by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας στις 2 Ιούνιος 2013 και ώρα 16:00
Η έννοια ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
Αφορμή το ερώτημα 4 του θέματος Γ των πανελλαδικών εξετάσεων 2013
Σώμα Σ1 με μάζα m1 που κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώμα Σ2 με μάζα m2= 2 m1 , το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Έστω υ0 η ταχύτητα που έχει το σώμα Σ1 τη στιγμή t0 και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d = 1 m από το σώμα Σ2. Αρχικά, θεωρούμε ότι το σώμα Σ2 είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με αμελητέα μάζα και σταθερά ελατηρίου k και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος ℓ0. Το δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα :
Αμέσως μετά την κρούση που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ1 αποκτά ταχύτητα με μέτρο υ1’ = √10 m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας . Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωμάτων με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ = 0,5 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.
Γ1. Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος Σ1 .
Γ2. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα Σ1 στο σώμα Σ2 κατά την κρούση
Γ3. Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ1 από την αρχική χρονική στιγμή t0 μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά
Γ4. Να υπολογίσετε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου, αν m2 = 1 kg και k = 105N/m
Μια λύση, αρκετά εξεζητημένη, για το Γ4, είναι η παρακάτω:
Για το φαινόμενο «κίνηση του Σ2 μετά την κρούση», επιλέγουμε ως αρχή των αξόνων ένα σημείο Ο του χώρου αριστερά του σημείου πρόσκρουσης Ν σε απόσταση ίση με μmg/k – σημείο του χώρου στο οποίο το σώμα ΔΕΝ είχε προηγουμένως βρεθεί. Η επιλογή του Ο βασίζεται στο ότι εάν είχε προηγουμένως βρεθεί εκεί, κινούμενο προς τα δεξιά, η ολική δύναμη θα ήταν μηδέν. Επιλέγοντας ως αρχή το Ο συμπεραίνουμε ότι κατά την εξέλιξη της πραγματικής κίνησης του προς τα δεξιά από το Ν μέχρι το σημείο Λ που θα μηδενιστεί η ταχύτητά του η ολική δύναμη έχει αλγεβρική τιμή ίση με – kx. Εφόσον ισχύει αυτό, θα είναι
x = Aημ(√(k/m2)t+θ) και υ = (√(k/m2)Ασυν(√(k/m2)t+θ)
με Α = ΟΛ , αλλά μόνο για OΝ <x< ΟΛ
Από τις δύο σχέσεις με απαλοιφή του t προκύπτει υ2 = k/m2( A2- x2)
A2 = x2 + m2υ2/k. Θέτοντας υ 2√10 m/s , x = μm2g/k = 1/21 m, k= 105Ν/m m2 = 1 kg
προκύπτει Α = 13/21 m , οπότε η ζητούμενη τιμή ΝΛ είναι 12/21 m.
Το ερώτημα είναι « Δεν θα μπορούσαμε να αποδώσουμε στο Σ2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ αρμονικού ταλαντωτή ίση με ½kx2 , να εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ενέργειας ( του αθροίσματος Κ+U ) και να οδηγηθούμε στην ίδια λύση ; ½kx2 + ½mυ2 = ½kΑ2
Εκτιμώ ότι, από τη σκοπιά της Φυσικής, αυτό θα ήταν λάθος.
Μια αλγεβρική σχέση, όπως η τελευταία είναι μαθηματικά σωστή
αλλά απορρέει από τις εξισώσεις κίνησης υ2 = k/m2( A2- x2) και δεν
απορρέει από τη Διατήρηση της ενέργειας ( του αθροίσματος Κ+U ) κατά την εξέλιξη ενός φαινομένου κατά το οποίο το σύστημα «ζεσταίνεται», αυξάνεται η θερμοκρασία του. Πώς θα δικαιολογήσουμε την αύξηση αυτή όταν επιμένουμε ότι η ενέργεια ( άθροισμα κινητικής και δυναμικής) διατηρείται;
Το λάθος πρέπει να το πάρουμε αγκαλιά δεδομένου ότι μια προσέγγιση όπως αυτή θέτει επί τάπητος ενδιαφέροντα ζητήματα σχετιζόμενα τόσο με την έννοια ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ όσο και με τον νόμο ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ. Ας τα δούμε
Το φαινόμενο «αλληλεπίδραση».
