by - Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 5 Νοέμβριος 2016 και ώρα 23:30
Ο ομογενής κόκκινος δακτύλιος του σχήματος, μάζας M και ακτίνας R, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρο από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από τα κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Την χρονική στιγμή t0=0 ο ομογενής γαλάζιος δίσκος μάζας m και ακτίνας r αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί στην θέση εκείνη που η επιβατική ακτίνα του κέντρου του σχηματίζει γωνία θ0 με την κατακόρυφο όπως στο σχήμα. Αν ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει να υπολογιστούν:
1) την στιγμή t1 που το κέντρο μάζας του δίσκου περνά από την κατακόρυφο που διέρχεται από το Ο
- a) η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου
- b) η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου
- c) η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δακτυλίου
2) για το χρονικό διάστημα από t=0 έως t=t1
- a) η γωνία στροφής του δακτυλίου
- b) η γωνία στροφής του δίσκου
3) Η περίοδος των ταλαντώσεων του κέντρου του δίσκου για ταλαντώσεις μικρού πλάτους.
Εφαρμογή: M=2m, R=3r, θ0=60 °
Η απάντηση
στο Blogspot
ή στην ειδική περίπτωση σε 
ή στην ειδική περίπτωση σε 
ή στην γενική περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε
ή στην γενική περίπτωση με φορμαλισμό Euler- Lagrange σε
Τα σχόλια
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 5 Νοέμβριος 2016 στις 23:46
Η ανάρτηση αφιερώνεται στον Μανώλη Λαμπράκη, ο οποίος με αυτήν την παραπομπή σε αυτό το σχόλιό του την προκάλεσε.
Η ανυπαρξία όρου δυναμικής ενέργειας στην αλληλεπίδραση δίσκου δακτυλίου (κατά Κυριακόπουλο δεν σηκώνεται κάτι ούτε παραμορφώνεται) οδηγεί στην σταθερότητα μιας γενικευμένης ορμής.
Βρίσκοντας την από τις εξισώσεις Euler Lagrange, είναι σχεδόν στοιχειώδες να αποδείξεις την σταθερότητα του μεγέθους με κλασσικό τρόπο. Για τα υπόλοιπα ερωτήματα, τρώγοντας έρχεται η όρεξη.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 11:52
Μπράβο Βαγγέλη.
Η ιδέα με την αντιστοίχιση με το εκκρεμές “όλα τα λεφτά”!
Σχόλιο από τον/την Παπαδάκης Παντελεήμων στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 12:20
Καλημέρα Βαγγέλη .
Ομολογώ πως διαβάζοντας τη λύση με τις τρείς γωνιακές
έλεγα …δύσκολο να φτάσω στο τέρμα .
Και όμως χάρηκα που τα κατάφερα.
Ήθελα όμως να εκφράσω μια διαίσθηση που είχα και βλέπω αντίθεση στο σχήμα .
Διαισθανόμουνα πως οι ω1 και ω2 είναι αντίρροπες …Κάνω λάθος;
Να’σαι καλά
Υ.Γ.
Στην 4η γραμμή της λύσης αντί δίσκου πρέπει να θέλει δακτυλίου.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 14:51
Βαγγέλη καλησπέρα.
Θα ήθελα να σε ρωτήσω αν η σχέση (4) είναι σωστή γιατί μου φαίνεται ότι ο β΄ όρος στο β΄ μέλος θέλει συντελεστή 1/2 και όχι 1/2*1/2.
Έκανα μια προσπάθεια να υπολογίσω την κυκλική συχνότητα ταλάντωσης Ω με Lagrange. Εϊναι σωστό το αποτέλεσμα Ω*Ω=(R-r)/g*(m+2M)/(m+M);
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 15:08
Βαγγέλη συγνώμη. Το έγραψα ανάποδα. Ήθελα να γράψω: Ω*Ω=g/(R-r)*(m+M)/(m+2M).
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 17:26
Καλησπέρα σε όλους
Παντελή έχεις δίκιο για την 4η γραμμή. Ατελές copy – paste. Η διόρθωση έγινε.
Στο σχήμα απεικονίζονται οι θετικές φορές των δύο γωνιακών ταχυτήτων ω1, ω2.
