Διαστημικός σταθμός περιστρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη, με ελάχιστη και μέγιστη απόσταση από το κέντρο της r1= 7∙106m και r2= 9∙106m, αντίστοιχα. Αν η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r1 (ελάχιστη) είναι υ1 = 8∙103m/s, να υπολογιστούν:
α) Η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε απόσταση r2 (μέγιστη).
β) Η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί σε μια συσκευή, μάζας m = 140 kg, που βρίσκεται στο διαστημικό σταθμό, για να φτάσει στο άπειρο. Δικαιολογήστε γιατί η ενέργεια αυτή είναι ίδια από οποιοδήποτε σημείο της ελλειπτικής τροχιάς και αν πραγματοποιηθεί η βολή.
Δίνονται η ακτίνα της Γης RΓ = 6400km και η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης gο = 10m/s2
Στο βαρυτικό πρόβλημα των 2 σωμάτων διατηρούνται τόσο η στροφορή όσο και η ενέργεια. Έτσι προκύπτει ότι όταν η ενέργεια είναι αρνητική η τροχιά είναι έλλειψη. Επομένως το (α) ερώτημα λύνεται με 2 τρόπους. Η μικρή διαφορά στην αριθμητική τιμή της λύσης ίσως οφείλεται στην ύψωση στο τετράγωνο και στην εύρεση της τετραγωνικής ρίζας. Στο δεύτερο ερώτημα έχετε βέβαια δίκιο.
Καλησπέρα κύριε Βάρβογλη. Ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Το κεφάλαιο της Βαρύτητας είναι απαξιωμένο από τους μαθητές, χωρίς φυσικά να ευθύνονται, εφόσον βρίσκεται εκτός ύλης Πανελλαδικών Εξετάσεων. Αν αυτό συνδυαστεί με την απουσία της Αστρονομίας, πολλοί μαθητές δυστυχώς δε θα γνωρίζουν τίποτα για τους δορυφόρους, τις διαστημικές αποστολές αλλά και τα βασικά της κίνησης των ουράνιων σωμάτων.
Ελπίζω ότι κάποιοι από τους εισαχθέντες στο Φυσικό, θα μάθουν και θα αγαπήσουν την Αστρονομία ή την Αστροφυσική.
Καλημέρα σε όλους.
Ανδρέα πολύ αξιόλογη παρατήρηση.
Ευχαριστούμε.
Να είσαι πάντα καλά!
Καλησπέρα Βασίλη. Σε ευχαριστώ. Οι εκτοξεύσεις των πυραύλων που μεταφέρουν δορυφόρους, γίνονται κοντά στον Ισημερινό και προς τα ανατολικά για να εκμεταλλευόμαστε τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής της Γης, περίπου 0,48km/s. Για ένα μέσο δορυφόρο 1tn έχουμε κέρδος 115MJ ενέργειας. Μικρό ποσό σε σχέση με τα δεκάδες GJ που τελικά θα δαπανήσουμε, αλλά γιατί να το χάσουμε;
Καλημέρα Ανδρέα. Σε ευχαριστούμε για την εύστοχη παρατήρηση. Στη λύση ένα ‘περίγειο’ μάλλον πρέπει να γίνει ‘απόγειο’.
Καλησπέρα Αποστόλη. Σε ευχαριστώ. Το περίγειο είναι καλό όνομα. Αν όμως ο πλανήτης λέγεται Δρόμος, πως θα λέμε το πλησιέστερο σημείο;
Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα σε όλους!

Ευχαριστούμε για την ανάδειξη του θέματος Ανδρέα.
Να προσθέσω και το θέμα με κωδικό 14785 από την ΤΘΔΔ το οποίο αντιμετωπίζεται με την Α.Δ.Μ.Ε.
Μπράβο Ανδρέα!
Πολύ σωστές οι παρατηρήσεις σου! Εγώ ομολογώ πως, μετά από ΑΔΜΕ και εύρεση τής προτεινόμενης απάντησης τού σχολικού βιβλίου… “κατάπια αμάσητη” τη λύση αυτή! Όμως, άλλη μια φορά εδώ βλέπουμε, πως όταν βλέπεις μια άσκηση με κριτικό μάτι, ή όταν εφαρμόζεις εναλλακτικές μεθόδους υπολογισμού (όπως έκανες στο α ερώτημα με τη στροφορμή) ενίοτε βρίσκεις… διαμαντάκια!
Π.χ. εμένα αυτό το σφάλμα τού 1% στο α ερώτημα μού κάθισε στο λαιμό… Το έψαξα, λοιπόν, λίγο παραπάνω και ιδού από πού προέρχεται:
Η ταχύτητα σε μια ελλειπτική πλανητική κίνηση δίνεται από τον τύπο: υ=sqrt(GM(2/r-1/α)) όπου α ο μεγάλος ημιάξονας τής τροχιάς [1]. Η τροχιά τής άσκησης έχει α=(7+9)/2=8*10^6m. Άρα σε r1=7*10^6m η ταχύτητα είναι υ1=sqrt(GM(2/r1-1/α))=8114m/s (και ΟΧΙ 8000m/s όπως δίνει η άσκηση) και σε r2=9*10^6m η ταχύτητα είναι υ2=sqrt(GM(2/r2-1/α))=6310m/s. Αυτές οι δύο ταχύτητες ικανοποιούν ΚΑΙ τη διατήρηση τής στροφορμής ΚΑΙ τη διατήρηση τής ενέργειας!
