by 
Έστω όλοι οι θετικοί ακέραιοι από το 1 έως το 70. Διαλέγουμε στην τύχη 35 από αυτούς και τους ονομάζουμε α1,α2,….,α35 έτσι ώστε: α1<α2<….<α35 .
Τους υπόλοιπους 35 ακεραίους που δεν διαλέξαμε,τους ονομάζουμε β1,β2,….,β35 έτσι ώστε β1>β2>….>β35. Να δείξετε ότι: Ια1-β1Ι+Ια2-β2Ι+….+Ια35-β35Ι=352
Καλησπέρα σε όλους!
Αν αντί για ακέραιους από το 1 έως το 70, θεωρήσουμε π.χ. τους ακέραιους από το 1 μέχρι το 100 και διαλέξουμε τυχαία 50, τότε το αντίστοιχο άθροισμα θα πρέπει να είναι 50^2. Το πιο μικρό σύνολο για να εφαρόσουμε αυτά που λέει το πρόβλημα είναι το 1,2,3,4 (εξαιρώντας το τετριμμένο 1,2). Από το σύνολο 1,2,3,4 διαλέγοντας τυχαία 2, τότε το σχετικό άθροισμα θα είναι 2^2 και πράγματι επαληθεύεται εύκολα (6 πιθανά ζεύγη για τα αi). Ίσως λοιπόν να είναι δυνατό να δειχθεί μέσω μαθηματικής επαγωγής.
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.Πολυ ενδιαφέρον ζήτημα.Μια σκέψη που μου φαίνεται σωστή(δεν ξέρω όμως αν είναι).Σε κάθε απόλυτο ο ένας αριθμός είναι από 1-35 ενώ ο άλλος από 36-70.Ειναι αδύνατο στο ίδιο απόλυτο να υπάρχουν δύο αριθμοί απο 1-35 και από 36-70.Αυτο σημαίνει ότι οι αριθμοί από 1-35 είτε είναι αφαιρετεοι είτε μειωτεοι βγαίνουν από το απολυτο με αρνητικό πρόσημο ενώ οι μεγάλοι με θετικό.Τοτε έχουμε (36+37+…+70)-(1+2+…+35). Το άθροισμα των παραπάνω ακολουθιών είναι 35²
Κωστα δεν νομιζω διοτι εχεις παλι μια ανισοτητα ενω πρεπει να περασεις σε ισοτητα.
Θυμιο εχεις γραψει δυο ισοδυναμες προτασεις.
“Σε κάθε απόλυτο ο ένας αριθμός είναι από 1-35 ενώ ο άλλος από 36-70.”
και
“Ειναι αδύνατο στο ίδιο απόλυτο να υπάρχουν δύο αριθμοί απο 1-35 ή από 36-70.”
Αυτες οι προτασεις δεν ειναι προφανεις. Αν τις αποδειξεις τοτε το εχεις λυσει.
Η σκεψη σου ειναι πολυ σωστη αλλα χωρις αποδειξη το προβλημα δεν εχει λυθει.
Γιαννη δεν το εχω λυσει με επαγωγη.Πηρα ομως αρχικα μικρα συνολα για να καταλαβω τον μηχανισμο. Με επαγωγη μου φαινεται δυσκολο να λυθει. Αυτο που παρατηρησα με δοκιμες ειναι αυτο που εγραψε ο Θυμιος. Πρεπει ομως αυτο να αποδειχθει αυστηρα.
Αποδειξη προτασεως Θύμιου.
“Ειναι αδύνατο στο ίδιο απόλυτο να υπάρχουν δύο αριθμοί απο 1-35 ή από 36-70.”
Εστω αi<36 και βi<36. Eξ υποθεσεως α1<α2<….<αi<36 και β35<β34<…<βi<36
Oμως οι θετικοι ακεραιοι α1,α2,….,αi, βi,,…,β34,β35 ειναι 36 το πληθος διοτι ο δεικτης i υπαρχει δυο φορες και ειναι ολοι μικροτεροι του 36. Οπερ Ατοπον. Ομοιως και η εταιρη περιπτωση. O.Ε.Δ
Κωνσταντίνε εκτός από τις αντιμεταθέσεις που ανέφερες υπάρχουν και αντιμεταθέσεις γειτονικών.
