by 
Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w1=40Ν, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, αρθρωμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ έχει προσδεθεί στο άκρο της Α, μέσω οριζόντιου νήματος, με τον τοίχο. Στο άκρο της Α, έχει δεθεί και το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, στο άλλο άκρο του οποίου ηρεμεί μια σφαίρα Σ μάζας m=4kg.
i) Να υπολογιστούν τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, στο άκρο της Β.
ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y1=0,3m και τη στιγμή t0=0, την αφήνουμε να κινηθεί, με αποτέλεσμα να εκτελέσει αατ.
α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.
β) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο Τ=f(t) και να παρασταθεί γραφικά.
iii) Σε μια στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση ισορροπίας της, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Σ1, μάζας m1=2kg, η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ1, για την οποία μηδενίζεται η τάση του νήματος, που συγκρατεί τη ράβδο.
Δίνεται g=10m/s2 .
Αφιερωμένη στον Θοδωρή Παπασγουρίδη μαζί με τις ευχές μου για καλή δύναμη, την νέα χρονιά που αρχίζει…
(Ας μην θεωρηθεί σαν μια προσπάθεια… καλοπιάσματος 🙂 για να μην γράψει αρνητική κριτική για το θέμα, όπως έκανε πρόσφατα, κάτω από την αντίστοιχη ανάρτηση του Παύλου.)
Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλή τόσο η άσκηση όσο και η ανάλυση που γίνεται στη λύση.
Στην αρχική ΑΑΤ έχεις φροντίσει να μην ξεπερνα το σώμα που εκτελει ΑΑΤ την ΘΦΜ άρα το ελατήριο είναι πάντα σε επιμύκηνση .
Ακόμη και έτσι να μην ήταν για την εύρεση της Τ= f(y) το Στ(Β) = 0 θα είχε την ίδια μορφή με αυτή που έχεις γράψει. Μάλιστα να προσθέσω ότι τελικά θα είχαμε :
Τ= (F’ελ + 0.5*W1) * (1/εφφφ) ===> Τ= (W + k*y + 0.5*W1) * (1/εφφφ) τελικά
Τ = 80 + (400/3) * y (S.I.)
από εδω για Τ=0 θα έχουμε y= – 0.6 m άρα όπως έχεις βρει και εσύ είναι μια θέση πάνω από την ΘΦΜ κατά 0.2m όπου αυτή θα είναι και η συμπίεση του ελατηρίου.
Το τελευταίο ερώτημα με την ελάχιστη ταχύτητα του Σ1 ώστε Τ= 0 είναι πολύ καλό και έχει την δυσκολία του το τι ακριβώς σημαίνει ….
Καλημέρα Διονύση και Κώστα.
Ωραία άσκηση…. παντός καιρού. Με το τρίτο ερώτημα να αναγκάζει το μαθητή να ανεβάζει στροφές.
Εγώ θα την έλυνα όπως ο Κώστας.
Παρατηρώ ότι αποφεύγεις να γράφεις διανυσματικές σχέσεις.
Στο ii) β) γράφεις
Fελ + mg = – Dψ
Σαν μαθητής προβληματίζομαι.
Αφου η Fελ κα mg έχουν αντίθετη φορά σε κάποια πρέπει να βάλω ένα πλην διότι οι δυνάμεις δεν είναι ομόρροπες.Εκει μπορεί να αρχισουν τα λάθη.
Γι αυτό εγώ ακολουθώ …τον τρίτο δρόμο
Καλημέρα Γιωργο .
Στη σχέση αυτη Fελ + W = – k*y εχουμε αλγεβρικές τιμές .
Στην συνέχεια επειδη η προς τα κάτω φορά είναι θετική θα εχουμε :
Fελ + |W| = – k*y ==> Fελ = – |W| – k*y ==>
Fελ = – m*g – k*y αυτη η σχέση δινει την αλγεβρική τιμη της Fελ = f(y)
Καλημέρα! Πολύ ωραία επαναληπτική άσκηση Διονύση και ιδιαίτερα όμορφο το ερώτημα iii), σε ευχαριστούμε πολύ.
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
Κώστα, Γιώργο και Παύλο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιώργο η σχέση που έγραψα Fελ + mg = – Dψ είναι με αλγεβρικές τιμές. Δεν αναφέρεται στα μέτρα των δυνάμεων. Και αλγεβρικές τιμές χρησιμοποιούμε στην μελέτη των ταλαντώσεων.
Αντίθετα, όταν μιλάμε και μελετάμε ροπές, εφαρμόζουμε τον ορισμό της ροπής, όπως τον διδάσκονται οι μαθητές, που χρησιμοποιεί το μέτρο της δύναμης.
Παραπάνω προσπάθησα αυτές τις δύο διαφορετικές αντιμετωπίσεις, να τις αναδείξω (δεν ξέρω πόσο πέτυχα το στόχο…) και γι΄αυτό Κώστα δεν ήθελα να μηδενίσω το μέτρο της τάσης και από κει να βρω την τιμή της απομάκρυνσης σε μια εξίσωση που χρησιμοποιείται με χρήση των μέτρων των δυνάμεων.
Διδακτικά, με άλλα λόγια, θα δίδασκα με επιμονή την χρήση των αλγεβρικών τιμών στις ταλαντώσεις, αλλά θα δίδασκα επίσης με επιμονή τη χρήση των μέτρων για τις δυνάμεις, κατά την μελέτη ισορροπίας στερεού.
