίστοιχα το σώμα εκείνη τη στιγμή την αντίστοιχη δχ. Ίσως είναι εντελώς ´´αρκουδια´´ όπως λέει και ο Γιάννης και να βγαίνει τυχαια. Καθώς έβαλα αυθαίρετα στη γραφική παράσταση σχήμα ευθείας που ξεκινά από την τιμή 12Ν και να μηδενίζει αντίστοιχα στα 5/3cm και 10/3cm.
Μάλλον η προτροπή του Διονύση να είναι σωστή. Αν βρω λίγο χρόνο θελω να το επεξεργαστώ παραπάνω.
Χρήστο δεν υπάρχει μαθηματική σχέση Fελ=kΔχ1, υπάρχει σχέση Fελ=kΔl.
Η δύναμη που ασκείται στο ένα σώμα, δεν είναι συνάρτηση της μετατόπισης αυτού του σώματος, ώστε το αντίστοιχο εμβαδόν του διαγράμματος να μετρά το έργο που παράγεται πάνω στο σώμα αυτό.
Ας πάμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε την συνολική μετατόπιση του ενός, όπως λες, όπου είναι 5/3 cm και όπου θέλουμε το διάγραμμα της δύναμης σε συνάρτηση με την μετατόπιση του σώματος. Στην αρχική θέση χ=0 η δύναμη είναι 12Ν. Στην τελική θεση χ=5/3 cm η δύναμη είναι μηδενική.
Και σε όλες τις ενδιάμεσες θέσεις; Έχουμε κάποια συνάρτηση για να κατασκευάσουμε την ευθεία;
Καλησπέρα Διονύση
Προφανώς και έχεις δικιο…
Για αυτό λέω έκανα αυθαίρετα ευθεία… και μάλλον βγαίνει τυχαία. Θέλει προσοχή μην οδηγηθούμε πάλι σε καινούργιες θεωρίες…
Γεια σου Χρήστο, γεια σου Διονύση, καλησπέρα σε όλους! Σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή και τον εμπλουτισμό της ανάρτησης.
Για μεγαλύτερη ακρίβεια πρέπει Θοδωρή να εμφανιστούν ολοκληρώματα, αλλά όπως σημείωσε και ο Διονύσης δεν χρειάζεται. Το ένα ολοκληρώματα θα είναι διπλάσιο του άλλου, χωρίς να χρειάζεται ο υπολογισμός τους.
Γεια σου Μίλτο προσπάθησα να βρω την Fελ που δέχεται κάθε σώμα από το ελατήριο σε σχέση με την μετατόπιση του αφού είδα το σχόλιο του Χρήστου Αγριόδημα και κατέληξα κάπου. Μπορεί να κάνω λάθος. Στην λύση για τον υπολογισμό του έργου της Fελ που δέχεται κάθε σώμα από το ελατήριο παίρνω ως δεδομένο ότι ισχύει x₁ = 2x₂.
Γεια σου Παύλο.
Δεν βλέπω κάποιο λάθος στο συλλογισμό σου, από τον οποίο φαίνεται ότι οι αντίστοιχες συναρτήσεις είναι γραμμικές.
Θα είχε ενδιαφέρον εάν μπορεί να αναδειχθεί κάτι τέτοιο και σε κάποια προσομοίωση.
Καλησπέρα Παύλο, διαβάζω και ξαναδιαβάζω την απόδειξη που ανέβασες.
Δεν μπορώ να βρω λάθος. Ξεκινάς από το νόμο Hooke με τη συνολική
παραμόρφωση Δl του ελατηρίου.
Αλλάζεις τη μεταβλητή σε Δlo-x όπου x=x1+x2.
Με δεδομένη τη σχέση στιγμιαίων ταχυτήτων υ1=2(υ2) από ΑΔΟ αντικαθιστάς x1=2(x2) και φθάνεις στη σχέση F=kΔlο-3k(x2) και αντίστοιχα F=kΔlο-3k(x1)/2
Τα εμβαδά των γραφικών παραστάσεων δίνουν τα έργα W1=2W2
Νομίζω πως βρήκες μια πολύ σημαντική απόδειξη και σίγουρα όχι προφανή.
Συγχαρητήρια
Άνευ σημασίας , σβήσε τη σταθερά k από την τιμή των x στις γραφικές παραστάσεις
Επίσης άνευ σημασίας Παύλο, δεν έχει νόημα να βάζουμε μονάδες μέτρησης στους άξονες σε ποιοτικά διαγράμματα.
Οπότε, σβήσε τα (Ν) και (m) που έχεις στα διαγράμματα.