by 
Έστω όλοι οι θετικοί ακέραιοι από το 1 έως το 70. Διαλέγουμε στην τύχη 35 από αυτούς και τους ονομάζουμε α1,α2,….,α35 έτσι ώστε: α1<α2<….<α35 .
Τους υπόλοιπους 35 ακεραίους που δεν διαλέξαμε,τους ονομάζουμε β1,β2,….,β35 έτσι ώστε β1>β2>….>β35. Να δείξετε ότι: Ια1-β1Ι+Ια2-β2Ι+….+Ια35-β35Ι=352
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ωραία η λύση σου!
Δεν συμφωνώ με την ένστασή σου.
Βρίσκω λάθος στο αντιπαράδειγμα. Το ξανακάνω με παιδάκια:
Είναι ακριβώς αυτό που έστειλες και βγαίνει 9 και στις δύο περιπτώσεις.
Δεν βγαίνει 5 και 6.
Καλημερα Γιαννη. πρεπει τα κοριτσακια να τα αριθμησεις με δεικτες 1,2,3,ομοιως και τα αγορακια και να παιρνεις αποστασεις μεταξυ ιδιων δεικτων. Οντως εχω κανει λαθος διοτι στην (Α) configuration το αθροισμα βγαινει (3-1)+(5-2)+(6-4)=7.
Παλι διαφορετικο απο του (Β)
Χρόνια Πολλά Κωνσταντίνε.
Δεν είναι έτσι.
Μεταφράζω σε νούμερα:
Αφου οι αποστασεις δινονται απο τους αριθμους των κυψελιδων οπως κανω στο σχημα μου. Ετσι που το κανεις οπου και να τα βαλεις δεν αλλαζει τιποτα.
Τι έκανες εσύ με την αντιμετάθεση;
Μείωσες τη δύναμη του κοριτσιού κατά 1 και αύξησες τη δύναμη του αγοριού κατά 1.
Το άθροισμα παρέμεινε σταθερό.
Κωνσταντίνε μετέφρασα το πρόβλημα που έδωσες. Ακριβής μετάφραση.
Δηλαδή το αριστερότερο κοριτσάκι πόσες θέσεις διαφέρει από το δεξιότερο αγοράκι.
Το αμέσως επόμενο κοριτσάκι από το αγοράκι που βρίσκεται δεξιότερα αλλά δεν είναι το προηγούμενο, κ.λ.π.
Εσύ έβαλες νούμερα στα μπαλάκια. Αυτό δεν είναι στην εκφώνηση.
Για παράδειγμα η μπλε που είναι στη θέση 3 είναι το β2 και όχι το β1.
Δηλαδή β2=3 και όχι β2=1.
Φυσικά δεν χρειάζονται νούμερα. μπερδεύουν χωρίς λόγο.
Άσε που το λάθος είναι εύκολο.
Το ότι έχει γίνει λάθος φαίνεται και από το αποτέλεσμα που δεν βγήκε 9 αλλά κάτι άλλο.
Εγω στο σχημα μου εκανα αντιμεταθεση μεταξυ της Μ3 που βρισκεται στην κυψελιδα 6 και της Κ2 που βρισκεται στην κυψελιδα 2. ΟΙ αποστασεις που προσθετω ειναι οι αποστασεις μεταξυ ομοιων δεικτων οι οποιες ειναι οι διαφορες των αριθμων των κυψελιδων και γενικα μεταβαλονται ολες. Για το αθροισμα τους ομως συζηταμε το οποιο στην Α διαταξη κανει 7 ενω στην Β διαταξη κανει 5.
Σε συγκεκριμενες μονο configurations βγαινει 9 οπως αν τα βαλεις στις κυψελιδες με την σειρα:Κ1,Κ2,Κ3,Μ3,Μ2,Μ1. Για αυτο νομιζω οτι το αρχικο προβλημα δεν μεταφραζεται ετσι γεωμετρικα σωστα.
Κωνσταντίνε δεν κάνει 7 κάνει 9.
Φαίνεται καθαρά στο σχήμα.
Για μια στιγμή αποφάσισα να μιλήσω με αριθμούς και μετέφρασα. Πάλι 9 βγαίνει.
Διότι η πρόταση που γράφεις στην εκφώνηση είναι σωστή. Δηλαδή δεν βγαίνει 7 .
Δεν μπορεί να βγει 7.
Επιμένω ότι η γεωμετρική αναπαράσταση είναι και σωστή και καλή.
Ένα μπαλάκι ή παιδάκι στη θέση 2 είναι το νούμερο 2. Ένα παιδάκι στη θέση 8 είναι το νούμερο 8 (το ξέρουν όλοι με αυτό κατά Σκούρτη).
Πόσα βήματα πρέπει να κάνει για να το συναντήσει;
8-2=6 προς τα δεξιά.
Το άλλο παιδάκι;
Ι2-8Ι=6 προς τα αριστερά.
Με σχήμα:
Δυο ομάδες παρελαύνουν στην αριθμογραμμή κινούμενες όπως στο σχήμα:
Α1 η ηγουμένη της μίας ομάδας και Β1 ο ηγούμενος της άλλης.
Έτσι το Α1 <Α2<Α3 ενώ Β1>Β2>Β3.
Αυτό λέει το πρόβλημα.
Εδώ το άθροισμα βγαίνει 9. Δεν μπορεί να βγει κάτι άλλο.
Ναι εδω στο τελευταιο σου σχημα βγαινει 9 Αν ομως αντιμεταθεσω το Α2 με το Β3 βγαινει 7. Αρα η τυχαια αντιμεταθεση δεν διατηρει το αθροισμα των αποστασεων.Μαλλον σκεφτεσαι για συγκεκριμενου μονο τυπου αντιμεταθεσεις οι οποιες δεν παραβιαζουν τις δοθεισες ανισοτητες,κατι που δεν το λες στα προηγουμενα σου σχολια. Πρεπει τοτε να αποδειξεις δυο πραγματα. Οτι αυτες οι αντιμεταθεσεις διατηρουν το αθροισμα των αποστασεων και οτι η τυχαια configuration μπορει να κατασκευαστει με τετοιες διαδοχικες αντιμεταθεσεις. Γιαννη για να μην εχω εγω καταλαβει την λογικη σου μεχρι τωρα και να εχω αποριες,μαλλον θελει λιγο πιο αναλυτικα. Να χωρισεις την αλληλουχια των συλλογισμων σου σε βηματα ενα συν ενα ισον δυο.
Κωνσταντίνε διαφωνώ αλλά η ευθύνη είναι δική μου.
Είπα πολύ σύντομα κάτι και είναι λογικό το να μην είμαι κατανοητός.
Θα γράψω κάτι απλό μεν με πολλά λόγια δε.
Σχήματα και Πρακτική Αριθμητική.
Απαγορεύω στον εαυτό μου να επικαλεστεί την έννοια της απόλυτης τιμής και της προόδου.
Καλό μεσημέρι σε όλους.Η επίκληση οποιασδήποτε λύσης,γεωμετρικής ή αλγεβρικης είναι υποσύνολο της λύσης του Κωνσταντινου
Ελπίζω τώρα να είναι κατανοητή:
Το άθροισμα των αποστάσεων.
Η απόδειξη γίνεται για τη γενική περίπτωση με ν ζευγάρια.
Είναι εικονογραφημένη και απέφυγε σχέσεις και αλγεβρισμούς όσο μπορούσε με εξαίρεση τον υπολογισμό του εύκολου αθροίσματος.
Και εκεί όμως αποφεύγει την πρόοδο.
Υπάρχει λύση και με Επαγωγή.