Όπως φαίνεται από την σχέση (11) οι δύο γωνιακές ταχύτητες πράγματι έχουν αντίθετη φορά.
Κατά την κάθοδο από αριστερά προς την θέση ισορροπίας, ο δακτύλιος στρέφεται ωρολογιακά και ο δίσκος αντιωρολογιακά.
Νομίζω ότι δεν είναι τόσο αναμενόμενη η μεγάλη διαφορά στις απόλυτες τιμές των μεγεθών.
Νίκο η σχέση (16) έχει παραχθεί ανεξάρτητα από την (18) με την οποία συμφωνεί.
Συνεπώς, αν η μεθοδολογία είναι σωστή (πολλαπλασιάζω την Lagrangian με τον κατάλληλο παράγοντα ώστε να θυμίζει την Lagrangian απλού εκκρεμούς), τότε είναι σωστή τόσο η (16) όσο και η (18).
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 19:04
Βαγγέλη δεν βρίσκεις την ίδια περίοδο με μένα. Στο κλάσμα με τις μάζες έχεις ένα Μ παραπάνω στον αριθμητή και ένα Μ παραπάνω στον παρονομαστή.
Αν η (17) είναι σωστή, τότε δεν μοιάζει με την ενέργεια του μαθηματικού εκκρεμούς γιατί ο όρος της δυναμικής ενέργειας είναι ανάλογος του -cosθ. Θα έπρεπε να είναι ανάλογος του 1-cosθ. Για μικρά θ αυτός όρος είναι κατά προσέγγιση ανάλογος του θ*θ (όπως θα έπρεπε).
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 21:04
Καλησπέρα Νίκο
Δεν νομίζω ότι ο λόγος που βγάζουμε διαφορετικά αποτελέσματα για την περίοδο είναι η θέση μηδενικής δυναμικής ενέργειας.
Στο απλό εκκρεμές μήκους L αν το επίπεδο αναφοράς είναι η θέση ισορροπίας τότε η δυναμική ενέργεια είναι mgL(1-cosθ).
Αν το επίπεδο αναφοράς είναι το σημείο ανάρτησης τότε η δυναμική ενέργεια είναι -mgL cosθ.
Άλλωστε ένας σταθερός όρος στην Lagrangian δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 22:32
Ναι, έχεις δίκιο, δεν ήταν εύστοχη η παρατήρηση που έκανα.
Αλλά ποιός βρήκε τη σωστή συχνότητα; μπορεί να γίνει κάποια προσομοίωση, i.p. για παράδειγμα, να δούμε ποιά είναι η σωστή συχνότητα;
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 6 Νοέμβριος 2016 στις 23:05
Ναι, είναι σωστή η συχνότητα που βρήκες. Έκανα λάθος γιατί πήρα το δίσκο για δακτύλιο και 2-πλασίασα τη ροπή αδρανείας του. Ξανάκανα τις πράξεις με τη σωστή ροπή αδρανείας και βρήκα:
Ω*Ω=g/(R-r)(2M+m)/(3M+m).
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 7 Νοέμβριος 2016 στις 10:06
Καλημέρα Βαγγέλη και συγχαρητήρια για τη νέα σου εργασία (δεν είναι και η πρώτη φορά, που μας δίνεις εργασίες ψηλού επιπέδου…)
Σε ευχαριστούμε.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 7 Νοέμβριος 2016 στις 20:17
Καλησπέρα Βαγγέλη. Μια παρατήρηση να σου κάνω μόνο στη μεθοδολογία.
Η σχέση (10) είναι η πρώτη εξίσωση Euler-Lagrange. Περίμενα να προχωρήσεις στη δεύτερη, αλλά άλλαξες πορεία. Ήθελες να καταλήξεις σε ολοκλήρωμα της κίνησης.