Η κίνηση και η αλληλεπίδραση συνιστούν φαινόμενα τα οποία η ανθρώπινη σκέψη εστιάζει ιδιαίτερα κατά την προσπάθεια της να περιγράψει τον περιγραφή του Κόσμου. Και – ακολουθώντας τη μέθοδο της «μητέρας» φιλοσοφίας- η Φυσική περιγράφει τα φαινόμενα με ΕΝΝΟΙΕΣ, δημιουργήματα δικά της . Και ενώ η κίνηση περιγράφεται μέσα από έννοιες όπως η ταχύτητα, η ορμή, η κινητική ενέργεια, η αλληλεπίδραση περιγράφεται μέσα από έννοιες όπως η δύναμη και η δυναμική ενέργεια.
Η έννοια « διατηρητική δύναμη» (conservative force)
Σε κάποια στιγμή της εξέλιξης της η Φυσική διέκρινε τις δυνάμεις σε διατηρητικές και σε μη διατηρητικές. Η διάκριση βασίζεται σε μια επισήμανση για το «πώς εκτελείται το έργο». Εφόσον το έργο της είναι ανεξάρτητο του δρόμου ή – ισοδύναμα- εφόσον το έργο της σε μια κλειστή τροχιά είναι μηδενικό, η δύναμη θεωρείται διατηρητική. Σε γλώσσα με πιο προηγμένα μαθηματικά λέμε «εφόσον ο στροβιλισμός της έχει τιμή μηδενική». Από τη σκοπιά της φυσικής όταν οι ασκούμενες σε ένα σύστημα δυνάμεις είναι ΜΟΝΟ διατηρητικές, η ενέργεια του συστήματος (ως άθροισμα ενέργειας περιγράφουσας την κίνηση – κινητικής – και ενέργειας αναφερόμενης στην αλληλεπίδραση – δυναμικής) ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ.
Από κει κατάγεται και ο όρος διατηρητική ( conservative force ) τον οποίο θα μπορούσαμε να προτιμάμε από τον «συντηρητική» που έχει επικρατήσει στη λυκειακή εκπαίδευση, δεδομένου ότι το conservation of energy το αποδίδουμε με το ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ και όχι με το «συντήρηση της ενέργειας» . Αυτό ακόμα και για λόγους Διδακτικής. Το «διατηρητική» οδηγεί τη σκέψη του διδασκόμενου προς ένα έγκυρο «κάπου».
Ως μη διατηρητικές – άρνηση του «διατηρητικές» χαρακτηρίζονται οι δυνάμεις για τις οποίες δεν ισχύουν τα παραπάνω. Η παρουσία τους σχετίζεται με το γεγονός τη μη διατήρηση της ενέργειας ( ως άθροισμα Κ+U)
Η διάκριση σε διατηρητικές και μη διατηρητικές γίνεται μόνο σε επίπεδο Μακρόκοσμου.
Η «διασημότερη» από τις διατηρητικές δυνάμεις είναι η δύναμη βάρος – δύναμη την οποία ασκεί ένα πεδίο βαρύτητας σε κάθε «επισκέπτη»
Σε φαινόμενα Μακρόκοσμου, διατηρητική θεωρείται και η δύναμη την οποία ασκεί ένα τεντωμένο ή συσπειρωμένο ελατήριο σε κάποιο αντικείμενο.
Η πιο διάσημη – μη διατηρητική – είναι η τριβή ολίσθησης . Από τη σκοπιά των φαινομένων, η παρουσία της σχετίζεται με ελάττωση της ενέργειας ( ως άθροισμα Κ+U) και με αύξηση της θερμοκρασίας.
Μία διατηρητική δύναμη μπορεί να συντεθεί με μία μη διατηρητική εφόσον ασκούνται στο ίδιο σώμα- σύστημα και να δημιουργηθεί κάποια συνισταμένη .
Σε κάθε περίπτωση, πάντως, το αν είναι ή δεν είναι διατηρητική αφορά σε συγκεκριμένη δύναμη και όχι σε «συνισταμένη δυνάμεων ορισμένες από τις οποίες θα μπορούσε να είναι διατηρητικές και άλλες όχι». Κατά τη δική μου τουλάχιστον άποψη, τη συνισταμένη μιας δύναμης ελατηρίου ασκούμενης σε συγκεκριμένο σώμα και μιας τριβής ασκούμενης στο ίδιο σώμα δεν τη χαρακτηρίζουμε διατηρητική, ανεξάρτητα του τιποια τιμή θα μας δώσει ο αντίστοιχος στροβιλισμός.
