by Λύνοντας μία άσκηση ρουτίνας για το αρχείο μου μου ήρθε στο μυαλό μία ανάρτηση του Μάργαρη που μου άρεσε πολύ σχετικά με την ακτίνα καμπυλότητας. Λέω δεν τη δοκιμάζω και εδώ. Τι ήθελα και το είπα. Έγινε το κεφάλι μου καζάνι και άκρη δεν έβγαλα, οπότε ως ταπεινός ερασιτέχνης αστρονόμος είπα να απευθυνθώ σε ειδικούς. Εδώ ολόκληρος Einstein ζήτησε βοήθεια από τον Καραθεοδωρή και εγώ.
Πρώτα να δούμε πως εργαζόμαστε εμείς στα κεντρικά πεδία και σε όλες τις κωνικές τομές. Εδώ επέλεξα την ελλειπτική τροχιά.
Ακολουθούμε πολικές συντεταγμένες: r = α(1-e2)/(1+cosθ) , ακτινική ταχύτητα Vr = dr/dt και εγκάρσια Vθ = r(dθ/dt) = rω. Στανίως δε ακτινική επιτάχυνση αr και εγκάρσια αθ. Εργαζόμουν στο περιήλιο. Βρήκα τον μαθηματικό ορισμό που στο περιήλιο έδινε R = b2/α, κεντρομόλος επιτάχυνση αc = V2/R = g μια χαρά. Αλλά … η εγκάρσια ταχύτητα Vθ = ωrΠ και όχι ωR. Εδώ ένας τύπος κάπου στο λαβύρινθο του διαδικτύου έγραφε το ωραίο την υ2/R ονόμαζε κεντρομόλο και την ω2r = υ2/r “κεντρομόλο”!!! Στο Π έχω εγκάρσια επιτάχυνση αθ αλλά η επιτρόχια είναι μηδέν. Πάω στην τυχαία θέση και διαπιστώνω ότι η ανάλυση του g δίνει επιτρόχιο επιτάχυνση που όμως καμία σχέση δεν έχει με την πραγματική κατά μήκος της V α = (αr2 + αθ2 )1/2 , μετά σκέφτηκα τι να γίνεται στη πλάγια βολή σε πολικές συντεταγμένες και …πάτησα φρένο.
Τελικά νομίζω ότι οι κεντρομόλες και επιτρόχιες επιταχύνσεις δε θα μου χρειαστούν ποτέ. Σε άλλες καμπυλόγραμμες κινήσεις δεν ξέρω.
Νομίζω ότι το πιο απλό που μπορείς να κάνεις είναι το εξής. Βρες την ταχύτητα διανυσματικά. Στη συνέχεια βρες το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση της ταχύτητας (διανυσματική ταχύτητα δια του μέτρου της ταχύτητας). Στη συνέχεια βρες τη συνιστώσα της επιτάχυνσης σε αυτόν τον άξονα παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο της διανυσματικής επιτάχυνσης επί αυτό το μοναδιαίο διάνυσμα. Αυτή είναι η εφαπτόμενη στην τροχιά συνιστώσα της επιτάχυνσης. Αφαίρεσε διανυσματικά από τη συνολική επιτάχυνση αυτή την εφαπτομενική συνιστώσα και θα έχεις τη κεντρομόλα συνιστώσα της επιτάχυνσης η διεύθυνση της οποίας περνά από το κέντρο καμπυλότητας. Το μέτρο αυτής θα είναι επιτρόχια ταχύτητα στο τετράγωνο δια την ακτίνα καμπυλότητας. (Για περισσότερες πληροφορίας :Κανάρης Τσίγγανος:Εισαγωγή στη θεωρητική Μηχανική: Σελ:=53,54, Εκδόσεις Σταμούλης)
Βασίλη ευχαριστώ πολύ. Το έψαξα και όντως έτσι είναι, υπάρχει και μια ανάρτηση ενός συναδέλφου εδώ στο υλικό για την πλαγιά βολή.Το πρόβλημά μου όμως παραμένει. Ποια η φυσική ερμηνεία της κεντρομόλου και της επιτρόχιας σε μια καμπυλόγραμμη τροχιά.πχ η ακτινική ταχύτητα δίνει τον Ρυθμό με τον οποίο αυξομειώνεται το r και η ακτινική επιτάχυνση τον Ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται αυτή η ταχύτητα.
Καλησπέρα Άρη.
Δεν πρέπει να μπερδεύουμε την ακτίνα r π.χ. της Γης από τον Ήλιο, με την ακτίνα καμπυλότητας.
Αν βρούμε την επιτάχυνση και την αναλύσουμε σε δύο άξονες, όπου ο ένας είναι η εφαπτόμενη στην καμπύλη τροχιά και ο άλλος κάθετος σε αυτόν, τότε:
Η συνιστώσα επιτάχυνση που έχει την διεύθυνση της ταχύτητας, μας δείχνει το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το μέτρο της ταχύτητας, ενώ η άλλη (ας την ονομάσουμε κεντρομόλο…) μας δείχνει την καμπυλότητα της καμπύλης στη θέση αυτή, δηλαδή την ακτίνα ενός κύκλου, ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την τροχιά στο σημείο αυτό.
Γράφοντας Άρη:
“μας δείχνει την καμπυλότητα της καμπύλης “, προφανώς όχι η επιτάχυνση. Αλλά η γνώση αυτής της συνιστώσας επιτάχυνσης, μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ακτίνα του κύκλου που προσεγγίζει την καμπύλη…
Η κεντρομόλος επιτάχυνση (από μόνη της) μας εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας που οφείλεται στην αλλαγή της διεύθυνσής της.