Διονύση ευχαριστώ για την αφιέρωση και τις ευχές. (*)
Να διευκρινίσω πως η “αρνητική” κριτική δεν στόχευε συγκεκριμένα την ανάρτηση
του Παύλου, στόχευε τη λογική των ασκήσεων που κατά το ήμισυ απαιτούν και ζητούν
χρήση αλγεβρικών τιμών διανυσματικών μεγεθών και κατά το άλλο μισό
απαιτούν χρήση μέτρων των ίδιων διανυσματικών μεγεθών….
Αυτό δημιουργεί μπέρδεμα στη σκέψη των περισσότερων μαθητών, ειδικά όσων
δεν έχουν την ίδια άνεση στη χρήση φορμαλισμού με αυτή που έχουν καθηγητές μετά από 30 χρόνια διδασκαλίας του γνωστικού αντικειμένου….
Εδώ δεν συμβαίνει κάτι ανάλογο…. φροντίζεις στα 3 πρώτα βασικά ερωτήματα
η φορά της δύναμης του ελατηρίου να μένει σταθερή.
Έτσι η χρήση της συνθήκης περιστροφικής ισορροπίας διευκολύνεται και δεν
δημιουργεί προβλήματα.
Στο τελευταίο ερώτημα, μπορεί κάποιος από τη σχέση που έχει ήδη γράψει Τ=f(y)
να βρει την τιμή του y για την οποία μηδενίζεται η τάση Τ=0 ή να σκεφτεί όπως
προτείνεις στη λύση. Ο υπολογισμός του πλάτους της νέας ταλάντωσης προκύπτει αβίαστα.
Θα συμφωνήσω πως το ερώτημα της ελάχιστης ταχύτητας έχει ενδιαφέρον, αλλά
για πολλούς λόγους προσωπικά θα έδινα τη φορά κίνησης του ταλαντωτή…
Ένας από αυτούς τους λόγους θα ήταν για να προστατέψω τον εαυτό μου στη διόρθωση των γραπτών…
(*) Από τις 31/8 προβληματίζομαι αν εμείς οι δημόσιοι υπάλληλοι και μέλη της ΑΔΕΔΥ
είμαστε κανονικοί εργαζόμενοι…. ή κάτι άλλο….
Αξίζει κάποιος να ανατρέξει και σε αυτή την ανάρτηση ώστε να επιβεβαιώσει
τη συνέπεια λόγων και έργων σε όσα γράφεις.
Στην ανάρτηση που παραπέμπω στο δεύτερο σχόλιο του Χρήστου δίνεται
σύνδεσμος και για παλαιότερη ανάρτηση….
Αξίζει κάποιος να τη μελετήσει και να πάει ακόμα πιο πίσω να επιβεβαιώσει
όσα σχολίασα με αφορμή την ανάρτηση του Παύλου
Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Δεν σε “κατηγόρησα” για αρνηρική κριτική! Διατύπωσες μια γνώμη για τέτοιου είδους ασκήσεις και αυτό είναι πολύ θεμιτό. Άλλωστε όπως φάνηκε στη συνέχεια από τις παραπομπές σου, ο Παύλος δεν είναι ο πρώτος που ανέβασε τέτοια άσκηση…
Με έδωσες σε δύο προηγούμενες απόπειρες 🙂
(καλά, πού τις θυμήθηκες…)
Καλημέρα.
Το είχα σκεφτεί χθες αλλά είχα κάνει ήδη σχόλιο και σκέφτηκα ας μην το πω.
Πήρα όμως πάσα από τον Θοδωρή.
Ένας μαθητής δίδει την λυση του Διονύση. Φορά ταχύτητας του m προς τα πάνω
Αλλος παίρνει φορά ταχύτητας προς τα κάτω. Βρίσκει και αυτός ταχύτητα και θεωρεί ότι αυτή είναι ελάχιστη.
Ο τρίτος παίρνει δυο περιπτώσεις και απορρίπτει την μεγαλύτερη ταχύτητα.
Ο τέταρτος παιρνει δυο περιπτώσεις και δεν απορρίπτει καμιά.
Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ναι, μπορεί κάποιοι μαθητές να κάνουν όλα αυτά που λες!
Αλλά η άσκηση ζητάει την ελάχιστη ταχύτητα και αυτή είναι μία!
Το αν την βρούν, το αν είναι εύκολο να την βρουν, το αν μπορεί να μπερδευτούν και να χαθούν στο ψάξιμο, όλα αυτά είναι άλλο ζήτημα…
Και ποιο είναι το ζήτημα; Να έχουν μια αίσθηση το τι γίνετσι στην κρούση, χωρίς να κάνουν υπολογισμούς και μαθηματικές πράξεις.
Δηλαδή να μπορούν να απαντήσουν σε ποια περίπτωση στο παρακάτω σχήμα, η σφαίρα Β αποκτά ταχύτητα μεγαλύτερου μέτρου. Στην περίπτωση α) ή στην β);
Δύσκολο; Προφανώς! Αλλά δεν είναι πάντα όλα εύκολα σε αυτή την ζωή…
Καλημέρα Διονύση.
Τι θα άλλαζε στο πρόσημο των ροπών αν η F’ελατ άλλαζε κατεύθυνση κατά την διάρκεια της ΑΑΤ;