by 
Τα συγκοινωνούντα δοχεία
μου τηλεφωνεί εχθές φίλος, συνάδελφος και Δάσκαλός μου, παλιά στα φοιτητικά μου χρόνια
-Βαγγέλη, έχω ερώτημα που με ταλαιπωρεί από προχθές και δεν μπορώ να ησυχάσω, θέλω τη γνώμη σου: πώς αποδεικνύουμε ότι το νερό στα συγκοινωνούντα δοχεία είναι στο ίδιο ύψος;
-μα με το πείραμα, απαντάω, το έχω κάνει πολλές φορές
-ναι, αλλά πώς το δικαιολογούμε, διότι η πίεση στις επιφάνειες είναι η ίδια, αριστερά και δεξιά, η ατμοσφαιρική, αλλά και στους πυθμένες, η ολική, συν την υδροστατική, όμως αυτές οι επιφάνειες είναι άνισες, άρα και οι δυνάμεις που δέχονται είναι άνισες, πώς λοιπόν η μία εξουδετερώνει την άλλη;
ομολογώ ότι “με έβαλε στο τρυπάκι”, ήμουν και με τα ζυμάρια στα χέρια, έφτειαχνα σπανακόπιτα,
-θα σε πάρω εγώ, είπα, όταν θα έχω μια καθαρή απάντηση
και τον ξαναπήρα αργότερα, εννοείται κόντεψα να κάψω την σπανακόπιτα, και του κατέθεσα την άποψή μου
αυτό θα κάνω και εδώ αύριο, αφού διαβάσω πρώτα τις τυχόν δικές σας
Βαγγέλη η απάντηση σε μια παλιά παρουσίαση:
Ρευστά.
Η απόδειξη στις διαφάνειες 16 και 17.
Καλημέρα Βαγγέλη και Γιάννη.
Και από μένα μια παλιότερη δημοσίευση:
Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα ρευστά.
Η δεύτερη ερώτηση.
Καλό μεσημέρι Γιάννη
νομίζω παίρνει δεδομένο ότι τα ύψη είναι ίσα, ενώ αυτό είναι το βασικό ερώτημα: γιατί τα ύψη είναι ίσα;
Καλό μεσημέρι Διονύση
πολύ καλή δουλειά, δεν την είχα δει τότε,
αλλά δεν έχεις συγκοινωνούντα δοχεία, έχεις ένα δοχείο
Πάμε στην ερώτηση που έκανε ο φίλος του Βαγγέλη:
Η δεξαμενή έχει βάθος 1 μέτρο και επιφάνεια 4 τ.μ.
Το βάρος του νερού είναι 4.000 κιλά.
Η δύναμη από την ατμόσφαιρα πάνω είναι κάπου 40.000 κιλά.
Το όλον 44.000 κιλά.
Φυσικά τον πάτο ζορίζουνε και όχι το έμβολο που κρατάει ο κύριος.
Καλημέρα Βαγγέλη. Στο σωληνα που ενώνει τα δυο δοχεια παιρνουμε μια εγκαρσια διατομη. Αυτή ισορροπει .Αρα οι εκατερωθεν δυναμεις και πιεσεις είναι ίσες. Αρα οι υδροστατικές πιέσεις εκατερωθεν θα είναι ίσες. Αρα τα ύψη σε κάθε δοχειο θα είναι ισα (P=ρgh).
Βαγγέλη γράφαμε μαζί.
Διάβασε την παρουσίασή μου. Έστω το τμήμα με τις υδροστατικές πιέσεις.
Δεν πήρα σαν δεδομένο το ότι τα ύψη είναι ίσα.
Το αποδεικνύω.
Και Διονύσης απόδειξη έκανε. Με ίδια λογική, την ισορροπία μιας οριζόντιας στήλης νερού.
Θα ήθελα όμως και μια “Αρχιμήδεια” απόδειξη. Απαγορεύεται η χρήση του όρου “πίεση” και με Αρχιμήδεια λογική να αποδείξουμε ότι το νερό στα συγκοινωνούντα δοχεία είναι στο ίδιο ύψος. Ζητώ απόδειξη τέτοια ώστε με το που εμφανίζεται ρ.g.h η λύση μηδενίζεται.
Μην ξεχνάμε και τους Αρχαίους ημών προγόνους χάριν του Πασκάλ (και όχι Πασχάλη).
