by 
Ομογενής ράβδος ΑΟ μάζας Μ = 2m και μήκους L έχει το άκρο της Ο αρθρωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Η διεύθυνση της ράβδου σχηματίζει γωνία φ με τον τοίχο και δεν εμφανίζονται τριβές στην άρθρωση. Στο μέσο Μ της ράβδου είναι δεμένο το ένα άκρο ιδανικού νήματος που έχει διεύθυνση κάθετη στην ράβδο ενώ το άλλο άκρο του νήματος είναι στερεωμένο στον κατακόρυφο τοίχο. Στο άκρο Α της ράβδου είναι προσδεδεμένο το ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k που στο κάτω άκρο του είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m που εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να επιλέξετε την σωστή τιμή του μέγιστου επιτρεπτού πλάτους ταλάντωσης του σώματος Σ (Amax) ώστε η ράβδος να ισορροπεί και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
i. Amax = 2mg/k ii. Amax = mg/k iii. Amax = 3mg/k
Καλημέρα Παύλο.
Τελικά κινούμαστε σε παράλληλες ευθείες που απέχουν ελάχιστα!
Ετοιμαζόμουν να την αναρτήσω σήμερα, οπότε θα παραμείνει πια για μερικές μέρες στην αναμονή.
Καλημέρα. Διονύση η αλληλεπίδραση αυξάνει τις πιθανότητες ενασχόλησης μας με το ίδιο θέμα. Ευχαριστώ για το σχόλιο και αναμένω την αντίστοιχη ανάρτηση, να είσαι καλά!
Kαλημερα Παύλο και Διονύση.Καλη ασκηση η οποια ειναι στο στυλ ασκησης που θα μπορουσε να πεσει αυτουσια. Μια λιγο διαφορετικη λογικη διατυπωσης της απαντησης ειναι η εξης:
H θεση ισορροπιας της m ειναι κατα mg/k πιο κατω απο την θεση φυσικου μηκους.
1). Αν το πλατος ταλαντωσης ηταν mg/k,τοτε η προς τα πανω θεση μεγιστης απομακρυνσης θα ταυτιζοταν με την θεση φυσικου μηκους. (γιατι?).Αρα οταν το σωμα βρισκεται στην προς τα πανω θεση μεγιστης απομακρυνσης, το ελατηριο δεν ασκει δυναμεις ουτε στο σωμα ουτε στην ραβδο.Aρα η ισορροπια της ραβδου προυποθετει μη μηδενικη ταση νηματος. Αρα η απαντηση ii) απορριπτεται.
2).Αν το πλατος ταλαντωσης ηταν 2mg/k,τοτε η προς τα πανω θεση μεγιστης απομακρυνσης θα βρισκοταν κατα mg/k πιο πανω απο την θεση φυσικου μηκους.(γιατι?).
Αρα το ελατηριο θα ασκουσε στο σωμα και στην ραβδο δυναμεις μετρου kmg/k =mg.
Oι φορες αυτων των δυναμεων ειναι προφανεις. Η ροπη ως προς το Ο της προς τα πανω δυναμης μετρου mg που ασκει το ελατηριο στην ραβδο,ειναι αντιθετη απο την ροπη ως προς το Ο του βαρους Μg της ραβδου,αφου η μαζα m ειναι η μιση της μαζας Μ αλλα η αποσταση της mg απο τον αξονα,ειναι η διπλασια της αποστασης της Μg απο τον αξονα. Το ημιτονο η το συνημιτονο καποιας γωνιας ειναι το ιδιο και για τις δυο ροπες,διοτι οι δυο δυναμεις ειναι παραλληλες και δεν μας επηρεαζει. Αρα η ραβδος ισορροπει χωρις να χρειαζεται καποια μη μηδενικη ταση νηματος και κατα συνεπεια η σωστη απαοντηση ειναι η i).
Κατα την γνωμη μου ειναι χρησιμο παιδαγωγικα να δει ενας μαθητης πως μπορει καποιες φορες να σκεφτει και να βγαλει συμπερασματα χωρις φορμαλισμους,αλλα με απλη λογικη και με εικονες.
Γειά σου Κωνσταντίνε, ευχαριστώ για το σχόλιο. Οι παρατηρήσεις σου είναι πολύ σωστές και θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί το συγκεκριμένο ερώτημα με την λογική που αναφέρεις. Συνήθως ο τρόπος που παρουσιάζω την λύση είναι τέτοιος ώστε να μπορώ να δίνω απαντήσεις και σε ερωτήματα που μπορεί να μην έχω θέσει όπως το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου σε σχέση με την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας της ταλαντωσης που εκτελει το σώμα. Μακαρι οι μαθητές να έχουν την ευχέρεια να δίνουν απαντήσεις όπως αυτή που αναφέρεις!