Γεγονός είναι ότι η παρουσία της τριβής θα οδηγήσει σε ποιοτική υποβάθμιση της ενέργειας. Και η ενέργεια είναι έννοια που δεν χαρακτηρίζεται μόνο από ποσότητα αλλά και από ποιότητα.
Η έννοια δυναμική ενέργεια
α. Από τη σκοπιά της Διδακτικής οφείλουμε να μην αγνοούμε ότι
η οικοδόμηση όλων των εννοιών προκύπτει μέσα από συγκεκριμένα «ραντεβού» της ΝΟΗΣΗΣ με την ΑΙΣΘΗΤΗΡΙΑΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ. Ουδέν εν τη νοήσει
ό μη πρότερον εν τη αισθήσει έχει γράψει ο Αριστοτέλης ο παππούς.
Η έννοια δυναμική ενέργεια κατάγεται και από την εμπειρία της «αποθηκευμένης» δυνατότητας που έχει ένα αντικείμενο να «κάνει ζημιά», ανεξάρτητα από το αν κινείται ή δεν κινείται. Η δυναμική δηλαδή ενέργεια δεν συνιστά «άρνηση της κινητικής» όπως ορισμένοι μαθητές πιστεύουν.
Σύμφωνα με τους ερευνητές της Διδακτικής, με τη συμβολή και των γνωσιοθεωρητικών, εκτιμούν ότι η έννοια δυναμική ενέργεια, μαζί με την έργο και την εντροπία και όχι μόνο – ανήκει σε ομάδα εννοιών με υψηλό επίπεδο αφαίρεσης.
Με απλά λόγια είναι δύσκολη δεδομένου ότι η ποσότητα νόησης – σκέψης με αφαίρεση- είναι πολύ μεγαλύτερη από την ποσότητα αισθητηριακής εμπειρίας.
β. Η έννοια δυναμική ενέργεια αναφέρεται σε σύστημα σωμάτων τα οποία αλληλεπιδρούν. Στη γλώσσα της φυσικής χρησιμοποιούμε και τον όρο «δυναμική ενέργεια ενός σώματος στο πεδίο ενός άλλου» χωρίς όμως να ξεχνάμε ότι αναφερόμαστε σε αλληλεπίδραση των δύο σωμάτων περιγραφόμενη μέσω του πεδίου.
γ. Η οικοδόμησή της θεμελιώθηκε πάνω στην έννοια «διατηρητική δύναμη» και στο έργο της .
δ. Ο σχετικός ορισμός δίνεται μέσα από τη μεταβολή της σε μία εξέλιξη των γεγονότων. Ορίζεται δηλαδή ως μεταβολή δυναμικής ενέργειας το αντίθετο του έργου των διατηρητικών και μόνο δυνάμεων που περιγράφουν τη σχετική αλληλεπίδραση.
Όσο για την τιμή της δυναμικής ενέργεια ενός συστήματος αυτή προσδιορίζεται αναφορικά με μια άλλη κατάσταση του ίδιου συστήματος, με τις θέσεις των σωμάτων διαφορετικές.
ε. Η λεγόμενη δυναμική ενέργεια βαρύτητας είναι το πιο συχνά εμφανιζόμενο πρόσωπο δυναμικής ενέργειας. Η μεταβολή της είναι ίση με το αντίθετο του έργου του βάρους. Η τιμή της αυξάνεται εφόσον το έργο του βάρους είναι αρνητικό, ελαττώνεται εφόσον το έργο του βάρους είναι θετικό.
στ. Η λεγόμενη – όχι και τόσο εύστοχα – ελαστική δυναμική ενέργεια σχετίζεται με εκδηλώσεις ελαστικότητας σχήματος ορισμένων σωμάτων. Σε μια «γλώσσα διδασκαλίας» μπορούμε να πούμε ότι το τεντωμένο λάστιχο συμπεριφέρεται ΟΠΩΣ κάποιος που θέλει να ανακτήσει το «χαμένο» φυσικό του σχήμα και «τραβάει» το χέρι που το έχει τεντώσει. Αυτό βέβαια δεν είναι παρά ένα διδακτικό σχήμα με μοναδικό στόχο την κατανόηση των διδασκομένων και το χρησιμοποιούμε αλλά με την επίγνωση ότι μπορεί και να τραυματίσουμε τελικά την έννοια, όπως συμβαίνει σε άλλες περιπτώσεις. Υπάρχει βέβαια και το ελατήριο – μαζί με το εκκρεμές- ένα από τα σημαντικότερα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ κατά την οικοδόμηση της φυσικής. Ο νόμος του Γαλιλαίου και ο νόμος του Ηooke είναι από τους πρώτους εμπειρικούς νόμους που πρότεινε η Φυσική σε εποχή που ήταν ακόμα βρέφος. Το αντικείμενο ελατήριο εκδηλώνει την ελαστικότητά του άλλοτε με το να «τραβάει» και άλλοτε με το να σπρώχνει», κάτι που δεν μπορεί να κάνει το λάστιχο το οποίο μόνο τραβάει.