Καλησπέρα Άρη.
Μερικά λυμένα παραδείγματα που, νομίζω, μπορούν να βοηθήσουν να λυθούν κάποιες απορίες
σου.
https://drive.google.com/file/d/12tAWLm_RfPCG1DIOLS9VFO_EZMVr9zUp/view?usp=sharing
Για έλλειψη
https://drive.google.com/file/d/1TRX1MP8ilDi1kPDDswvQm2gURghDDDOv/view?usp=sharing
https://blogs.4all.e-me.edu.gr/ylikonet2/wp-content/uploads/sites/12561/2021/04/%CE%A0%CE%B5%CF%81%CE%AF-%CE%B1%CE%BA%CF%84%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CF%82-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%BA%CE%AD%CE%BD%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%85-%CE%BA%CE%B1%CE%BC%CF%80%CF%85%CE%BB%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%CF%82-%CE%BC%CE%B9%CE%B1%CF%82-%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%AE%CF%82-2.pdf
https://ylikonet.gr/?s=%CE%9A%CE%B1%CE%BC%CF%80%CF%85%CE%BB%CF%8C%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%B7+%CE%BA%CE%B1%CE%B9+%CF%8C%CF%87%CE%B9+%CE%BA%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%AE+
Στο πρώτο link κοίτα την άσκηση 2
Άρη πολύ χρήσιμα τα παραδείγματα σε ένα αντικείμενο που δεν είχα ασχοληθεί. Διονύση πρόσεξε τι δεν έχω καταλάβει. Σε πολικές συντεταγμένες έχω ακτινικές και εγκάρσιες ταχύτητες και αντίστοιχα ακτινικές και εγκάρσιες επιταχύνσεις. Η συνισταμένη των δύο επιταχυνσεων προφανώς έχει τη φορά της ταχύτητας και μας δίνει τον Ρυθμό μεταβολής της, η επιτρόχια είναι μια διαφορετική επιτάχυνση. Μας δίνουν δύο διαφορετικά μεγέθη το ίδιο αποτέλεσμα; Η ακτίνα καμπυλότητας όπως είδα είναι μαθηματική έννοια και δίνεται με έναν μαθηματικό τύπο ανεξάρτητα από ταχύτητες και επιταχύνσεις από την εξίσωση τροχιάς. Γνώμη μου με πολύ μεγάλη επιφύλαξη είναι ότι αφού η κίνηση είναι πλήρως τεκμηριωμένη με τις πολικές συντεταγμένες δεν έχουν νόημα η κεντρομόλος και η επιτρόχια. Δε γίνεται εγώ κινούμενος σε ελλειπτική τροχιά να νιώθω και ακτινική και κεντρομολο. Άλλωστε στην κυκλική τροχιά η ακτινική γίνεται πλέον κεντρομόλος.Αυτό για πεδία κεντρικών δυνάμεων που με ενδιαφέρει. Παραπέρα δεν ξέρω.
Πάντως το πρόβλημα μου αυτή την εποχή δεν είναι η ακτίνα καμπυλότητας αλλά η ακτίνα του φράγματος που τείνει στο μηδέν και θα μείνουμε χωρίς νερό. Χωρίς πουλάκι το κλουβί χωρίς νερό η κρήνη.
Για να βρούμε την επιτάχυνση σε πολικές συντεταγμένες πρέπει να παραγωγίσουμε (με τον κανόνα της αλυσίδας) και τις διανυσματικές μονάδες, οι οποίες αλλάζουν κατεύθυνση.
Καλημέρα παιδιά.
Άρη μια προσπάθεια από μένα με γνώσεις Λυκείου:
Δηλαδή σε κάθε γνωστή απόσταση r αντιστοιχούμε την ακτίνα καμπυλότητας R κάνοντας πράξεις στον τελικό τύπο.
Ο τελικός τύπος απλοποιείται περισσότερο.
Αν υπάρχουν λάθη διορθώνονται αλλά η πορεία είναι αυτή.
Απέφυγα πολικές συντεταγμένες.
Για τον κύριο Κυριακόπουλο. Όταν μιλάμε για επιτρόχια και εγκάρσια ταχύτητα και επιτάχυνση, φυσικά χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες. Σε αυτές η ταχύτητα έχει δύο όρους αλλά η επιτάχυνση τέσσερις.
Καλημέρα κύριε Βάρβογλη.
Δεν χρησιμοποίησα πολικές συντεταγμένες επιδιώκοντας λυκειακή λύση.
Η γωνία φ είναι αυτή μεταξύ του r kαι του V.
Αν έχω κάποιο λάθος ας εντοπιστεί από τους φίλους που διαβάζετε τη λύση.
Συμφωνώ με όσα γράφετε αλλά δεν χρησιμοποίησα την θ καθόλου.
Για τον κύριο Κυριακόπουλο. Η λύση σας φαίνεται σωστή, αλλά φυσικά έχετε χρησιμοποιήσει τη γωνία θ: στο σχήμα σας είναι το συμπλήρωμα της φ.
Κύριε Βάρβογλη δεν είναι συμπληρωματικές.
Ένα απόλυτα ακριβές σχήμα (Geogebra):
Η μία είναι 30 μοίρες και η άλλη 42,62 μοίρες.
Στη λύση μου ασχολούμαι μόνο με τη δεύτερη.