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_orbit
Παρεμπιπτόντως, δεν ξέρω αν έχει ξανααναφερθεί και από άλλους παλαιότερα, υπάρχει “λάθος” και στην Άσκηση 77 σελ. 197 η οποία αν κάποιος την λύσει με εξισώσεις κατακόρυφης βολής προς τα πάνω (δηλαδή ομογενές βαρυτικό πεδίο με g=10m/s^2) h=υ0^2/2/g βρίσκει την απάντηση τού σχολικού βιβλίου (ακριβώς 50Km) ενώ με ΑΔΜΕ σε ανομοιογενές βαρυτικό πεδίο βρίσκουμε 50,4Km! (Το λυσάρι, ενώ σωστά πάει και εφαρμόζει ΑΔΜΕ, για κάποιο λόγο στο τέλος υπολογίζει… στρογγυλοποιημένο ή λάθος το τελικό αποτέλεσμα!)
Γεια σου Μίλτο.
Η παρατήρηση για την άσκηση 77 έχει γίνει σίγουρα και από τον Θοδωρή σε σχόλιό του στην ανάρτηση εδώ.
Καλησπέρα σε όλους.
Όπως είπε αρχικά και ο κ. Βάρβολης έχουμε διατήρηση τόσο της ενέργειας όσο και της στροφορμής.
Πιο κάτω θεωρώντας δεδομένα τα r1 , r2 , υ1 φαίνεται ότι με κατάλληλη προσέγγιση τα αποτελέσματα θα ταυτίζονται.
Αρκει να γίνει κατάλληλη επιλογη του go και RΓ.
Καλησπέρα Ανδρέα, κάτι δεν καταλαβαίνω, πιθανά να κάνω λάθος
Γράφεις πως αρκεί να προσφέρουμε ενέργεια ΔΚ=1/2 m (Δυ)^2
Όμως… έχει ήδη κινητική Κ1=1/2 m υ1^2 και θέλουμε να αποκτήσει
Κδ=1/2 m υδ^2 δηλαδή πρέπει να προσφέρουμε
ΔΚ=1/2 m υδ^2 – 1/2 m υ1^2 –> ΔΚ=1/2 m(υδ^2 – υ1^2)
Κάνοντας τις πράξεις υπολογίζω 3,72*10^9 J όση γράφουν και οι λύσεις
Αν το δούμε και αλλιώς υδ=υ1+Δυ –> υδ^2= υ1^2 +2υ1*Δυ+Δυ^2
Άρα (υδ^2 – υ1^2)=2υ1*Δυ+Δυ^2
Οπότε ΔΚ=1/2 m (2υ1*Δυ+Δυ^2) που δίνει ίδιο αποτέλεσμα
Θοδώρη και Αντρέα ψάχνωντας βρισκει κανεις διαφορα.
Αρχικα το ΔΚ του Αντρεα υπολογίζεται από τον τύπο :
ΔΚ = 0.5*m*(Δυ1)^2 , Δυ1 = υ(δ)1 – υ1
όμως το ΔΚ = Κ(δ)1 – Κ1 το έχει διακρίνει καλά ο Θοδωρής εκτιμώ.
Παρακάτω ανεβάζω μια ανάλυση όπου φαίνεται και ένα άλλο ελάττωμα που εχουν τα δεδομενα …..
Κάποιες πρωινες διορθωσεις το σκεφτομουν …το βραδυ .
Προσοχή : υΔ1 , ΚΔ1 : ταχυτητα , κινητικη ενεργεια Δορυφορου σε απόσταση r1
Κδ αντιστοιχει στην ταχύτητα διαφυγης υδ από r1
K1 αντιστοιχει στην υ1
Καλημέρα συνάδελφοι. Μίλτο Κ, Μίλτο Β, Κώστα, Θοδωρή, σας ευχαριστώ.
Ας ξεκινήσω από το Θοδωρή. Είμαστε πάνω στην εξέδρα εκτόξευσης. Η ενέργεια που πρέπει να προσφέρει ένας κινητήρας ή ένας μηχανισμός πάνω στην εξέδρα είναι η επιπλέον κινητική ενέργεια που χρειάζεται το σώμα για να φτάσει την ταχύτητα διαφυγής και όχι η διαφορά των κινητικών ενεργειών. Αν μπούμε στη NASA διαβάζουμε παντού για το Δυ, που καθορίζει το χρόνο εφαρμογής της ώθησης των μηχανών.
Κώστα τι ακριβώς υπολόγισες στο πρώτο σου σχόλιο; Η ακτίνα της Γης είναι συγκεκριμένη. Δεν κατάλαβα γιατί να την αλλάξουμε;
Μίλτο Κ το θέμα 14785 δεν είναι λάθος να το λύσουμε με ΑΔΜΕ. Που θεωρείς ότι βρίσκεται λάθος στην προτεινόμενη λύση;
Μίλτο Β, πολύ καλή η ανάλυσή σου. Η τάση για απλούστευση φαινομένων οδηγεί σε σφάλματα. Από τη στιγμή που η άσκηση ανακατεύει την ελλειπτική τροχιά, πρέπει να έχει σωστά δεδομένα.
Καλημέρα Ανδρέα.
Όχι δεν θεωρώ ότι το θέμα 14785 είναι λάθος.
Ίσως έπρεπε να το διευκρινίσω καλύτερα. Μου το θύμισε απλώς η ανάρτηση σου και το πρόσθεσα.
Να είσαι καλά.
Καλημέρα παιδιά.
Το θέμα είναι εξαιρετικό και έχει συζητηθεί πολύ παλιότερα.
Τόσο παλιότερα που αξίζει να το επαναφέρουμε.