by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας στις 9 Ιούνιος 2013 και ώρα 11:45
Το ερώτημα : Όταν δεν υπάρχουν τριβές, η δύναμη επαφής είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια επαφής;
Το έθεσε ο Ευάγγελος Κορφιάτης και είναι, κατά την άποψή μου, εξαιρετικό, αλλά συνιστά και κίνητρο για να ερευνήσουμε «κάτι» που ίσως δεν το έχουμε αρκετά ερευνήσει.
Ας μου συγχωρεθεί το αναλυτικό ύφος. Μου το επιβάλλει η ιδέα – ελπίδα ότι το κείμενο θα μπορούσε κάποτε να γίνει κατανοητό ακόμα και από μαθητές που θα το προσέγγιζαν .
Η έννοια δύναμη
Ας εστιάσουμε πρώτα στην έννοια δύναμη. Όπως συμβαίνει με τις άλλες έννοιες στην «άκρη του νήματος» υπάρχει αισθητηριακή εμπειρία. Τα βασικά εμπειρικά αρχέτυπα πάνω στα οποία θεμελιώθηκε η έννοια δύναμη είναι το «σπρώχνω» και το «τραβώ». Στις απαρχές της δημιουργίας της έννοιας οι δυνάμεις είναι μόνο δυνάμεις που περιγράφουν το σπρώχνω ( ωθώ) και το τραβώ – έλκω.
Η δύναμη βάρος επιλέγεται ως δύναμη που περιγράφει το τραβώ εκ μέρους του πλανήτη Γη σε κάθε είδους « ροδάκινο» και όχι κάτι άλλο όπως λόγου χάρη ότι ο ουρανός θα μπορούσε να σπρώχνει το «ροδάκινο».
Το μεγαλύτερο μέρος του νευτωνικού Principia αναφέρεται σε δυνάμεις σχετιζόμενες με το αρχικό αρχέτυπο οι οποίες στη γεωμετρική μεταγραφή τους εμφανίζονται συνήθως ως «κεντρικές» . Παράλληλα επισημαίνεται ότι σε κάθε περίπτωση που ένα σώμα Α σπρώχνει( ή τραβά) ένα άλλο Β και το Β – για τη νευτωνική φυσική ακαριαία – σπρώχνει ( ή τραβά) το Α και η περιγραφή γίνεται από δύο δυνάμεις ίσων μέτρων. Το σπρώξιμο είναι «αλληλοσπρώξιμο» και το τράβηγμα είναι «αλληλοτράβηγμα».
Η εμφάνιση δυνάμεων – όπως η τριβή και η αντίσταση του αέρα – οι οποίες δεν έχουν σχέση με το αρχέτυπο «σπρώχνω/τραβώ» είναι συνέπεια της νευτωνικής πρότασης – διεύρυνσης του αρχικού προτύπου – σύμφωνα με την οποία η έννοια δύναμη συνδέεται με κάτι γενικότερο από το σπρώχνω/τραβώ, και ανεξάρτητα από το τρόπο δράσης της, συνιστά αιτία αλλαγής της κίνησης, συνιστά τελικά παράγωγο της ορμής . Η σχετική εμπειρία κατευθύνει τη σκέψη στο να γίνει αποδεκτή ως δύναμη τόσο η τριβή ολίσθησης όσο και η αντίσταση του αέρα, δεδομένου ότι η παρουσία τους συμβάλλει σε αλλαγή της κίνησης, σε μεταβολή της ορμής καθώς και στο γεγονός ότι χωρίς αυτές δεν θα μπορούσε να εξηγηθεί, βάσει των σχετικών «νόμων», η μεγάλη ποικιλία μεταβολών της κίνησης αλλά και χωρίς επιτάχυνση κίνηση . Μια ακόμα , η στατική τριβή θα γίνει δεκτή ως δύναμη με κριτήριο ότι η παρουσία της μπορεί να ερμηνεύσει, βάσει των ίδιων νόμων το φαινόμενο σχετική ισορροπία . Εκατόν είκοσι περίπου χρόνια αργότερα – τον 19ο αιώνα- θα κάνουν την «εμφάνισή τους» στο προσκήνιο και οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις – όπως η λεγόμενη δύναμη Λαπλάς – οι οποίες δεν συνδέονται με το σπρώχνω/τραβώ, ενώ οι «παλαιότερες» ηλεκτροστατικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ σημειακών φορτίων συνδέονταν μόνο με το αρχέτυπο σπρώχνω/τραβώ. ( απωθώ, έλκω}.