Αν έβγαζες και τη δεύτερη εξίσωση Euler-Lagrange, θα είχες δυο γραμμικές εξισώσεις ως προς τις παραγώγους β΄ τάξεως των θ και φ. Απαλοίφοντας την παράγωγο ως προς φ, καταλήγεις σε μια εξίσωση γραμμική ως προς την δεύτερη παράγωγο του θ και ως προς sinθ. Αυτή είναι εξίσωση μαθηματικού εκκρεμούς και βγάζεις κατευθείαν την κυκλική συχνότητα.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 8 Νοέμβριος 2016 στις 9:22
Καλημέρα Νίκο
Πράγματι είναι όπως το γράφεις
Ο λόγος που επρόταξα το ολοκλήρωμα της κίνησης είναι ο εξής:
Αν έχουμε ένα πρόβλημα στο οποίο η Lagrnagian δεν εξαρτάται ρητώς από τον χρόνο, τότε η ενέργεια παραμένει σταθερή.
Αν το πρόβλημα είναι πρόβλημα ενός βαθμού ελευθερίας τότε έχουμε την δυνατότητα να υπολογίσουμε την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης παρακάμπτοντας την επίλυση της εξίσωσης κίνησης
Αν οι βαθμοί ελευθερίας είναι δύο τότε έχουμε μια εξίσωση με δύο αγνώστους.
Στο βαθμό που υπάρχει δεύτερο διατηρούμενο μέγεθος μας λύνει τα χέρια.
Όταν ο Μανώλης έκανε την πρώτη αναφορά σε αυτό το πρόβλημα οι πρώτες σκέψεις μου ήταν οι εξής:
Έχουμε τρεις βαθμούς ελευθερίας
Την γωνία θ περιφοράς του κέντρου του δίσκου
Την γωνία φ1 στροφής του δίσκου και
Την γωνία φ2 στροφής του δακτυλίου.
Επειδή ο σύνδεσμος « κύλιση χωρίς ολίσθηση» είναι γραμμικός ως προς τις ταχύτητες ολοκληρώνεται ελαττώνοντας τους βαθμούς ελευθερίας σε δύο (ας πούμε την θ και την φ1).
Στην δυναμική ενέργεια και σε ολόκληρη την Lagrangian θα εμφανιστεί μόνο η θ και όχι η φ1.
Επομένως η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή θα είναι σταθερή.
Η προέλευση της σταθερότητας της γενικευμένης ορμής ήταν απορία διότι δεν ήξερα καν την μορφή της.
Όταν έπιασα χαρτί και μολύβι και είδα την μορφή της συνειδητοποίησα τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να εμφανιστεί Λυκειακά.
Γενικότερα, η διαγωνιοποίηση της Hamiltonian, όταν αυτό είναι εφικτό, είναι μια τακτική που μας λύνει τα χέρια.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 8 Νοέμβριος 2016 στις 12:14
Αγαπητέ Βαγγέλη.
Το ολοκλήρωμα της κίνησης που βρήκες με προβλημάτισε λίγο και ο προβληματισμός αποδείχθηκε γόνιμος γιατί κατέληξε σε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα.
Από τη μορφή των εξισώσεων είναι φανερό ότι πρόκειται για στροφορμή. Λοιπόν, έχουμε δύο γωνιακές συντεταγμένες, πρέπει να έχουμε δύο στροφορμές. Η μια από αυτές είναι σταθερά. Αλλά ποιά είναι αυτή η στροφορμή; ιδού η απορία. Οι εξισώσεις με τις οποίες έδειχνες με δεύτερη μέθοδο πως προκύπτει αυτή η σταθερά, με βοήθησαν.
Θα καταλάβεις τη συλλογιστικη μου, αν αναλογιστείς το πρόβλημα των δύο σωμάτων στα οποία δρα μια εξωτερική δύναμη. Και σ΄ αυτό έχουμε δύο ορμές που η μία είναι σταθερά. Υποθέτωντας ότι οι δυνάμεις ακολουθούν τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, η σταθερή ορμή είναι το άθροισμα των ορμών ως προς το κέντρο μάζας. Το πρόβλημά σου, στο οποίο αλληλεπιδρούν ένας δίσκος και ενας δακτύλιος, έχει μια ανάλογη σταθερή στροφορμή. Αυτή είναι το ολοκλήρωμα που κατέληξε η δεύτερη εξίσωση Lagrange.
Επομένως δεν συμφωνώ με τη διαπραγμάτευση που έκανες γι΄ αυτό το ολοκλήρωμα.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 8 Νοέμβριος 2016 στις 13:46
Νίκο, μέχρι την τελευταία γραμμή του κειμένου σου συμφωνώ απολύτως.
