Ένα στάσιμο κύμα με απόσβεση

• Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 31 Δεκέμβριος 2012 και ώρα 1:13

Θεωρούμε τα επόμενα δύο προβλήματα:

Πρόβλημα 1

Μια χορδή μήκους L είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της. Με την βοήθεια ενός ταλαντωτή το άλλο άκρο ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής με εξίσωση y=Asin(ωt). Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου μετά την ολοκλήρωση των μεταβατικών φαινομένων. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Πρόβλημα 2

Μια χορδή μήκους 2L είναι στερεωμένη στα δύο άκρα της. Απομακρύνουμε την χορδή από την θέση ισορροπίας έτσι ώστε τα σημεία της να βρίσκονται επί μιας ημιτονοειδούς καμπύλης και την στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των σημείων της χορδής από την θέση ισορροπίας τους συναρτήσει του χρόνου. Θεωρήστε ότι δύναμη απόσβεσης σε κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ανάλογη της ταχύτητας του και ανάλογη του μήκους του.

Συνέχεια στο blogspot ή  ;ή 

Τα σχόλια

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 1:16

Καλησπέρα συνάδελφοι και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ.

Μακάρι το 2013 να μας βρει έτοιμους πνευματικά, ψυχικά και σωματικά να αντιμετωπίσουμε τις μέρες που έρχονται.

Ως μαθητής και πρωτοετής φοιτητής έμαθα ότι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα δεν ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του αλλά με την συχνότητα του διεγέρτη. Όταν προσπάθησα να λύσω την διαφορική εξίσωση που προκύπτει σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος χωρίς αντίσταση με περίμενε μια έκπληξη. Η ένταση του ρεύματος είχε δύο όρους: Έναν αρμονικό όρο με την συχνότητα του διεγέρτη και έναν αρμονικό όρο με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος. Στην συνέχεια συνειδητοποίησα ότι η ύπαρξη αντίστασης έχει ως αποτέλεσμα ο διεγέρτης τελικά να επιβάλει την συχνότητά του στο σύστημα και να φέρει σε συμφωνία την θεωρία με το πείραμα.

Λύνοντας την κυματική εξίσωση χωρίς αποσβέσεις στην περίπτωση ενός στασίμου κύματος με περίμενε δεύτερη έκπληξη. Αν ξεκινήσουμε να ταλαντώνουμε το ένα άκρο ενός ελαστικού μέσου το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο, στη χορδή δεν σχηματίζεται στάσιμο κύμα με την μορφή που αναφέρεται στα βιβλία ούτε όπως εμφανίζεται στα πειράματα.

Υπάρχουν χρονικά διαστήματα που η κίνηση είναι η προβλεπόμενη με τους δεσμούς ακίνητους.

Στην συνέχεια οι δεσμοί αρχίζουν να κινούνται και το κύμα ισοπεδώνει σαν οδοστρωτήρας τη χορδή.

Το φαινόμενο αυτό συνεχίζεται περιοδικά. Η ιδέα ότι οι αποσβέσεις είναι που εναρμονίζουν την θεωρία με το πείραμα δεν ήταν καινούργια. Όπως στην εξίσωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης υπάρχει όρος ανάλογος της ταχύτητας έτσι και στην κυματική εξίσωση πρέπει νε υπάρχει όρος ανάλογος της μερικής παραγώγου ως προς τον χρόνο. Σε πρώτη προσπάθεια η ιδέα δεν είχε τελεσφορήσει.

Με αφορμή την συζήτηση για την « διάδοση και συμβολή δύο παλμών» ο Διονύσης Μάργαρης

έκανε την εξής παρατήρηση:

«Άρα δεν είναι η παραπάνω χορδή το πρότυπο για την μελέτη του στάσιμου κύματος που μελετάμε. Εμείς δεν μελετάμε την εξαναγκασμένη ταλάντωση της χορδής παρουσία αποσβέσεων. Αυτή είναι μια φυσική πραγματικότητα, την οποία ερμηνεύουμε, τροποποιώντας ελαφρά το μαθηματικό μας μοντέλο. 

Αλλά αξίζει να επισημανθεί η θέση ότι, οι δεσμοί δεν μπορούν να παραμένουν ακίνητοι, αφού πρέπει να μεταφέρεται συνεχώς ενέργεια κατά μήκος της χορδής.»