Ακριβώς Γιώργο.
Πάμε όμως χωρίς ρ.g.h.
Η λογική το αποδεικνύει με μηδέν πράξεις;
Γιάννη έγραψα μια άλλη προσέγγιση για να βοηθήσω τον Βαγγέλη.
Και πολύ καλά έκανες.
Αυτή είναι η απόδειξη. Αυτό πού έκανες.
Απλώς παίζω με το θέμα.
Σχεδίασα την απάντηση αλλά θα περιμένω και άλλες ιδέες.
Χωρίς πιέσεις…
Για παράδειγμα μία μη Αρχιμήδεια απόδειξη θα ήταν αυτή:
Το σύστημα δοχείο- νερό έχει τη μικρότερη δυναμική ενέργεια όταν το νερό έχει τις δύο στάθμες στο ίδιο ύψος (η απόδειξη πολύ εύκολη).
Όμως χρησιμοποιούμε την έννοια “ενέργεια”.
Καλησπέρα στους συμμετέχοντες
Γιάννη,
παραθέτω μια σύντομη περιοδολόγηση στην εξέλιξη των ερμηνειών σχετικά με τα συγκοινωνούντα δοχεία.
Η αρχή του Αρχιμήδη, η σχετική με την Άνωση, που ισορροπεί τον πλωτήρα με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού πλεύσης, είναι ανεπαρκής για την ερμηνεία των συγκοινωνούντων δοχείων.
Ο Γαλιλαίος εισάγει την πραγμάτευση της υδροστατική με τον συνήθη δραματικό του τρόπο. Αμφισβητεί την γενικότητα της αρχής του Αρχιμήδη, με τον ισχυρισμό ότι ένας (στερεός) πλωτήρας που σχεδόν εφάπτεται με τα τοιχώματα του δοχείου που τον περιέχει, μπορεί να ισορροπήσει με ελάχιστη ποσότητα νερού με μάζα πολύ μικρότερη απ’ αυτήν του στερεού. Επομένως και ολόκληρη αυτή η υγρή μάζα να εκτοπιστεί, αυτή δεν αρκεί ώστε να ισορροπήσει το βάρος του πλωτήρα.
Πώς όμως ερμηνεύει αυτή την εμπειρία που μας είναι οικεία απ’ τις δεξαμενές των ναυπηγείων, όπου βαριά πλοία ισορροπούν σε μικρές ποσότητες νερού και έχεις ήδη πραγματευτεί Γιάννη με σχετικές αναρτήσεις εδώ στο ylikonet;
Ο Γαλιλαίος προικίζει το υγρό με την ιδιότητα που την αποκαλεί “moment” και μοιάζει με αυτό που λέμε σήμερα ορμή. Με τα δικά του λόγια:
«το moment εκφράζει αυτή την δύναμη, την ισχύ, την ικανότητα με την οποία το κινούν κινείται και το κινούμενο αντιστέκεται και αυτή η δύναμη δεν εξαρτάται μόνον απ’ το βάρος αλλά κι’ απ’ την ταχύτητα κίνησης».
Αυτή η θεώρηση εμφανίζει αριστοτελικά χαρακτηριστικά αφού το υγρό εφοδιάζεται με ένα επιπλέον χαρακτηριστικό εκτός απ’ το μετρήσιμο βάρος, δηλαδή την ταχύτητα που αποκτά το νερό στα στενά τοιχώματα του δοχείου, παρότι η κατάσταση ισορροπίας δεν προβλέπει κάποια ταχύτητα.
Με αυτές τις «εν δυνάμει» κινήσεις ερμηνεύει και την ισορροπία των συγκοινωνούντων δοχείων. Τα άνισα βάρη στα δυο σκέλη των συγκοινωνούντων, ισορροπούν στο ίδιο ύψος γιατί έχουν ίσα “moment”.
Ο Πασκάλ, με περισσότερα εμπειρικά δεδομένα, αντιμετωπίζει τα συγκοινωνούντα δοχεία στο περιβάλλον ενός ισορροπούντος υδραυλικού πιεστηρίου που το θεωρεί ως «μια νέα μηχανή που πολλαπλασιάζει δυνάμεις» δηλαδή ως έναν τύπο μοχλού. Και αγνοώ γιατί ο Αρχιμήδης δεν είδε αυτή την εκδοχή ως ο πατέρας των μοχλών.
