by Λύνοντας μία άσκηση ρουτίνας για το αρχείο μου μου ήρθε στο μυαλό μία ανάρτηση του Μάργαρη που μου άρεσε πολύ σχετικά με την ακτίνα καμπυλότητας. Λέω δεν τη δοκιμάζω και εδώ. Τι ήθελα και το είπα. Έγινε το κεφάλι μου καζάνι και άκρη δεν έβγαλα, οπότε ως ταπεινός ερασιτέχνης αστρονόμος είπα να απευθυνθώ σε ειδικούς. Εδώ ολόκληρος Einstein ζήτησε βοήθεια από τον Καραθεοδωρή και εγώ.
Πρώτα να δούμε πως εργαζόμαστε εμείς στα κεντρικά πεδία και σε όλες τις κωνικές τομές. Εδώ επέλεξα την ελλειπτική τροχιά.
Ακολουθούμε πολικές συντεταγμένες: r = α(1-e2)/(1+cosθ) , ακτινική ταχύτητα Vr = dr/dt και εγκάρσια Vθ = r(dθ/dt) = rω. Στανίως δε ακτινική επιτάχυνση αr και εγκάρσια αθ. Εργαζόμουν στο περιήλιο. Βρήκα τον μαθηματικό ορισμό που στο περιήλιο έδινε R = b2/α, κεντρομόλος επιτάχυνση αc = V2/R = g μια χαρά. Αλλά … η εγκάρσια ταχύτητα Vθ = ωrΠ και όχι ωR. Εδώ ένας τύπος κάπου στο λαβύρινθο του διαδικτύου έγραφε το ωραίο την υ2/R ονόμαζε κεντρομόλο και την ω2r = υ2/r “κεντρομόλο”!!! Στο Π έχω εγκάρσια επιτάχυνση αθ αλλά η επιτρόχια είναι μηδέν. Πάω στην τυχαία θέση και διαπιστώνω ότι η ανάλυση του g δίνει επιτρόχιο επιτάχυνση που όμως καμία σχέση δεν έχει με την πραγματική κατά μήκος της V α = (αr2 + αθ2 )1/2 , μετά σκέφτηκα τι να γίνεται στη πλάγια βολή σε πολικές συντεταγμένες και …πάτησα φρένο.
Τελικά νομίζω ότι οι κεντρομόλες και επιτρόχιες επιταχύνσεις δε θα μου χρειαστούν ποτέ. Σε άλλες καμπυλόγραμμες κινήσεις δεν ξέρω.
κύριε Κυριακόπουλε, στο αρχικό σχήμα σας φαινόταν συμπληρωματικές. Αλλά και να μη είναι συμπληρωματικές, η μία είναι συνάρτηση της άλλης. Αν σε ένα επίπεδο ορίσετε συντεταγμένες με μια απόσταση και μια γωνία, το σύστημα είναι ισοδύναμο με πολικές συντεταγμένες.
Κύριε Βάρβογλη δεν έχω αντίρρηση. Όμως η λύση δεν επικαλείται πολικές συντεταγμένες. Είναι μια απλή λύση για μαθητές λυκείου.
Επίσης δεν όρισα κάποιες συντεταγμένες. Η Φ δεν προσδιορίζει θέση αλλά διεύθυνση ταχύτητας.
Γιάννη καλησπέρα.
Πριν λίγο είδα την δουλειά σου και νομίζω είναι σωστή.
Με μερικές διευκρινήσεις στο αφαιρετικό κείμενό σου –συνηθισμένο για Κυριακόπουλο- και μια προσθήκη του εφαπτόμενου κύκλου στο σχήμα σου νομίζω ξεκαθαρίζουν τα πράγματα,
Πάνω στην ευθεία που είναι κάθετη στην V και στο σημείο Α θα βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου, κέντρου Κ, και ακτίνας R ο οποίος μπορεί να προσεγγίσει την καμπύλη τροχιά στην θέση Α. Την ακτίνα αυτού του κύκλου ονομάζουμε ακτίνα καμπυλότητας. Το προσθέτω στο σχήμα σου.
Προφανώς σωστές οι σχέσεις (1), (2) αν δεν κάνω λάθος και η προκύπτουσα (3).
Πάμε τώρα στο συμπληρωμένο σχήμα εκεί που υπολογίζεις
«Η κεντρομόλος δύναμη είναι:» αφορά την συνιστώσα Fημφ άρα έχει την διεύθυνση της R της ακτίνας του εφαπτόμενου κύκλου και όχι της r.