Το πρόβλημα ζητούσε απάντηση. Στο σημείο αυτό δανείστηκα τεχνικές από τον ηλεκτρομαγνητισμό.

Στην διάδοση κυμάτων σε αγώγιμα μέσα εμφανίζεται στην κυματική εξίσωση όρος με πρώτη χρονική παράγωγο ανάλογος της αγωγιμότητας του υλικού. Η τεχνική για την εύρεση της λύσης είναι παρόμοια με την τεχνική που ακολουθείται στην συνέχεια της μονογραφίας.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 11:41

Βαγγέλη Καλημέρα και Χρόνια πολλά.

Μια ακόμη τρομερή εργασία μας χάρισες σαν πρωτοχρονιάτικο δώρο!

Σε ευχαριστώ πολύ Βαγγέλη. Να είσαι καλά και πάντα τόσο δυνατός και διερευνητικός. Με το τεράστιο μαθηματικό οπλοστάσιο που κατέχεις, τίποτα δεν μπορεί να μείνει στο απυρόβλητο!!!

Καλή χρονιά.

Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 11:49

Θα τα πω για το “έτσι” και ξέχασέ τα Βαγγέλη:

1) Υπάρχει η διάθεση ικανότατων Φυσικών σε παγκόσμια κλίμακα να συντηρήσουνε με Φυσική, για λόγους απόλυτα σεβαστούς, τα “κύματα”  y=Aημ2π(t/T-x/λ)…

Τα αδιέξοδα όμως Βαγγέλη  θα διαδέχεται το ένα το άλλο γιατί κατά τη γνώμη μου(που θα γίνει κάποια φορά πολύ πιο συγκεκριμένη) αυτά τα “κύματα” y=Aημ2π(t/T-x/λ) που διδάσκουμε δεν έχουν τη διάδοση μέσα τους, αλλά είναι μια μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει κατάσταση μέσου.

Αλλά δεν είναι ώρα για μια άμεση κουβέντα για τα κύματα. Ας γίνει άλλη φορά αφού κλείσει το θέμα της σύνθεσης α.α.τ.

Εδώ

2) Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση κοίτα το 5δ κάποιων παλιών θεμάτων με τα οποία άδικα κτυπιόμουνα. Ποιος είπε ποτέ ότι ο διεγέρτης επιβάλλει τη συχνότητα του;

Μόνο η αδιαφορία μας και η επανάπαυσή μας στα καθιερωμένα που μας παρέδωσαν ανεύθυνα κάποιοι συντηρεί και διορθώνει ως σωστά τέτοια  λάθη…

Εδώ

Γεια σου Βαγγέλη και Χρόνια σου Πολλά. Μη με παρεξηγήσεις για το ύφος μου… Δε μπορώ να τα πω αλλιώς… Να είσαι καλά…

Σχόλιο από τον/την ΓΙΑΝΝΗΣ ΔΟΓΡΑΜΑΤΖΑΚΗΣ στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 13:07

Χρόνια Πολλά και Καλη Χρονιά Βαγγέλη…κλείνεις την Φυσική μας Χρονιά με άλλη μια εξαιρετική εργασία. Να’σαι καλά.

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 13:57

Βαγγέλη συγχαρητήρια. Ξεπερνάς κάθε στάνταρντ με κάθε ανάρτηση.

Μια διευκρίνηση κάνε μου μόνο. Έχω διαβάσει και δει σε προσομοιώσεις ότι όταν η ταλάντωση χορδής δεν είναι εξαναγκασμένη (πρόβλημα 2) συνυπάρχουν όλες οι συχνότητες της χορδής. Μόνο αυτές επιβιώνουν. Η κατάσταση είναι ένας γραμμικός τους συνδυασμός με πλάτη κυμαινόμενα. Η θεμελιώδης έχει μεγαλύτερο πλάτος.

Μια εικόνα ΕΔΩ.

Σχόλιο από τον/την Σαράντος Οικονομίδης στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 15:59

Ευάγγελε ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και καλή πρωτοχρονιά.

Προσθέτω και τα δικά μου συγχαρητήρια για την πολύ χρήσιμη ανάρτησή σου την οποία οπωσδήποτε θα μελετήσω. Νομίζω είναι χρήσιμη και για τις ολυμπιάδες. Σε ευχαριστώ πολύ για το πρωτοχρονιάτικο δώρο 🙂

Να είσαι καλά

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 16:20

Καλημέρα Γιάννη.