Καλημέρα!
Παύλο όλα αυτά τα θέματα θέλουν προσοχή στην διαχείριση των αλγεβρικών τιμών από την στιγμη που θα ζητηθει η τάση του νήματος συναρτηση της απομάκρυνσης. Εδω αυτό μπορει να το προσπεράσει κάποιος μια και δεν είναι το ζητούμενο. Είναι χρήσιμο όμως να το μάθει κάποιος και αυτό.
Παρακάτω ανεβάζω δυο τρόπους που δίνουν το |Τ| = f (y) και έναν τρόπο που αυτό το προσπερνά… (για εμπλουτισμό της αναρτησης)
Σε ευχαριστώ πολύ Κώστα για τις επιπλέον λύσεις που βοηθούν τους μαθητές να αντιμετωπίσουν με διαφορετικό τρόπο ένα φαινόμενο!
Καλό ξεκίνημα μιας νέας δημιουργικής χρονιάς σε όλους στο ylikonet
Σήμερα βοηθάει και ο καιρός να καταλάβουμε καλύτερα πως οι διακοπές τελείωσαν…
Παύλο, θα γράψω τη γνώμη μου γι αυτού του είδους τις ασκήσεις, χωρίς να αναφέρομαι προσωπικά σε σένα, που μας προσφέρεις εξαιρετικές εμπνεύσεις ….
Τέτοιου είδους ασκήσεις τις θεωρώ εντελώς ακατάλληλες για διάφορους λόγους..
1) Φέρνουν στο μυαλό την καραντίνα και τις σχολικές χρονιές 2020-21 και 2021-22
Με την περιορισμένη ύλη, αυτές οι ασκήσεις έγιναν must και βρέθηκαν ξαφνικά σε κάθε προτεινόμενο τελικό διαγώνισμα ως θέμα Δ
2) Ενώ προσπαθούμε να περάσουμε στους μαθητές τον τρόπο να υπολογίζουν αλγεβρικές τιμές διανυσματικών μεγεθών, εδώ της δύναμης του ελατηρίου Fελ,
(κάτι που θέλει κόπο….και τρόπο) σε αυτές τις ασκήσεις βάζουμε στο παιχνίδι
και τη ροπή, που χρησιμοποιούμε το μέτρο της δύναμης και χύνουμε το γάλα από την καρδάρα….
3) Τρομάζουμε την πλειοψηφία των μαθητών προσανατολισμού Υγείας (δεν στοχεύουν όλοι την Ιατρική) με τις ανισότητες απολύτων….
4) Είναι εντελώς ακατάλληλες για τη συγκεκριμένη περίοδο που η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών αγωνίζεται να δομήσει βασική γνώση είτε στις κρούσεις, είτε στο στερεό, είτε στην ΑΑΤ….. (προφανώς δεν αναφέρομαι σε σχολεία και μαθητές που διδάσκουν την ύλη της Γ Λυκείου καθ’ όλη τη διάρκεια της Β’ Λυκείου)
Η δική μου προσέγγιση σε τέτοια θέματα, εφόσον τα βρω μπροστά μου και πρέπει να τα αντιμετωπίσω…..είναι αρκετά κοντά στου Κωνσταντίνου
Εφόσον το ελατήριο βρίσκεται σε κατάσταση επιμήκυνσης, η δύναμη που ασκεί στο άκρο Α της ράβδου είναι ομόρροπη του βάρους αυτής, άρα οι ροπές τους, ως προς το άκρο Ο, είναι ομόρροπες. Για να ικανοποιείται η συνθήκη Στ(ο)=0, πρέπει αναγκαστικά το νήμα να ασκεί δύναμη, η οποία προκαλεί ροπή αντίθετης φοράς.
Όταν το ελατήριο συσπειρωθεί, η δύναμη που ασκεί στο άκρο Α της ράβδου είναι αντίρροπη του βάρους. Η ροπή της Fελ είναι ομόρροπη της ροπής της τάσης του νήματος, οπότε μαζί εξουδετερώνουν τη ροπή του βάρους της ράβδου.
Μεγαλύτερη Fελ οδηγεί σε μικρότερη τάση νήματος.
Όταν η τάση του νήματος μηδενιστεί, η ροπή του βάρους πρέπει να εξουδετερώνεται αποκλειστικά από τη ροπή της Fελ.
Θέτω Στ(ο)=0 και βρίσκω το μέτρο της Fελ=Μg/2=mg
Αυτό απαιτεί συσπείρωση Δl=mg/k, η οποία δίνει πλάτος ταλάντωσης A=2mg/k
Μεγαλύτερη συσπείρωση οδηγεί σε μεγαλύτερου μέτρου Fελ, η ροπή της οποίας δεν μπορεί να εξουδετερωθεί από τη ροπή του βάρους.