Στην τελευταία σε χάνω.
Δεν καταλαβαίνω σε το σημείο στο οποίο εστιάζεται η ένστασή σου.
(Φαντάζομαι ότι αναφέρεσαι στο αρχείο που πραγματεύεται το πρόβλημα με Euler – Lagrange).
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 8 Νοέμβριος 2016 στις 16:12
Βαγγέλη, από τα όσα κάνεις μετά τις εξισώσεις (10) και (11), φαίνεται ότι θέλεις να βγάλεις άλλη μια εξίσωση. Δεν υπάρχει άλλη εξίσωση. Οι εξισώσεις είναι δύο, οι (10) και (11). Αν τις συνδιάσεις βγαίνει το ζητούμενο.
Ειδικά δεν καταλαβαίνω τι είναι αυτή η Lθ της (17), αλλά ούτε πως από αυτή προκύπτει η Εθ της (18).
Ούτε καταλαβαίνω γιατί παίρνεις αυτό το δρόμο και κάνεις τη ζωή σου δύσκολη.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 8 Νοέμβριος 2016 στις 23:54
Καλησπέρα Νίκο
Πράγματι οι εξισώσεις του προβλήματος είναι δύο:
Οι (10) και (11). Όλη η πληροφορία περιέχεται σε αυτές.
Προφανώς δεν υπάρχει 3η εξίσωση.
Σε κάθε περίπτωση έχουμε δικαίωμα να κάνουμε αλλαγές στον θεσεογραφικό χώρο.
Δηλαδή έχουμε δικαίωμα να επαναορίσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες με τις οποίες θα περιγράψουμε το φυσικό σύστημα ώστε στα νέες γενικευμένες συντεταγμένες οι εξισώσεις να λάβουν απλούστερη μορφή.
Αυτό ήταν και το νόημα της αναφοράς μου παραπάνω περί διαγωνιοποίησης της Hamiltonian. Ας γίνω σαφέστερος:
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται από δύο βαθμούς ελευθερίας (ας τους ονομάσουμε q1 και q2).
Για λόγους απλότητας υποθέτουμε ότι η Lagrangian του συστήματος δεν εξαρτάται ρητώς από τον χρόνο. Έτσι η Lagrangian έχει την μορφή L(q1,q2,q΄1,q΄2) ( ο τόνος δηλώνει χρονική παραγώγιση). Η αντίστοιχη Hamiltonian είναι χρονικά σταθερή.
Υποθέτουμε ότι ορίζουμε νέες γενικευμένες συντεταγμένες x1, x2 μέσω των σχέσεων
q1=f(x1,x2) και q2=g(x1,x2).
H Lagrangian παίρνει την μορφή L(x1,x2,x΄1,x΄2).
Ας υποθέσουμε ότι καταφέραμε την L να την γράψουμε ως άθροισμα δύο ξεχωριστών όρων της μορφής
L(x1, x2, x΄1, x΄2) = L1 (x1, x΄1) + L2(x2, x΄2)
Τότε, προφανώς, οι δύο εξισώσεις Euler Lagrange που παίρνουμε από την L είναι οι εξισώσεις Euler Lagrange που προκύπτουν από τις L1 και L2.
Οι αντίστοιχες Hamiltonian Η1 και Η2 είναι σταθερές αναδεικνύοντας δύο διατηρούμενα μεγέθη.
Οι εξισώσεις που προκύπτουν από τις L1 (x1,x΄1) και L2(x2,x΄2) είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις που προκύπτουν από την L(q1,q2,q΄1,q΄2).
Συνδυάζοντας κάποιος κατάλληλα τις εξισώσεις που παράγονται από την L(q1,q2,q΄1,q΄2) μπορεί ( συνήθως με αρκετό κόπο) να αποδείξει την σταθερότητα των H1 , H2.
Η εισαγωγή των x1, x2 είναι μια αλλαγή μεταβλητών η οποία απλοποιεί το πρόβλημα.
Σε αυτήν την κατεύθυνση είναι οι ενέργειες που γίνονται στις σχέσεις (14) – (17).