Λύσαμε την κυματική εξίσωση με αρχικές συνθήκες

Ψ(-L,t)=Ψ(L,t)=0, Ψ_t(x,0)=0 και Ψ(x,0)=Acos(kx)

Στην γενική περίπτωση οι αρχικές συνθήκες είναι:

Ψ(-L,t)=Ψ(L,t)=0, Ψ_t(x,0)=0 και Ψ(x,0)=φ(x) ( στην αρχική θέση η χορδή έχει τυχαίο σχήμα)

Αναλύουμε την φ(x) σε σειρά Fourier συνημιτόνων: φ(χ)=Σ a_ncos(nx).

Για κέθε τιμή του n ξέρουμε την λύση Ψ_n (x,t) από την (3.14).

Επειδή οι υπόλοιπες συνοριακές συνθήκες είναι ομογενείς (=0) η ΣΨ_n(x,t) είναι λύση.

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 16:23

Σαράντο γράφαμε μαζί. Καλή ΠΡΩΤΟΧΡΟΝΙΑ και από εμένα.

Ευχαριστώ.

Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 31 Δεκέμβριος 2012 στις 20:15

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά με υγεία και δύναμη.

Βαγγέλη συγχαρητήρια για την σπουδαία εργασία που μας δώρισες!.

Καλή Χρονιά. Να είσαι πάντα καλά!

Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 1 Ιανουάριος 2013 στις 20:20

Ενδιαφέροντα τα θέματα που θίγεις Βαγγέλη. Χωρίς πολλά μαθηματικά θα πω την άποψή μου στο θέμα της διάδοσης κύματος σε μια χορδή που το ένα άκρο της είναι στερεωμένο.

Ο συντελεστής ανάκλασης στο στερεωμένο άκρο είναι -1 (το “-” λόγω της αντιστροφής φάσης). Επειδή το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το οδεύον, έχουμε ένα στάσιμο κύμα με δεσμούς και κοιλίες. Ας υποθέσουμε τώρα ότι υπάρχει κάποια απόσβεση στη διάδοση. Έστω δεσμός στο σημείο Α που απέχει l από το στερεωμένο άκρο. Το οδεύον κύμα πηγαίνοντας από το Α στο άκρο παθαίνει μια απόσβεση. Το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το οδεύον στο άκρο. Πηγαίνοντας όμως από το άκρο στο Α παθαίνει άλλη μια απόσβεση. Άρα η συνολική αποσβεση στη διαδρομή Α-άκρο-Α είναι όσο αντιστοιχεί σε μήκος 2l. Στο Α το ανακλώμενο θα έχει, επομένως, μικρότερο πλάτος από το οδεύον. Άρα δεν θα έχουμε δεσμό. Γενικά επειδή παντού τα συμβάλοντα οδεύοντα και ανακλώμενα κύματα θα έχουν διαφορετικά πλάτη, δεν θα υπάρχουν δεσμοί (εκτός από το στερεωμένο άκρο). Η κατάσταση είναι παρόμοια με αυτή που σε μια χορδή το ένα άκρο δεν είναι ακλόνητα στερεωμένο, αλλά υπάρχει εκεί ένας μηχανισμός που απορροφά μέρος της ενέργειας του κύματος ενώ ανακλάται η υπόλοιπη ενέργεια. Δημιουργείται έτσι ένα κύμα που είναι ημιδιαδιδόμενο-ημιανακλώμενο. Δεν υπάρχουν δεσμοί αλλά ελάχιστα πλάτους που κινούνται μέ ένα περίεργο τρόπο.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 2 Ιανουάριος 2013 στις 13:16

Καλό μεσημέρι Νίκο και Καλή Χρονιά.

Πολύ μου άρεσε η φυσική αποδεικτική πορεία που μας έδωσες. Μπράβο!

Να είσαι καλά.

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 2 Ιανουάριος 2013 στις 15:24

Καλημέρα Νίκο και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

Συμφωνώ απόλυτα με την ποιοτική ανάλυση που έκανες.

¨Όμως θέλω να προσθέσω κάτι όσον αφορά στις ανακλάσεις

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια αρχικά ακίνητη χορδή μήκους L που όλα της τα σημεία βρίσκονται στην θέση ισορροπίας με το ένα άκρο στερεωμένο τοίχο.