Η κρίσιμη παράμετρος που χειρίζεται ο Πασκάλ είναι «η μεταφορά της πίεσης λόγω της συνέχειας του νερού». Εμείς θα λέγαμε διότι οι πιεστικές δυνάμεις μεταδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις ακόμα και σε καταστάσεις που το υδραυλικό πιεστήριο τελεί σε κατάσταση ισορροπίας.
Θέτω αυτή την περιοδολόγηση στην κρίση των συμμετεχόντων, συμπεραίνοντας Γιάννη ότι το ερώτημα του φίλου του Βαγγέλη είναι νόμιμο.
Δυστυχώς δεν βρήκα σχετικές ψηφιακές αναφορές. Θα μπορούσα να συνεισφέρω μόνον με τους τίτλους των πηγών στις οποίες κατέφυγα, για όποιον τις χρειαστεί.
Πολύ ωραία αναφορά Γιώργο!!!
Η απόδειξη με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια ταιριάζει με την ιδέα των μοχλών που ανέφερες.
Η απόδειξη που σκεφτόμουν και επικαλείται μόνο συμμετρία είναι:
Συγκοινωνούντα δοχεία.
Φυσικά η πιο απλή απ’ όλες τις αποδείξεις είναι αυτή με την επίκληση της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας του συστήματος.
(Η απόδειξη του θεωρήματος Τορικέλι δεν χρειάζεται την έννοια της πίεσης.)
Γιάννη παίρνεις δεδομένο ότι οι πιέσεις είναι ίσες,
ο Διονύσης έχει ένα δοχείο, θα ήταν απόλυτα σωστό, αν είχε σωλήνα το οριζόντιο τμήμα και όχι τμήμα του όλου υγρού
συμφωνώ με τον Γιώργο Χ, αλλά είναι πολύ σύντομος
Γιώργο Φ, δες, αν θες εδώ https://ekountouris.blogspot.com/2023/03/blog-post_23.html
και εδώ https://ekountouris.blogspot.com/2012/03/blog-post_2826.html
(το βιβλίο μου έχει εξαντληθεί)
η δική μου τοποθέτηση
το ότι οι προς τα κάτω δυνάμεις που ασκούνται στις διαφορετικού μεγέθους επιφάνειες των δοχείων, λόγω ατμοσφαιρικής πίεσης, είναι διαφορετικές, όπως και αυτές στους πυθμένες τους, λόγω ατμοσφαιρικής + υδροστατικής πίεσης, δεν το γνωρίζει και ούτε και το νοιάζει το κάθε δοχείο, αυτές εξουδετερώνονται από τις προς τα πάνω δυνάμεις που ασκούνται από τους πυθμένες τους
το βασικό ερώτημα είναι: ναι, το πείραμα δείχνει ότι οι ελεύθερες επιφάνειες είναι στο ίδιο ύψος, αλλά πώς εξηγείται αυτό;
η δική μου απάντηση: θεωρώ στοιχειώδη μάζα του υγρού κάπου στον οριζόντιο σωλήνα σύνδεσης των δύο δοχείων ή στο χαμηλότερο τυχόν καμπύλου σωλήνα, με όγκο όσο ένας κύλινδρος με οριζόντιο ύψος ελάχιστο και διάμετρο όσο ο σωλήνας
το υγρό μέσα του ισορροπεί, άρα δέχεται ίσες δυνάμεις από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά
(το βάρος του εξουδετερώνεται από τις δυνάμεις που δέχεται από τα τοιχώματα του σωλήνα)
οι δυνάμεις αυτές είναι Fαρ=Pολ, αρ.S =(Pατμ+Pυδρ,αρ).S και Fδε=Pολ, δε.S =(Pατμ+Pυδρ,δε).S άρα Pολ,αρ= Pολ,δε , άρα Pυδρ,αρ= Pυδρ,δε
και άρα hαρ= hδε
Η ευφυής πραγμάτευση των συγκοινωνούντων δοχείων, ιδιαίτερα η αντίστροφη λιτή εκδοχή της με την επίκληση της συμμετρίας να ερμηνεύει την ίδια στάθμη του νερού ενός απέραντου ωκεανού, νομίζω ότι συνάδει με το πνεύμα της αρχιμήδειας συλλογιστικής.
Τι να πω Γιάννη;
«και εις ανώτερα το νέον έτος!»