by 
Τα βιβλία Φυσικής (σχολικά, εξωσχολικά ή πανεπιστημιακά) αναφέρουν δύο ορισμούς της συντηρητικής δύναμης. Όπως εξηγώ στο έγγραφο που ακολουθεί, οι δύο ορισμοί δεν συμφωνούν μεταξύ τους και επιβάλλεται κατά τη γνώμη μου να γίνει σχετική διόρθωση.
ΟΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Γεια σας . Στο συνημμένο υπάρχει ένα screen shot από το wikipedia , χωρίς σχολιασμό.
Καλησπέρα Γιώργο.
Πάλι από Βικιπαίδεια:
Οι υπογραμμίσεις δικές μου.
Υπάρχει καλή και λιγότερο καλή Βικιπαίδεια;
Το πλήρες κείμενο:
Πάμε στην ουσία:
Το πεδίο αυτό είναι συντηρητικό;
Η απάντηση στην ερώτηση:
Αυτό που απουσιάζει Γιάννη από αυτά που προβάλλετε είναι η τελική διατύπωση της εν λόγω συνθήκης. Οι τρεις συνθήκες λέει η Wikipedia είναι ισοδύναμες. Αυτό είναι σε αντίφαση με τη πρόταση “αν ο στροβιλισμός μίας εξαρτώμενης μόνο από τη θέση δύναμης είναι μηδέν δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι η δύναμη αυτή είναι συντηρητική “. Δεν μπορεί να ισχύει και το ένα και το άλλο. Το άλλο βιβλίο το οποίο ρητά αναφέρει ότι”αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι μια δύναμη συντηρητική είναι να είναι μηδέν ο στροβιλισμός της” των Kibble -Berkshire έχει το κύρος των Πανεπιστημιακών εκδόσεων Κρήτης. Δεν είμαι σε θέση να αμφισβητήσω το κύρος αυτών των Πανεπιστημιακών συγγραμμάτων. Ούτε θεωρώ ότι αντιφάσκουν με τον εαυτό τους. Άλλο να λένε στην πορεία των αποδείξεων και άλλο στην τελική διατύπωση. Για μένα επαναλαμβάνω ότι η τροποποίηση της τελικής διατύπωσης αυτής της συνθήκης μπορεί να γίνει μόνο με υποβολή σχετικής εργασίας είτε σε κάποιο έγκυρο αρμόδιο επιστημονικό περιοδικό είτε σε Πανεπιστημιακό ίδρυμα.
Καλησπέρα σε όλους.
Γιώργο καλησπέρα. Αν το πεδίο που έδωσε ο Γιάννης, ήταν ένα θέμα στις εξετάσεις στη θεωρητική μηχανική, όταν είμαστε φοιτητές, τι θα απαντούσες στο ερώτημα: είναι το πεδίο αυό συντηρητικό ή όχι; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Γιώργο δεν αμφισβητείται το κύρος των βιβλίων.
Η Βικιπαίδεια αναφέρει και άλλα (στα Αγγλικά) τα οποία παράθεσα με υπογράμμιση.
Η τελική διατύπωση έχει δοθεί σε πολλά προηγούμενα σχόλια.
Όμως δεν απαντάς για την περίπτωση που παρατίθεται.
Είναι το πεδίο συντηρητικό;
Μεταφράζω το “Counterexample” ως “αντιπαράδειγμα”.
Η ερώτηση είναι απλή:
-Το πεδίο είναι συντηρητικό;
Φίλος με πληροφόρησε ότι το αντιπαράδειγμα αυτό το επινόησε ο D’ Alembert εντοπίζοντας λάθος στην απόδειξη του Clairout.
Αν εξακολουθείς να διαφωνείς, διαφωνείς και με τον D’ Alembert.
Καλησπέρα Γιάννη.
Περιμένω την απάντηση του Γιώργου, για να δω μήπως μου διαφεύγει κάτι.
