Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=80Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί.

  1. Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού.
  2. Ποια η μέγιστη τιμή F1 που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύναμης αυτής, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;
  3. Μεταβάλλοντας το μέτρο της κατακόρυφης αυτής δύναμης, ανασηκώνουμε τη δοκό, φέρνοντάς την να ισορροπεί σε μια νέα θέση, όπου σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπως στο κάτω σχήμα. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F2, σε συνάρτηση με την γωνία θ.
Η απάντηση με κλικ ΕΔΩ ή και ΕΔΩ.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
19 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Αποστόλης Παπάζογλου
Διαχειριστής

Καλημέρα Διονύση και σε ευχαριστώ για την αφιέρωση. Όμορφο θέμα με ίσως μη αναμενόμενο διαισθητικά αποτέλεσμα.

Παύλος Αλεξόπουλος
15/10/2024 11:10 ΠΜ

Πολύ ωραία άσκηση Διονύση, ευχαριστούμε πολύ!

Βασίλης Δουκατζής
Διαχειριστής
16/10/2024 9:40 ΠΜ

Καλημέρα Διονύση!
Ωραία άσκηση και μη αναμενόμενο διαισθητικά το αποτέλεσμα. Θυμίζει λίγο το πρόβλημα με τον κύβο σε οριζόντιο επίπεδο που ασκώντας οριζόντια δύναμη προσπαθούμε να τον ανατρέψουμε πριν ολισθήσει. Και εκεί η δύναμη Ν αυξάνοντας συνεχώς την “σπρωχτική δύναμη” καταλλήγει στην ακμή πριν την ανατροπή.
Κάτι άλλο: οι εξισώσεις στο mathtype μου τις έβγαλε όπως στην εικόνα (δεν ξέρω αν το έκανε μόνο σε μένα, αλλά ανοίγωντας την εξίσωση και πατώντας ένα γράμμα π.χ. α και μετά σβήνοντάς το επανέρχεται στα συγκαλά του!!!
comment image

Χριστόπουλος Γιώργος

Διονύση καλησπέρα. Πολύ όμορφη και όπως πάντα διδακτική. Αν ήμουνα Σχολείο δεν υπήρχε περίπτωση να μην την δίδασκα!

Ανδρέας Βαλαδάκης
16/10/2024 6:43 ΜΜ

Διονύση καλησπέρα.

Στη απάντηση του 1ου ερωτήματος αναφέρεις: “η κάθετη αντίδραση του επιπέδου δεν ασκείται στο μέσον της δοκού, αλλά σε κάποιο σημείο Γ, δεξιά του K, σε απόσταση x, όπως στο σχήμα”.
Κατόπιν στην απάντηση του 2ου ερωτήματος αναφέρεις: “η Ν θα φτάσει στο άκρο Β της δοκού, πράγμα που σημαίνει πρακτικά ότι η δοκός έρχεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, μόνο με το άκρο της Β”

Ερώτηση: Στην 1η περίπτωση η δοκός έρχεται σε επαφή μόνο με το Γ;

comment image

Τελευταία διόρθωση23 ημέρες πριν από admin
Ανδρέας Βαλαδάκης
16/10/2024 7:21 ΜΜ

Σε ευχαριστώ για την απάντησή σου.

Βέβαια από τον μαθητή δεν περιμένουμε αυτή την ανάλυση αλλά να επικαλεστεί το εμπειρικό δεδομένο: “αυξάνοντας συνεχώς το μέτρο της F, κάποια στιγμή η Ν θα φτάσει στο άκρο Β της δοκού, πράγμα που σημαίνει πρακτικά ότι η δοκός έρχεται σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο, μόνο με το άκρο της Β και είναι έτοιμη να αρχίσει να περιστρέφεται.”

Θοδωρής Παπασγουρίδης

Καλημέρα στους συνομιλητές

Διονύση, η άσκηση δόθηκε σήμερα και στα δύο τμήματα.

Δέχθηκα ανάλογη ερώτηση με αυτήν του Ανδρέα. Η αποδοχή απάντησης,
ανάλογης με αυτή που έδωσες, δεν συνάντησε αντιρρήσεις…

Τους ανέφερα και το ανάλογο παράδειγμα της δύναμης του υγρού στο τοίχωμα του δοχείου, χωρίς βέβαια να υπολογίσουμε το ακριβές βάθος

comment image

Στο ερώτημα (2), η ισότητα των μοχλοβραχίονων της F και της Ν έκανε εύκολη
την απάντηση και ίσως δημιούργησε και παρανόηση…

Γι αυτό άλλαξα το σημείο εφαρμογής της F σε L/4 από το ΚΜ ώστε να μην είναι
άμεσα προβλέψιμη η απάντηση (F=2W/3)

Και εκεί όμως “ατύχησα” αφού δέχθηκα άμεση απάντηση με Στ=0 ως προς το
άκρο Β και ροπές F(3L/4) και WL/2……

Ανδρέας Βαλαδάκης
17/10/2024 6:58 ΠΜ

Απάντηση το 2ο ερώτημα, χωρίς να επικαλεστούμε την εμπειρία:

Επιλέγουμε με αρχή το Α τον άξονα των θέσεων που φαίνεται στο σχήμα.

Για τη θέση x του Γ ισχύει:

0 ≤ x ≤L (1)

όπου L είναι το μήκος της ράβδου.

Όταν η ράβδος ισορροπεί, για τα μέτρα των δυνάμεων ισχύει:

N = w -F (2)
και
F L/2 = Ν (x – L/2) (3)

Από τη (2) και την (3) προκύπτει:

x (w-F) =w L/2 (4)

Επειδή w L/2 ≠ 0, από την (4) προκύπτει ότι w-F ≠ 0, και γι’ αυτό:

x = L/2 w/(w-F) (5)

Αντικαθιστώντας την (5) στην (1) προκύπτει ότι F ≤ w/2.

Συμπέρασμα: Η μέγιστη τιμή της F ώστε η ράβδος να ισορροπεί είναι w/2.

comment image

Τελευταία διόρθωση23 ημέρες πριν από admin
Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα Διονύση.Ωραίο θέμα. Στερεό κάνουν οι μαθητές. Η βάση έχει διαστάσεις και πρέπει να καταλαβαίνουν τη διαφορά από τα “κουτιά” – υλικά σημεία, που ζωγραφίζανε ως τη Β τάξη. Υπάρχει μια διαβάθμιση που έχεις σχεδιάσει, σε κάθε κάθετη τομή της βάσης του στερεού. Η συνισταμένη καθετη αντίδραση δεν περνάει από το C.M.
Από το I.P μια προσονμοίωση με αλλαγμένη μάζα m = 4kg για να χωράει στην οθόνη.
comment image
Παρατηρούμε τη διαβάθμιση που κάνει στις αντιδράσεις. Το παράξενο είναι ότι βγάζει λάθος τιμή στο αριστερό σχήμα, ενώ στο δεξί που έχει ένα σημείο επαφής όχι. Ξέρεις γιατί το κάνει αυτό;
Η Προσομοίωση