Την στιγμή t=0 αρχίζουμε να ταλαντώνουμε το άλλο άκρο( άκρο Ε)  με εξίσωση y=Aημ(ωt).

Στην περίπτωση που δεν υπάρχουν αποσβέσεις

Ένα κύμα (1^ο κύμα ) αρχίζει να διαδίδεται  από το Ε προς  τον τοίχο.

Το κύμα αυτό φτάνει στο δεμένο άκρο την στιγμή t₁=L/υ.

Το κύμα ανακλάται στον τοίχο και αρχίζει να διαδίδεται προς τα πίσω δεύτερο κύμα.

Το δεύτερο κύμα φτάνει στο Ε την στιγμή t₂=2L/υ και ανακλώμενο δημιουργεί  3^ο κύμα.

Έτσι την στιγμή 2L/υ όλη η χορδή ταλαντώνεται με την επίδραση 2 κυμάτων την στιγμή 3L/υ με την επίδραση 3 κυμάτων κ.τ.λ.

Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα στην χορδή να μην δημιουργηθεί ποτέ στάσιμη κατάσταση.

Στην περίπτωση που υπάρχουν αποσβέσεις

Ισχύει η περιγραφή σου με την προσθήκη των πολλαπλών ανακλάσεων.

Λόγω των αποσβέσεων δημιουργείται τελικά στάσιμη κατάσταση.

Στην μελέτη που έκανα ουσιαστικά εθεώρησα δεδομένη την ύπαρξή της και βρήκα ποιά είναι.

Ελπίζω στο μέλλον να βρω την χρονική εξέλιξη του φαινιομένου που οδηγεί στην στάσιμη κατάσταση.

Να είσαι πάντα καλά

Σχόλιο από τον/την Νίκος Παναγιωτίδης στις 2 Ιανουάριος 2013 στις 22:15

Επειδή έχω ασχοληθεί με θέματα διάδοσης κύμάτων σε χορδές, σε προσκαλώ να διαβάσεις το άρθρο μου string στην ιστοσελίδα του ΕΚΦΕ Ιωαννίνων

http://ekfeioa.mixxt.org/networks/files/file.92526

Μια παρόμοια μελέτη είχα βάλει και στο δίκτυό μας παλιότερα.

Σε μια τεντωμένη χορδή υπάρχουν 2 κύματα: ένα κύμα τάσεων και ένα ταχυτήτων (των στοιχειωδών τμημάτων της χορδής) που έχουν την ίδια ταχύτητα. Ο συντελεστής εμπέδησης είναι ο λόγος των πλατών των δύο κυμάτων (σταθερός κατά μήκος της χορδής). Αν βάλουμε οριακές συνθήκες στα άκρα, αυτές οδηγούν συνήθως σε ανακλάσεις. Λέω συνήθως γιατί υπάρχουν και οριακές συνθήκες που δεν οδηγούν σε ανακλάσεις (ο συντελεστής ανάκλασης είναι μεταξύ -1 και +1. Αν είναι 0 δεν υπάρχει ανάκλαση).

Ασφαλώς υπάρχουν άπειρα ανακλωμενα κύματα και από τα δύο άκρα. Η υπέρθεση όλων αυτών των ανακλάσεων οδηγεί στην παρατηρούμενη κίνηση της χορδής, που την υπολογίζουμε περιορίζοντας το κύμα να ικανοποιεί τις δεδομένες οριακές συνθήκες στα άκρα. Το τελικό όμως κύμα είναι πάντα το άθροισμα ενός οδεύοντος και ενός επιστρέφοντος κύματος. Αν:

1. Ο συντελεστής ανάκλασης στο ένα άκρο είναι +1 ή -1, και
2. Η απόσβεση είναι 0

τότε υπάρχει στάσιμο κύμα με δεσμούς και κοιλίες. Σε κάθε άλλη περίπτωση (εκτός μίας) υπάρχουν όρη (μέγιστα) και κοιλάδες (ελάχιστα). Ο λόγος ενός μεγίστου και ενός ελαχίστου είναι ο Λόγος Στασίμου Κύματος (που είναι μεταξύ του 1 και του απείρου). Εξαίρεση είναι η περίπτωση που ο συντελεστής ανάκλασης στο άκρο είναι 0. Τότε υπάρχει μόνο οδεύον κύμα και ο λόγος στασίμου κύματος είναι 1.