Με την αλλαγή της μιας από τις δύο γενικευμένες συντεταγμένες που ορίζει η (14), η Lagrangian παίρνει την μορφή της (16). Γράφεται δηλαδή ως άθροισμα δύο διακριτών Lagrangian.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 9 Νοέμβριος 2016 στις 0:45
Βαγγέλη, αυτές τις τεχνικές, ομολογουμένως, τις αγνοώ. Γνωρίζω καλά την τεχνική των normal modes στην οποία οι ν βαθμοί ελευθερίας του συστήματος αντιστοιχούν σε ν εξισώσεις που κάθε μια περιέχει όλες τις μεταβλητές (ή πολλές απ΄ αυτές) και με κατάλληλους γραμμικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε ν εξισώσεις που κάθε μια περιέχει και μια ξεχωριστή μεταβλητή.
Ακολουθείς μια πολύπλοκη μεθοδολογία. Ξεκινάς απο μια Λαγκρατζιανή. Καταλήγεις σε διαφορικές εξισώσεις. Μετά βγάζεις άλλες Λαγκρατζιανές και Χαμιλτονιανές. Κάνεις νομίζω περιττή δουλειά. Γιατί, αφού έβγαλες τις εξισώσεις, ουσιαστικά τελείωσες. Πολύ γρήγορα προκύπτει η εξίσωση του μαθηματικού εκκρεμούς. Ο συντελεστής του sinθ σ΄ αυτή την εξίσωση, είναι το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας ταλάντωσης.
Θα σου κάνω μια πρόκληση: λύσε το ίδιο πρόβλημα αφού αφαιρέσεις το πεδίο βαρύτητας και προσθέσεις ένα στροφικό ελατήριο σταθεράς k στον άξονα περιστροφής του δακτυλίου. Περιμένουμε το σύστημα να κάνει αρμονική κίνηση. Να βρεθεί η κυκλική συχνότητα.
Θα κάνω και γω το ίδιο. Προτείνω να δημοσιεύσουμε τις δουλειές μας στην ομάδα: “Φυσική για φοιτητές”.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 9 Νοέμβριος 2016 στις 10:52
Καλημέρα Νίκο
Η διαφωνία μας εστιάζεται στο εξής:
Τις οποιεσδήποτε απλοποιήσεις εσύ θέλεις να τις κάνεις στο επίπεδο των εξισώσεων κίνησης. Εγώ προτιμώ να τις κάνω στο επίπεδο της Lagrangian.
Η λογική στην οποία έχω εκπαιδευτεί είναι ότι τα φυσικά συστήματα χαρακτηρίζονται από την συνάρτηση Lagrange ή ισοδύναμα την συνάρτηση Hamilton και όχι από τις εξισώσεις κίνησης. Η κύρια αιτία για μια τέτοια θεώρηση είναι ότι αν θέλουμε να κβαντώσουμε ένα κλασσικό σύστημα θα πρέπει να ξεκινήσουμε από Hamiltonian και όχι από εξισώσεις κίνησης.
Δεν έχω αντίρρηση να απαντήσουμε στο ερώτημα που έθεσες.
Δημιούργησε μια σχετική ανάρτηση στο ” φυισκή για φοιτητές” και θα απαντήσω από κάτω.
Σου ζητώ, αν έχεις χρόνο να μπεις στον πειρασμό να απαντήσεις στο εξής:
Έχουμε ένα φυσικό σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας. Την γωνία φ και την απόσταση s.
Η lagrangian του συστήματος είναι η
m, ℓ, g, E σταθερές
Την στιγμή t=0 είναι s=0, φ=60° και οι γενικευμένες ταχύτητες ίσες με μηδέν.
Ζητάμε την τις γενικευμένες ταχύτητες συναρτήσει των φ, s
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 9 Νοέμβριος 2016 στις 13:15
Βαγγέλη καλό μεσημέρι
Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση. Η αλήθεια είναι ότι περίμενα την αντίδραση σου στην “πρόκληση”. Θα επανέλθω αφού μελετήσω προσεκτικά την ανάρτηση σου αυτή. Είχα κάτι φτιάξει σχετικά αλλά πολύ “ελαφρύ” σε σχέση με το δικό σου που μόλις τώρα είδα.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 9 Νοέμβριος 2016 στις 15:00
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Η τυπική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος που μου έδωσες την L είναι: Από τις εξισώσεις Lagrange προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες φ και s σαν συναρτήσεις του χρόνου. Παραγωγίζοντας προσδιορίζουμε τις ταχύτητες.