Άρα το μέγιστο επιτρεπτό πλάτος είναι A(max)=2mg/k
Εκτιμώ πως σε τέτοιου είδους ασκήσεις πρέπει να ζητάμε και το ελάχιστο όριο θραύσης του νήματος (τάση νήματος στην κάτω ακραία θέση x=2mg/k) ώστε η ράβδος να ισορροπεί και το νήμα να μην σπάει
Συγγνώμη αν κούρασα, ήθελα να τα γράψω από διάφορες άλλες ανάλογες ασκήσεις…
Τέλεια άσκηση και πολύ ωραίος τρόπος λύσης κατάλληλος για την περίσταση των πανελληνίων.
Γεια σου Θοδωρή και καλή αρχή! Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο. Η λύση της άσκησης έγινε με την λογική να μπορεί να αντιμετωπίσει και ερωτήματα που δεν τέθηκαν στην εκφώνηση όπως να υπολογίσετε την δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα ή στην ράβδο ή την τάση του νήματος στην ράβδο σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος απο την θέση ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί. Η λύση που πρότεινε ο Κωνσταντίνος (Καβαλλιεράτος) και η δίκη σου είναι προτιμότερες αν θελουμε να απαντήσουμε αποκλειστικά στο ερώτημα της εκφώνησης. Οι λύσεις του Κώστα (Ψυλάκου) μαζί με τις υπόλοιπες καλύπτουν όλο το φάσμα των πιθανών λύσεων και νομίζω ότι το ποια είναι η καταλληλότερη εξαρτάται και από άλλους παράγοντες όπως ανέφερες. Για το χρονικό σημείο της ανάρτησης συμφωνώ μαζί σου μπορεί να ήταν πιο εύστοχο να γίνει η ανάρτηση προς το τέλος του Σεπτέμβρη που θεωρώ θα γίνουν οι επαναλήψεις στα κεφαλαία κρούσεις – στερεό – ταλαντώσεις. Θοδωρή σε ευχαριστώ και πάλι για τον χρόνο σου και τις παρατηρήσεις σου, να είσαι καλά.
Γεια σου Σάββα σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και το σχόλιο σου, να είσαι καλά!
Γεια σου Παύλο. Ωραίο θέμα, διαβάζοντας το γρήγορα στη αρχή έψαχνα να βρω πού δίνεις το όριο θραύσης του νήματος.
Σημαντικά επίσης τα σχόλια που ακολούθησαν για την προσοχή στη διαχείριση αλγεβρικών τιμών, αλλά και τη δυσκολία στη χρήση τους, σε συνδυασμό με ανισότητες απολύτων.
Σε λίγο καιρό, στην επιλογή των γραμματοσειρών Arial, Calibri κ.λπ., θα μπει και η γραμματοσειρά Psylakos !!
ΧΑΧΑΧΑΧ καλα ο Κώστας ειναι φοβερος 🙂
Γεια σου Γρήγορη, σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και το σχόλιο. Το σχόλιο σου για την γραφή του Κώστα όλα τα λεφτά, να είσαι καλά!
Καλησπέρα Παύλο, καλησπέρα σε όλους.
Ψιλή βροχούλα έπιασε μα ίσα που βράχηκε η αυλή στο χωριό,
ίσως προετοιμάζονται οι δεξαμενές τ’ ουρανού
από τις φυσικές δυνάμεις για ν’ ανοίξουν οι κρουνοί… είθε.
Έχουν δίκιο Κώστας και Θοδωρής στα ’’περί φόβου ολίσθησης λόγω προσήμων’’,
όμως ας υπερβώ τα φοβικά.
Ξεκινώντας στο στυλ Κων/νου ,
από τη στιγμή που δεν δίδεται όριο θραύσης του νήματος
το υποθέτω ‘’άθραυστο’’ ,οπότε η ράβδος θα ισορροπεί
σίγουρα με το ελατήριο σε επιμήκυνση.
Όταν όμως το ελατήριο
συσπειρωθείσυμπιεσθεί η δύναμη Fελ στο Α θα δημιουργεί ως προς το Ο ροπή αντίροπη της αντίστοιχης του Μg και οριακά η ράβδος θα ισορροπεί τη στιγμή που η Fελ θα έχει max τιμή και η Τ=0.Έτσι Στο=0→│Fελ│Lημφ=2mg ημφ L/2→│Fελ│=mg
Για το σώμα Σ τότε ισχύει: -│Fελ│-mg=-kAmax→ Amax=2mg/k
Είναι άραγε ελλιπής η λύση;
Γεια σου Παντελή, σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και για το σχόλιο σου. Θεωρώ πως η λύση που παρουσίασες είναι πολύ καλή. Να είσαι καλά!