Αφού ζητάς τελική διατύπωση να την ξαναστείλω:
Περιμένω απάντηση για το αντιπαράδειγμα που έμαθα πριν λίγο ότι είναι του D’ Alembert.
Γράφεις Γιώργο:
Για μένα επαναλαμβάνω ότι η τροποποίηση της τελικής διατύπωσης αυτής της συνθήκης μπορεί να γίνει μόνο με υποβολή σχετικής εργασίας είτε σε κάποιο έγκυρο αρμόδιο επιστημονικό περιοδικό είτε σε Πανεπιστημιακό ίδρυμα.
Μα ο D’ Alembert προφανώς υπέβαλε την εργασία του. Πριν το 1783 που απεδήμησε εις Κύριον.
Να την ξαναυποβάλουμε σε έγκυρο επιστημονικό περιοδικό ή πανεπιστημιακό ίδρυμα;
Στον παρακάτω σύνδεσμο,
https://math.univ-angers.fr/~campesato/ens/1920/poincare.pdf
στη δεύτερη σελίδα: Theorem 5 (Poincare lemma), βρήκα τις πληροφορίες που παρέθεσε ο Γιάννης.
Έγραψα και ένα μικρό κείμενο:
συνέχεια
Γράφεις:
Δεν είμαι σε θέση να αμφισβητήσω το κύρος αυτών των Πανεπιστημιακών συγγραμμάτων.
Είσαι σε θέση όμως να αμφισβητήσεις το κύρος του D’ Alembert.
Το κύρος του Χατζηδημητρίου.
Το κύρος του Τόμας.
Ας αφήσουμε τις αυθεντίες , ζώσες και μη. Ας αφήσουμε εκδόσεις και ιδρύματα. Είναι πολύ εύκολο να πιάσεις χαρτί και μολύβι και να δεις ότι για το συγκεκριμένο πεδίο curlF=0 αλλά το επικαμπύλιο στον μοναδιαίο κύκλο είναι 2π. Θέλει λιγότερο από 5 λεπτά.
Γκραβούρα του Μπεζουόλι για τον Γαλιλαίο:
Ενώ είναι εμφανές ότι τα σώματα πέφτουν ταυτόχρονα αυτοί στα δεξιά της εικόνας ψάχνουν τι λένε τα κείμενα (πιθανώς του Αριστοτέλη).
Αν αναζητήσεις εις στο google
non simply connected domain+conservative field
Θα σου βγάλει δεκάδες αναφορές που καταρχήν σημαίνει ότι όλοι αυτοί ξέρουν ότι υπάρχει ένας «αστερίσκος» που αφορά τα συντηρητικά πεδία.
Μέσα σε αυτές τις αναφορές θα βρούμε και κάποια «γνωστά ιδρύματα» και όλα αυτά φαίνεται να ξέρουν αυτό που μας ξαναπροτρέπει ο συνάδελφος Γιώργος να πάμε να τους το πούμε.
Π.χ. https://abel.math.harvard.edu/archive/21a_summer_04/handouts/conservative.pdf
In a simply connected region D, a vector field F is conservative if and only if curl(F) = ~0 everywhere inside D.
https://math.mit.edu/~djk/18_022/chapter06/section03.html
Fields Conservative in Some but Not All Regions
https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/1bc33736db05b99f564ba15fe7174311_MIT18_02SC_MNotes_v5.pdf
Curl Theorem. Let F = M i + N j be a continuously differentiable vector field in a simply-connected region D of the xy-plane. Then the following four statements are equivalent — if any one is true for F in D, so are the other three:
https://math.berkeley.edu/~esparza/math53F21/WS/WS16.pdf
Conservative vector fields and Green’s theorem
http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/f20/m2321/lectures/lecture26_slides.pdf
The converse of Theorem 2 is also true, provided we make an additional assumption about the domain D of F. Definition We say that D ⊂ R2 is simply connected if every loop in D only encloses points in D.