by Η παρακάτω εικόνα είναι από προσομοίωση μιας φθίνουσας ταλάντωσης με το Interactive Physics, όπου βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις x-t, υ-t, α-t.
Όπως φαίνεται δεξιά, έχουμε ως δεδομένα:
- μάζα ταλαντωτή m = 2kg,
- σταθερά επαναφοράς k = 36N/m,
- σταθερά απόσβεσης b = 12kg/s.
Ο ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t0 = 0s, έχει αρχική απομάκρυνση A0 = 0,4m και αρχική ταχύτητα υ0 = 0m/s.
α) Υπολογίστε την γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω0 και την ιδιοπερίοδο Τ0 της αντίστοιχης αμείωτης ταλάντωσης. Από το διάγραμμα βρείτε πόση είναι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Τι συμπεραίνετε για τη σχέση μεταξύ τους;
Η προσομοίωση είναι κάποιου καλού συναδέλφου από το δίκτυό μας. Πιθανόν του Γιάννη. Μπαίνοντας στις φθίνουσες στο σχολείο, τη βρήκα τυχαία στα αρχεία μου. Όσο υπάρχει το συγκεκριμένο σχολικό βιβλίο, ο προβληματισμός για το πως διδάσκουμε τις φθίνουσες (και τις εξαναγκασμένες) θα παραμένει.
Καλησπέρα Αντρέα.
Βρήκα την ιδέα σου, μέσα από την «ανάκριση» των τριών διαγραμμάτων x,u,a, μιας φθίνουσας να βγουν στην επιφάνεια οι ριζικές διαφορές της από την α.α.τ., πολύ ευρηματική. Νομίζω είναι ένας καλός τρόπος να πεισθεί ο μαθητής/τρια.
Καλησπέρα Άρη. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Στο δίκτυό μας μάθαμε τι πραγματικά συμβαίνει στις φθίνουσες και τις εξαναγκασμένες, μέσα από εργασίες εξαιρετικών συναδέλφων, συζητήσεις και το βιβλίο του Θρασύβουλου.
Θα ήθελα περισσότερο από τους μαθητές, να πειστούν οι θεματοδότες και να αποφύγουν τα λάθη σε πιθανές ερωτήσεις, σε αυτές τις ταλαντώσεις…
Αντρέα καλησπέρα
Πολύ ωραία τα ερωτήματά σου και ο τρόπος που προτίμησες να τα περάσεις.
Στο πρώτο ερώτημα θα έλεγα ότι το μέτρο της ταχύτητας μεγιστοποιείται την 0,25s και όχι την 0,3s.
Διόρθωσε την εκφώνηση ή την απάντηση στο ερώτημα Δ6 όπου λες “Στις ακραίες θέσεις η κινητική ενέργεια δεν είναι μηδέν” και απαντάς Σ) αφού η ταχύτητα μηδενίζεται.
Ένας προβληματισμός που απασχολεί εμάς τους καθηγητές.
Τι ορίζουμε θέση ισορροπίας στην φθίνουσα ταλάντωση. Τη θέση εκείνη στην οποία ΣF=0 μόνο ή τη θέση στην οποία ΣF =0 και αν αφήσουμε το σώμα με μηδενική ταχύτητα θα μείνει ακίνητο; Τείνω να ονομάσω Θ.Ι. στις ταλαντώσεις αυτή της δεύτερης πρότασης όπου και η απόμάκρυνση δίνεται με σημείο αναφοράς αυτή. Αρκεί βεβαίως να ξεκαθαρίζεται πως στο σημείο χ=0 δεν μεγιστοπιείται η ταχύτητα κτλ.
Αν θυμάμαι στο βιβλίο του Θ. Μαχαίρα σαν Θ.Ι. αποκαλεί τη θέση όπου ΣF=0 και το σημείο από το οποίο ορίζονται οι απομακρύνσεις θέση αναφοράς και είναι η Θ.Ι. της αμείωτης ταλάντωσης.