Μια άλλη βέβαια περιγραφή ενός παραμορφωμένου ελατηρίου είναι η «αποθηκευμένη» δυνατότητά του να «κάνει ζημιά», όπως βέβαια και το τεντωμένο λάστιχο του Δαβίδ που έκανε, με τη συμβολή της πέτρας, τη ζημιά στον Φιλισταίο γίγαντα. Μια ακόμα σχετιζόμενη με την εμπειρία είναι «ο κόπος» που καταβάλλει κάποιος για παραμορφώσει ένα ελατήριο.
Για να του αποδώσουμε ωστόσο δυναμική ενέργεια απαιτείται η αντίστοιχη δύναμη να είναι διατηρητική και η δύναμη που ασκεί ένα παραμορφωμένο ελατήριο είναι διατηρητική. Ένα τεντωμένο ελατήριο, όπως και ένα συσπειρωμένο, έχει αποθηκευμένη δυναμική ενέργεια. Κάθε μεταβολή της είναι ίση με το αντίθετο του έργου της αντίστοιχης διατηρητικής δύναμης.
Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου θεωρείται μηδενική όταν αυτό βρίσκεται στο φυσικό του μήκος και η τιμή της σε κάθε άλλη κατάσταση είναι θετική.
ζ. Η λεγόμενη δυναμική ενέργεια ταλαντωτή δεν αποτελεί κάποια τρίτη εκδοχή δυναμικής ενέργειας, αλλά μια πρόταση της νόησης για να περιγραφεί αμεσότερα το «σύνολο» των ποικίλων δυναμικών ενεργειών που αναφέρθηκαν ή και άλλων που δεν έχουν αναφερθεί.
Στα πλαίσια του σχολικού προγράμματος αναφέρεται σε αρμονικό ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ, έννοια ιδιαίτερα αδικημένο από το ισχύον ελληνικό Πρόγραμμα του Λυκείου, με συνέπεια οι φοιτητές να γνωρίζουν δυσκολίες στην κατανόηση της Κβαντομηχανικής
Στα διάφορα ευρωπαϊκά σχολικά Προγράμματα ο ταλαντωτής – για τους Άγγλους oscillator, για τους Γερμανούς Oszillator, για τους Γάλλους oscillateur, για τους Ισπανούς oscilador- συνιστά έννοια με ιδιαίτερο κύρος. Ορίζεται όχι απλά ως σώμα που εκτελεί ταλάντωση, αλλά ως αντικείμενο του οποίου η ισορροπία –εφόσον ισορροπεί – είναι ευσταθής άρα και η δυναμική του ενέργεια, όταν βρίσκεται σε αυτή τη θέση αυτή – θέση ισορροπίας – είτε ακίνητο είτε κινούμενο, είναι η ελάχιστη σε σχέση με αυτή που θα είχε σε οποιαδήποτε άλλη θέση.
Ένα ελαστικό μέσο ορίζεται ως σύνολο υλικών σημείων καθένα από τα οποία είναι ταλαντωτής και εφόσον οι θέσεις ισορροπίας όλων είναι γεωμετρικά σημεία της ίδιας ευθείας, το ελαστικό μέσο χαρακτηρίζεται γραμμικό.
Η δυναμική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή – κατά κανόνα σημειακού, ώστε η θέση ισορροπίας του να είναι ένα γεωμετρικό σημείο – σχετίζεται μόνο με έργα διατηρητικών δυνάμεων. Μόνον εφόσον όλες οι ασκούμενες σε αυτόν δυνάμεις είναι διατηρητικές η μεταβολή της είναι ίση με το αντίθετο του έργου της συνισταμένης, της λεγόμενης δύναμης επαναφοράς.
Η τιμή της δυναμικής ενέργειας του κινουμένου ταλαντωτή είναι η επιπλέον δυναμική ενέργεια που έχει σε σχέση με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια – θεωρούμενη μηδέν – την οποία έχει στη θέση ισορροπίας. Η δυναμική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι συνεπώς πάντα μη αρνητική.
