by 
Τα βιβλία Φυσικής (σχολικά, εξωσχολικά ή πανεπιστημιακά) αναφέρουν δύο ορισμούς της συντηρητικής δύναμης. Όπως εξηγώ στο έγγραφο που ακολουθεί, οι δύο ορισμοί δεν συμφωνούν μεταξύ τους και επιβάλλεται κατά τη γνώμη μου να γίνει σχετική διόρθωση.
ΟΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Ο προβληματισμός μου και οι σκέψεις μου έχουν εκτεθεί με τη δέουσα σαφήνεια θεωρώ. Δυστυχώς ο διαθέσιμος χρόνος μου δεν επιτρέπει επί του παρόντος να βρω τη βαθύτερη αιτία αυτής της αντίφασης την οποία έχω διατυπώσει όσο πιο καθαρά μπορώ. Όταν έχω κάτι να προσθέσω θα το κάνω. Υπάρχει και η πρόταση στο τέλος του προηγούμενου σχολίου μου. Καλό σας βράδυ.
Καλησπέρα σε όλους. Άρχισα να κάνω την ίδια δουλειά με τον Άρη, αλλά με πρόλαβε. Ας συμπληρώσω στην πλούσια λίστα του και κάτι από το Mathematics Libre Texts
Αποστόλη ευκαιρία είναι αφού έκανες αυτήν την απόδειξη, να την στείλεις, όχι στο ylikonet, αλλά στο Mathematics Libre Texts τουλάχιστον ή σε άλλα ιδρύματα να δούμε αν την εγκρίνουν.
Συζήτηση σημαίνει ότι απαντώ σε ότι με ρωτά ο συνομιλητής μου.
Απαντώ “Είναι συντηρητικό” ή ‘Δεν είναι συντηρητικό”.
Ότι πιάνω χαρτί και μολύβι εν ανάγκη.
Ότι σχολιάζω τα παραθέματα και τοποθετούμαι σ’ αυτά.
Παραθέματα από Χάρβαρντ, ΜΙΤ, Μπέρκλεϋ , Χατζηδημητρίου, Τόμας, Βικιπαίδεια κ.λ.π.
Διαφορετικά δεν είναι συζήτηση.
Δεν έχουν νόημα δηλώσεις του τύπου “Εγώ καθαρά τα λέω”.
Άρη δεν έκανα καμία απόδειξη. Την αντέγραψα από το math.libretexts και απλά κιτρίνισα τα σημεία ενδιαφέροντος. Επειδή ίσως να μην φαίνεται η πρώτη πρόταση, την βάζω και εδώ: ‘When using The Cross-Partial Property of Conservative
Vector Fields, it is important to remember that a theorem is a tool, and like any tool, it can be applied only under the right conditions. In the case of The Cross-Partial Property of Conservative Vector Fields, the theorem can be applied only if the
domain of the vector field is simply connected’.
Κατά τη γνώμη μου είναι πολύ ενδιαφέρον ιστορικό στοιχείο το γεγονός ότι το πεδίο για το οποίο συζητάμε προέρχεται από αντι-παράδειγμα του D’ Alembert, διατυπωμένο το 1768.
Εννοείται Γιάννη και είναι πιο καταπληκτικό ότι το βρίσκουμε σε διάφορα μοντέρνα βιβλία χωρίς να έχουμε ιδέα γι’ αυτό το ιστορικό στοιχείο.
Αποστόλη πολύ διαφωτιστική η απόδειξη από το Mathematics Libre Texts που ανέβασες. Το πεδίο που χρησιμοποιεί είναι αυτό του d’ Alembert δηλαδή κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (σε αντίθεση με αυτό που είχα χρησιμοποιήσει εγώ αλλά ανέβασε και ο Γιάννης που είναι το ίδιο αλλά με αντίθετη φορά). Δείχνει ξεκάθαρα ότι αν πάμε από το Α (1,0) στο Β (-1,0) από το πάνω μοναδιαίο ημικύκλιο, το επικαμπύλιο ολοκληρωμα είναι ίσο με -π, (συναντάμε το πεδίο αντίθετο στη μετατόπισή μας). Πηγαίνοντας από το Α στο Β ακολουθώντας το κάτω μοναδιαίο ημικύκλιο το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι π (συναντάμε το πεδίο με την ίδια φορά με τη μετατόπισή μας). Άρα ενώ το αρχικό και τελικό σημείο ταυτίζονται, το ολοκλήρωμα εξαρτάται από την διαδρομή. Τώρα αν πάμε από το Β στο Α, από το κάτω ημικύκλιο, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα θα είναι (προφανώς) -π. Έτσι στην κλειστή διαδρομή Α→ Β→ A με φορά counterclockwise το συνολικό επικαμπύλιο ολοκληρωμα θα είναι -2π.