Δεν κατάλαβα την τελευταία γραμμη. Μήοως θέλεις να πεις “ζητάμε τις γενικευμένες ταχύτητες συναρτήσει του χρόνου”; Γιατί με ολοκλήρωση των εξισώσεων οι ταχύτητες θα προκυψουν σαν συναρτήσεις του χρόνου. Δεν ξέρω αν μετά μπορούμε να μετασχηματίσουμε αυτές τις συναρτήσεις σε συναρτήσεις των συντεταγμένων.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 9 Νοέμβριος 2016 στις 15:31
Γεια σου Νίκο
Η περιγραφή που κάνεις είναι σωστή αλλά δύσκολα υλοποιήσιμη.
Το σύστημα των ΔΕ που θα προκύψει είναι αρκετά περίπλοκο.
Δεν έκανα λάθος στο ερώτημα που έθεσα.
Ζητάω αυτό που κάνουμε συνήθως στα προβλήματα με ένα βαθμό ελευθερίας όταν οι εξισώσεις κίνησης «δεν λύνονται».
Για παράδειγμα στο απλό εκκρεμές, με χρήση της σταθερότητας της ενέργειας εκφράζουμε την ταχύτητα του σφαιριδίου συναρτήσει της θέσης του. Με τον τρόπο αυτό παρακάμπτουμε το ελλειπτικό ολοκλήρωμα που απαιτεί η λύση της εξίσωσης κίνησης.
Σε ένα φυσικό σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας και Lagrangian που δεν εξαρτάται από τον χρόνο, μπορούμε να βρούμε μια σχέση που συνδέει τις δύο γενικευμένες ταχύτητες με τις δύο γενικευμένες συντετταγμένες. Αν το σύστημα «είναι καλό» τότε μπορούμε να εκφράσουμε κάθε ταχύτητα χωριστά συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων.
Τέτοιο είναι το σύστημα που περιγράφεται από την Lagrangian που έγραψα.
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 10 Νοέμβριος 2016 στις 11:51
Καλημέρα
Βαγγέλη διάβασα με προσοχή την ανάρτηση σου αυτή στην οποία αντιμετωπίζεις το πρόβλημα σφαιρικά – και ειδικά και γενικά. Πρόκειται για κάτι εξαιρετικό κατά τη γνώμη μου. Άρεσε και σε εμένα πολύ που “είδες” το σύστημα και από τη σκοπιά του φυσικού εκκρεμούς. Αυτό που εγώ είχα κάνει σχετικά με το πρόβλημα ήταν να υπολογίσω το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δακτυλίου και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ιδιοπεριστροφής του δίσκου συναρτήσει της γωνίας της επιβατικής ακτίνας της κυκλικής κίνησης του κέντρου του δίσκου με την κατακόρυφο. Με χαρά διαπίστωσα ότι το αποτέλεσμα στο οποίο έχω καταλήξει συμφωνεί το δικό σου όσον αφορά στην απάντηση στο ερώτημα αυτό – εσύ απάντησες σε αρκετά περισσότερα ερωτήματα. Ο τρόπος που δούλεψα είναι λίγο διαφορετικός από τον δικό σου και είναι εδώ.
Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 10 Νοέμβριος 2016 στις 12:40
Βαγγέλη και Μανώλη καλημέρα. Βαγγέλη θα ασχολθώ με το πρόβλημά σου, αλλά από Δευτέρα. Ετοιμάζομαι για την Αθήνα όπου την Παρασκευή και το Σάββατο θα συμμετάσχω στο διαγωνισμό πειραμάτων και κατασκευών του ΕΚΦΕ Αιγάλεω. Επομένως θα ήταν μια καλή ευκαιρία να έρθετε και σεις στο διαγωνισμό ώστε να γνωριστούμε. Θα είναι από τις 9:00 μέχρι τις 20:00 την Παρασκευή και από τις 9:00 μέχρι τις 14:00 το Σάββατο στο ΕΚΦΕ Αιγάλεω, Μίνωος και Προόδου 1 (είσοδος απο Θηβών).