Τέλος ένας αρμονικός ταλαντωτής ενεργοποιούμενος εκτελεί κίνηση κατά την οποία οι ασκούμενες δυνάμεις είναι μόνο διατηρητικές και η ενέργεια του – ως άθροισμα κινητικής και δυναμικής – ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ.
Δυναμική ενέργεια και Διατήρηση της ενέργειας.
Η επινόηση της έννοιας δυναμική ενέργεια και ο συσχετισμός ΜΟΝΟ με δυνάμεις– που αργότερα θα χαρακτηρίζονταν – διατηρητικές ήταν εξ αρχής ενταγμένη στα πλαίσια μιας ιδέας που θα οδηγούσε στη Διατήρηση της ενέργειας.
Ας δούμε τα βασικά στάδια της σχετικής διαδρομής.
Από τον δεύτερο νόμο της κίνησης στο Θεώρημα της κινητικής ενέργειας,
στη Διατήρηση της ενέργειας και στον Πρώτο νόμο της Θερμοδυναμικής
Με αφετηρία τον δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης ( F= mdυ/dt) και το ορισμό της έννοιας έργο δύναμης dW = Fxdx μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ενέργεια που πρέπει να μεταβιβάσουμε – ως έργο δύναμης – σε ένα ακίνητο υλικό σημείο μάζας m ώστε να αποκτήσει ταχύτητα υ είναι ίση με ½mυ2 . Την ποσότητα αυτή την αποδίδουμε στο κινούμενο υλικό σημείο ως – εξ ορισμού – κινητική ενέργεια του υλικού σημείου. Με την ίδια αφετηρία μπορούμε να οδηγηθούμε και το θεώρημα της κινητικής ενέργειας .
ΔΚ = Wολ .
Αν θεωρήσουμε ένα σύνολο σωμάτων και εφαρμόσουμε το θεώρημα σε καθένα από αυτά καταλήγουμε στο συμπέρασμα
ΔΚ = Wεξ + Wεσ, διατ + Wεσ, μη διατ
To Wεσ, διατ έργο των εσωτερικών διατηρητικών δυνάμεων, όπως η βάρος καταγράφει τη ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ κινητικής ενέργειας σε δυναμική και αντίστροφα
Wεσ, διατ = -ΔU
To Wεσ, μη διατ έργο των εσωτερικών μη διατηρητικών δυνάμεων, όπως η τριβή
καταγράφει τη ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ κινητικής ενέργειας σε θερμική
Wεσ, μη διατ = -ΔΕθερμ Καταλήγουμε έτσι στην ΔΚ + ΔU + ΔΕθερμ = Wεξ
Αν a. Wεσ, μη διατ = 0, οπότε και ΔΕθερμ = 0 και β. Wεξ = 0
προκύπτει η ΔΚ + ΔU = 0
η οποία περιγράφει τη Διατήρηση της ενέργεια σε ένα σύστημα
Με αφετηρία την ΔΚcm + ΔU + ΔΕθερμ = Wεξ και εμπλουτίζοντάς την με την ισοδυναμία θερμότητας και έργου
ΔΚ + ΔU + ΔΕθερμ = Wεξ + Q
Εισάγουμε και την έννοια «μεταβολή χημικής ενέργειας» ΔΕχημ
Μεταβολή της ολικής ενέργειας = Μεταβιβαζόμενη ενέργεια με έργο και με θερμότητα
οπότε ΔΚcm + ΔU + ΔΕθερμ + ΔΕχημ = Wεξ + Q
1ος Νόμος της Θερμοδυναμικής
Το Kcm , σε περίπτωση μεταφορικής κίνησης, είναι ίσο με ½mυcm2, όπου υcm η ταχύτητα του κέντρου μάζας ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς
Αν πρόκειται για αέριο με κέντρο μάζας ακίνητο
ΔΚcm = 0 ΔU =0 ΔΕθερμ + ΔΕχημ = ΔΕεσωτ
Και εφόσον, αντί για έργο των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται στο αέριο σώμα χρησιμοποιηθεί το έργο W των δυνάμεων που ασκεί το αέριο W = – Wεξ προκύπτει η σχέση για τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, όπως διατυπώνεται στο σχολικό βιβλίο ΔΕεσ = Q – W ή Q = ΔΕεσ + W