Γιάννη καλοδεχούμενη η κριτική σου για το τι σημαίνει συζήτηση. Έχω όμως απαντήσει , έχω τοποθετηθεί με σαφήνεια θεωρώ σε όλα όσα τέθηκαν . Αυτή τη γνώμη έχω. Ας ανατρέξει κανείς στα σχόλια μου και τα συνημμένα . Αν πω κάτι άλλο θα είναι επανάληψη των όσων έχω αναφέρει ως τώρα. Αν έχω κάτι καινούριο θα το δημοσιεύσω. Η αντίφαση όμως είναι εκεί. Καλή σας μέρα.
Καλησπέρα σε όλους και ιδιαίτερα στον συνάδελφο Δημήτρη Ζωγράφο, παρακάτω αναπτύσσω γενικά την άποψη που έχω διαμορφώσει . Ένα πεδίο χαρακτηρίζεται συντηρητικό όταν η ένταση του προκύπτει από κλίση αριθμητικού δυναμικού. Από το θεμελιώδες θεώρημα για τις κλίσεις προκύπτει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας .Υπάρχουν όμως οι εξής περιορισμοί το αριθμητικό δυναμικό να εξαρτάται από την θέση και όχι από τον χρόνο, η ένταση του πεδίου και η δύναμη του πεδίου, να είναι συγγραμμικά διανύσματα. Τότε αυτή η δύναμη καλείται συντηρητική δύναμη και αναφέρεται στο βαρυτικό και ηλεκτροστατικό πεδίο. Η ένταση του μαγνητοστατικού πεδίου προκύπτει από τον στροβιλισμό του διανυσματικού δυναμικού το οποίο εξαρτάται από τη θέση και όχι από το χρόνο . Δεν μπορούμε εδώ να ορίσουμε κλίση αριθμητικού δυναμικού γιατί ο στροβιλισμός της κλίσης ειναι πάντα μηδέν. Επομένως το μαγνητοστατικό πεδίο δεν ειναι συντηρητικό. Ενδιαφέρον όμως έχει το ομογενές μαγνητικό πεδίο. Η ένταση του προκύπτει από διανυσματικό δυναμικό αλλά θα μπορούσε να οριστεί και αριθμητικό δυναμικό που ειναι και πιο εύχρηστο ,αφού έχει μορφή ανάλογη με το ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο. Εδώ όμως το αριθμητικό δυναμικό δεν έχει φυσικό νόημα, αφού δεν μπορεί να οριστεί κλίση αυτού του αριθμητικού δυναμικού, γιατί η δύναμη του πεδίου είναι πάντα κάθετη στην ένταση του πεδίου . Δεν μπορούμε επομένως να ορίσουμε μηχανική ενέργεια αφού δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε εδώ το θεμελιώδες θεώρημα για τις κλίσεις, αλλά ούτε και να αναφερθούμε στην έννοια της συντηρητικότητας . Άλλωστε η μαγνητική δύναμη ως κάθετη στην ταχύτητα του σημειακού φορτιού δεν παράγει έργο. Το διανυσματικό δυναμικό αποκτά ιδιαίτερη φυσική σημασία όταν εκτός από τη θέση εξαρτάται και από το χρόνο. Τότε από τον στροβιλισμό του διανυσματικού δυναμικού προκύπτει η ένταση του μαγνητικού πεδίου. Αλλά και η χρονική μεταβολή του διανυσματικού δυναμικού συνεισφέρει στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίο και το άθροισμα αυτό προκύπτει ως κλίση αριθμητικού δυναμικού εξαρτώμενου από το χρόνο. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αυτής της μορφής που ακτινοβολεί ειναι μη συντηρητικό. Ειναι κάτι ανάλογο ενός μηχανικού συστήματος που η τριβή μετατρέπει τη μηχανική ενέργεια σε θερμική. Σε στατικές καταστάσεις όπου έχουμε ηλεκτρικό πεδίο μη συνδεδεμένο με μαγνητικό δηλαδή το αριθμητικό δυναμικο και το διανυσματικο δυναμικο εναι ανεξαρτητα του χρονου το ηλεκτρομαγνητικο πεδιο ειναι συντηρητικο
Γεια σας και πάλι. Η όλη συζήτηση ξεκίνησε από το 2ο σχόλιό μου στο οποίο αναφέρω: « στις ευθύγραμμες κινήσεις αρκεί το να είναι η δύναμη συνάρτηση μόνο της θέσης για να είναι συντηρητική. Δεν έχει σε αυτή τη περίπτωση νόημα ο στροβιλισμός. Γενικότερα σε δισδιάστατες ή τρισδιάστατες κινήσεις δεν αρκεί το να είναι μια δύναμη συνάρτηση μόνο της θέσης για να είναι συντηρητική. Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι τότε η δύναμη συντηρητική είναι να είναι μηδέν ο στροβιλισμός της».