Στη θέση 3 έχουμε ένα μπλε (α) και στην 4 ένα κόκκινο (β). Τα αντιμεταθέτουμε.
Η “δύναμη” του κόκκινου μειώνεται κατά 1 και του μπλε αυξάνεται κατά 1.
Δηλαδή το άθροισμα μένει σταθερό.
Συνδυασμοί αντιμεταθέσεων με οδηγούν από την αρχική γνωστή κατάσταση στην οιαδήποτε θέλουμε τελική. Τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων δεν αλλάζουν.
Δες αυτό που είπα πριν:
“Συνδυασμοί αντιμεταθέσεων με οδηγούν από την αρχική γνωστή κατάσταση στην οιαδήποτε θέλουμε τελική” .Συγνωμη Γιάννη αλλα αυτη την προταση δεν την καταλαβαινω. 🙂
Κωνσταντίνε θα γινόταν πιο απλό με ένα δισδιάστατο σχήμα.
Με παιδάκια που περπατάνε μέχρι να συναντήσουν το ταίρι τους αντί για νούμερα και απόλυτα.
Oταν αλλαξεις τις θεσεις των αριθμων αλλαζουν τα ζευγαρια διοτι αλλαζουν οι δεικτες που χαρακτηριζουν αυτους τους αριθμους.
Κωνσταντίνε αύριο με σχήματα.
Μπορείς να πάρεις 4 άσπρα και 4 μαύρα πιόνια σκακιού.
Στήσε τα στις γραμμές έτσι:
Θα φανεί καθαρά αυτό που τα νούμερα και τα απόλυτα κρύβουν.
Καλημερα Γιαννη. Καταλαβα το εξης: Προσπαθεις να μετατρεψεις ενα αλγεβρικο προβλημα σε γεωμετρικο. Εχεις τρεις κοκκινες μπαλες, τις Κ1,Κ2,Κ3 και τρεις μπλε μπαλες, τις Μ1,Μ2,Μ3. Εχεις τρεις αριθμημενες κυψελιδες τις 1,2,3,4,5,6 με πρασινο χρωμα.Ριχνεις τυχαια τις μπαλες στις κυψελιδες οποτε εχεις την διαταξη (Α) του σχηματος. Το αθροισμα των αποστασεων καθε κοκκινης μπαλας απο την αντιστοιχη της μπλε ειναι :2+2+2=6. Kανεις μια αντιμεταθεση των Κ2,Μ3 οποτε εχεις την διαταξη (Β). Το αθροισμα των αποστασεων τωρα ειναι 2+1+2=5. Το αθροισμα αυτο δεν παραμενει σταθερο.Αν παρεμενε σταθερο,(κατι που επισης θα επρεπε να αποδειξεις) τοτε οντως θα ειχες κατασκευασει ενα ισοδυναμο γεωμετρικο προβλημα. Ισως μου διαφευγει κατι στην σκεψη σου αλλα πρεπει να το κανεις τοσο λιανά σε επιμερους στοιχειωδη βηματα, που να το καταλαβαινει ο οποιοσδηποτε.
Καλημερα συναδελφοι. Η αποδειξη που κανω εγω ειναι αυτη του Θυμιου συμπληρωμενη.
“Ειναι αδύνατο στο ίδιο απόλυτο να υπάρχουν δύο αριθμοί απο 1 εως 35 ή από 36 εως 70.”
Εστω αi<36 και βi<36. Eξ υποθεσεως α1<α2<….<αi<36 και β35<β34<…<βi<36
Oμως οι θετικοι ακεραιοι α1,α2,….,αi, βi,,…,β34,β35 ειναι 36 το πληθος διοτι ο δεικτης i υπαρχει δυο φορες και ειναι ολοι μικροτεροι του 36. Οπερ Ατοπον. Ομοιως και η εταιρη περιπτωση.
Επομενως αν βγαλουμε ολα τα απολυτα φροντιζοντας να αφαιρουμε τον μικροτερο αριθμο απο τον μεγαλυτερο ,το αθροισμα των απολυτων τιμων γραφεται: (36+37+…+70)-(1+2+…+35)= 35² Ο.Ε.Δ.