Επίσης «Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι:» αναφέρεται στην επιτάχυνση στην διεύθυνση της R της ακτίνας του εφαπτόμενου κύκλου και όχι της r.
Έχει σημασία να σημειώσουμε εδώ ότι στον τύπο μπαίνει όλη η V.
Προφανώς η γωνία μεταξύ των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται τα R και r είναι 90-φ.
file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002.jpg Δεν έχω ελέγξει όλες τις πράξεις στο τέλος αλλά νομίζω αυτό είναι δευτερεύον.
Γεια σου Άρη. Φυσικά είναι πάνω στην κάθετη. Σχήμα όταν γυρίσω.
Άρη δεν είναι αυτός:
Είναι μικρός.
Ούτε αυτός:
Είναι μεγάλος.
Είναι ο μεγαλύτερος κύκλος με κέντρο στην κάθετη επί της εφαπτομένης που εφάπτεται στην έλλειψη.
Ειρήσθω εν παρόδω η λύση που έγραψα ταιριάζει και σε παραβολική τροχιά και σε υπερβολική.
Διατήρηση ενέργειας και στροφορμής, χωρίς να μας απασχολεί αν είναι δορυφόρος ή αντικείμενο που διαφεύγει από το βαρυτικό πεδίο.
Το μέγεθος είναι σχετικό Γιάννη, η διαδικασία και οι θέσεις της καμπύλης του εφαπτόμενου κύκλου της ακτίνας καμπυλότητας και των άλλων μεγεθών έχει σημασία να δούμε.
Σωστά.
Αναφέρω το μέγεθος για να πω ότι είναι ο μέγιστος εφαπτόμενος κύκλος.
Γεια σου Γιάννη με τα ωραία σου. Μόλις γύρισα από τα κτήματα και είδα την σημαντική προσφορά σου όσο και του κου Βάρβογλη στον διάλογο. Σας ευχαριστώ πολύ.
Για δοκιμή υπέθεσε τον πλανήτη στο περιήλιο θέσε r = RΠ =α(1-e) και τον τύπο της ταχύτητας στο περιήλιο δες τον στην προηγούμενη ανάρτηση μου. Θα πρέπει να βγει στο περιήλιο R = α(1-e^2). Θα το δω και γω αργότερα. Κάτι άλλο. Δεν έχω κατανοήσει τη φυσική σημασία της κεντρομόλου τη στιγμή που υπάρχει η ακτινική δύναμη η οποία στην οριακή περίπτωση της κυκλικής τροχιάς είναι η κεντρομόλος.
Γιάννη όχι τη κεντρομόλο, την επιτρόχια. Όπως έγραψε και ο κος Βάρβογλης σε πολικές συντεταγμένες έχουμε ακτινική και εγκάρσια ταχύτητα όπως και ακτινική και εγκάρσια επιτάχυνση. Η συνισταμένη των δύο επιταχύνσεων έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας και μας δίνει το Ρυθμό μεταβολής της. Και η επιτρόχια; Το ίδιο;
Γεια σου Άρη.
Το σώμα δέχεται κάποια δύναμη και έχει κάποια ταχύτητα.
Αναλύουμε τη δύναμη κάθετα στην ταχύτητα και κατά τη διεύθυνση της ταχύτητας.
Η κάθετη συνιστώσα είναι η κεντρομόλος δύναμη.
Αν διαιρεθεί με τη μάζα παίρνουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση ακ.
Η ακτίνα καμπυλότητας είναι ίση με V^2/ακ.
Το γεωμετρικό της περιεχόμενο βρίσκεται στα σχήματα.
Γιαννη η δοκιμή στέφθηκε από επιτυχία.
Άρη η επιτρόχια είναι ίση με το πηλίκο της άλλης συνιστώσας διά τη μάζα.
Άρη καλημέρα, προ ετών είχα καταπιαστεί με την τροχιά της Σελήνης γύρω από τον Ήλιο, σε στοιχειώδες επίπεδο, προσδιορίζοντας την εκάστοτε θέση του κέντρου καμπυλότητας, στο IP . Παραπάνω είναι η αντίστοιχη δ/νση. Γράφω από κινητό και δυσκολεύομαι για περισσότερες λεπτομέρειες.
Το αρχείο ΕΔΩ.
Πολύ καλό Δημήτρη. Βασικά αυτή την ανάλυση πρέπει να γνωρίζει κάθε μαθητής λυκείου. Αλλά…