Χρήστο σε ευχαριστώ για την προσεκτική ματιά σου και τις σωστές παρατηρήσεις σου. Έκανα τις διορθώσεις. Το δ6 είναι προφανώς Λ.
Το ουσιαστικό ερώτημα είναι αυτό, που βάζεις για τη Θ.Ι.
Γιαυτό έγραψα “Αν δεχτούμε ως ορισμό της θέσης ισορροπίας, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, τη θέση όπου ΣF = 0…”
Ο Θρασύβουλος ήταν κάθετος ότι η θέση x = 0 μπορεί να ονομαστεί κέντρο ταλάντωσης ή ελκτικό κέντρο ή θέση αναφοράς αλλά όχι θέση ισορροπίας. Στη διεθνή βιβλιογραφία όμως π.χ.:
α. Marion, J. B., Thornton, S. T. Classical Dynamics of Particles and Systems και
β. Halliday, Resnick, Walker. Fundamentals of Physics
η θέση ισορροπίας περιγράφεται ανεξάρτητα από την απόσβεση. Πιο συγκεκριμένα αναφέρουν ότι:
Σε συγκεκριμένες στιγμές, η σχέση ΣF=0 ισχύει σε θέσεις εκτός της x=0. Αυτές οι θέσεις ονομάζονται ενδιάμεσες θέσεις μηδενικής δύναμης. Ωστόσο, αυτές οι στιγμιαίες θέσεις δεν αναγνωρίζονται ως θέση ισορροπίας, καθώς η θέση ισορροπίας αναφέρεται μόνο στην στατική ισορροπία του συστήματος.
Δηλαδή η διεθνής βιβλιογραφία φαίνεται να είναι σαφής:
Καλημέρα .
Ανδρέα χρόνια πολλά για την γιορτή σου. Να εισαι καλά!
Στην άσκηση σου παρατηρω ότι η χ(t) στην γραφική παράσταση μοιάζει απεριοδική , δεν είναι όμως οπότε θα ηταν καλύτερο να υπήρχε σχεδιο για μια περιόδο.
Επίσης κάνεις εναν αρχικο υπολογισμο και βρισκεις ότι Τ/4 = 0.8s ==> T= 3.2s . Όμως παρακάτω (για καθηγητες) σωστά βγάζεις ω = 3 r/s ==> T= 2.094 s περιπου , αυτό είναι το σωστό . Τι συμβαινει ; Θελει μια ανάλυση το θέμα . Από την x(t) που δίνεις στην συνέχεια λόγω της αρχικής φάσης η χρονική στιγμη μηδενισμου του x αντιστοιχει σε t = 3T/8 = 0.785 s .
Επισης η διαφορική εξισωση που περιγραφει την κινηση έχει λύση
x(t) = Ao * exp(-Λ*t) * ημ (ωt+φ) αν το b<2mωο ,
αν ισχύει η συγκεκριμενη ανισωτητα δεν σημαινει ότι έχω απλα μικρη αποσβεση. Θεωρουμε μικρη απόσβεση ωστε η περιόδος της φθiνουσας να μπορεί να θεωρηθει περιπου ίση με την ιδιοπεριοδο :
ω^2 = ωο^2 – (b/2m)^2 {για πολύ μικρό b τότε ω—>ωο}
Καλημέρα Κώστα. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Πολύ σωστές οι παρατηρήσεις σου. Θα πρέπει να αλλάξω λίγο τα ζητούμενα και να δώσω τη γραφική παράσταση για μια περίοδο. Το απόγευμα θα κάνω τις διορθώσεις…
Κώστα έκανα μια διεύρυνση στο διάγραμμα για να φαίνεται καλύτερα. Η εύρεση της περιόδου γίνεται σωστά αν υπολογίσουμε την Τ/2 = t2 – t1, t1 = 0,8s, t2 = 2,1s διαδοχικές στιγμές μηδενισμού απομάκρυνσης.
Από το βιβλίο του Θρασύβουλου
Άρα Τ/4 = 2,1/4=0,525s < t1