Ο Γιάννης Κυριακόπουλος έθεσε το ερώτημα:
«Αν ο στροβιλισμός είναι μηδέν είναι η δύναμη συντηρητική;»
Και με παρέπεμπε σε σχετική δημοσίευση του Γιάννη Φιορεντίνου. Επακολούθησε πλήθος παρεμβάσεων μεταξύ των οποίων και δημοσίευση από νεότερη έκδοση του βιβλίου του Ι. Χατζηδημητρίου. Επειδή η δημοσίευση αυτή κατά τη γνώμη μου ήταν αποσπασματική δημοσιεύω στο συνημμένο όλη τη θεωρία της σχετικής παραγράφου 2.7 από τη Θεωρητική Μηχανική του Ι. Χατζηδημητρίου , τόμος Α -έκδοση 2000 . Το κείμενο δεν είναι μεγάλο. Μια παρατήρηση: Η προϋπόθεση να είναι ο τόπος συνεκτικός υπάρχει μόνο για να ισχύει το αντίστροφο της πρότασης « το έργο δύναμης που προέρχεται από δυναμικό V(x,y,z) κατά μήκος κλειστής τροχιάς είναι ίσο με μηδέν». Δηλαδή της πρότασης « αν το έργο κατά μήκος τυχούσης κλειστής τροχιάς σε απλώς συνεκτικό τόπο είναι μηδέν η δύναμη προέρχεται από δυναμικό».
Καλησπέρα Γιώργο.
Το θέμα είναι πολύ απλό:
Αν δεν κάνουμε αυτό θυμίζουμε τους ήρωες της γκραβούρας του Μπεζουόλι:
Αυτοί ενώ έχουν δει ότι τα σώματα πέφτουν ταυτόχρονα κάνουν βιβλιογραφική έρευνα!!
Επίσης παρατέθηκαν (χωρίς λόγο τελικά) τόσες αναφορές από βιβλία και πέηπερ Πανεπιστημιακά. Αυτές τις αγνοούμε;
Γιατί λέω “χωρίς λόγο τελικά”;
Διότι πιάνοντας χαρτί και μολύβι συμφωνούμε με τον D’ Alembert.
Ο αείμνηστος D” Alembert ίσως στεναχωριέται από κει πάνω βλέποντας πως ούτε μια φορά δεν τον ανέφερες!
Στεναχωριέται που αμφισβητείς την δημοσίευσή του και μάλιστα χωρίς να πιάσεις χαρτί και μολύβι.
Δηλαδή πες καθαρά:
-Ο D’ Alembert έκανε λάθος!
Διαφορετικά πες:
-Ο D’ Alembert έχει δίκιο!
Δεν υπάρχει τρίτη απάντηση.
Φυσικά τέτοιες δηλώσεις έχουν αξία μόνο αν πιάσεις χαρτί και μολύβι.
καλησπέρα σε όλους
τελικά θα τελειώσει το “έργο”
έχουν γραφτεί σχόλια και σχόλια
και δεν θα μάθουμε ποιος είναι, αν υπάρχει, ο δεύτερος ορισμός,
περιμένω υπομονετικά, αλλά δεν…
γι αυτό και προτείνω
ορισμός: συντηρητική ονομάζεται μια δύναμη όταν το έργο της κατά μήκος μιας διαδρομής εξαρτάται μόνο από την τελική και την αρχική θέση
συνέπεια: το έργο της κατά μήκος κάθε κλειστής διαδρομής είναι ίσο με μηδέν
(ή και αντιστρόφως ορισμός και συνέπεια)
Γεια σου Βαγγέλη.
Να προσθέσω σε όσα είπες ότι η δύναμη πρέπει να είναι πεδιακή και όχι μια δύναμη που ασκείς εσύ τραβώντας με ένα σπάγκο.
Να προσθέσω ακόμα το “σε κάθε διαδρομή” αντί του “κατά μήκος μίας διαδρομής”.
Για παράδειγμα στο πεδίο του D’ Alembert σε άπειρες κλειστές διαδρομές που δεν περικλείουν το Ο το έργο είναι μηδέν αλλά δεν είναι μηδέν σε όσες κλειστές διαδρομές περικλείουν το Ο.