Εμπειρία + πανάρχαια Γεωμετρία = Θεμέλιο της «ευρωπαϊκής» Φυσικής
Η οικοδόμηση της Φυσικής υπήρξε εκτός των άλλων και μια διαδικασία «συγκρυστάλλωσης» των εμπειρικών δεδομένων με την πανάρχαια Γεωμετρία. Όλα τα παιδιά της ευκλείδειας Γεωμετρίας, η ευθεία, ο κύκλος, η κάθετος, το γεωμετρικό σημείο, η έννοια κάθετος, το επίπεδο, η σφαιρική επιφάνεια, παίρνουν μέρος στο «πάρτι» στο οποίο για πρώτη φορά στην ιστορία της σκέψης τα αόρατα αυτά παιδιά της Γεωμετρίας συνυπάρχουν με σανίδες, με μετροταινίες, με εκκρεμή, με σωλήνες από γυαλί, με ποσότητες υδραργύρου, με σιδερένιες μπίλιες, με ποσότητες νερού σε δοχείο και με χρονόμετρα, για να δημιουργηθεί το πρόπλασμα που θα οδηγήσει στη Φυσική. Και η «συγκρυστάλλωση» του εμπειρικού με τη Γεωμετρία θα συντελεστεί γίνει μέσα από τη δημιουργία «μοντέλων» όπως το υλικό σημείο, το ιδανικό ρευστό, το rigid body και όχι μόνο.
Και χρειάζεται να θυμίσουμε ότι η «επιφάνεια του τραπεζιού» όπως την καταγράφει η αισθητηριακή εμπειρία δεν είναι το ίδιο πράγμα με την επίπεδη γεωμετρική επιφάνεια την οποία θα εμφανίζει η φυσική όπως και το τεντωμένο νήμα δεν είναι το ίδιο πράγμα με την ευθεία πάνω στην οποία ανήκει το διάνυσμα της δύναμης που περιγράφει το εμπειρικό «τραβώ». Παρόλα αυτά για λόγους οικονομίας της γλώσσας και μόνο συνηθίζουμε να λέμε «η ευθεία του νήματος» και «η επίπεδη επιφάνεια του τραπεζιού»
«Κάθετη» δύναμη
Δυνάμεις όπως αυτή που περιγράφει την εμπειρία «ο αέρας σπρώχνει το ταβάνι προς τα πάνω ακόμα κι αν δεν φυσά» ή «το ακίνητο νερό σπρώχνει το φράγμα» είναι δυνάμεις «σπρώχνουσες» – ας μου επιτραπεί ο όρος δεν έχω προς το παρόν κάποιον καλύτερο-, και δεδομένου ότι θα συμβάλλουν στο να οικοδομηθεί η έννοια πρωταγωνίστρια στη μελέτη των ρευστών, η πίεση , θα χαρακτηριστούν και δυνάμεις «πιεστικές» . Η πρόταση ήταν εξ αρχής «οι δυνάμεις αυτές να περιγράφονται μέσα από τη Γεωμετρία μιας συγκεκριμένης καθετότητας».
Στο μοντέλο ιδανικό ρευστό το «σπρώχνω» κάθε ρευστού περιγράφεται με μια δύναμη διάνυσμα κάθετο στην κοινή επιφάνεια συνεπαφής με το στερεό rigid body.
Σε δυνάμεις ανάμεσα σε στερεά – αναφερόμενες στο μοντέλο rigid body- η «σπρώχνουσα» δύναμη περιγράφεται σε κάθε περίπτωση με διάνυσμα κάθετο στη επιφάνεια του σώματος το οποίο σπρώχνεται. Εφόσον ένα σώμα Α σπρώχνει ένα άλλο Β και το Β σπρώχνει το Α και μάλιστα με δύναμη ίδιου φορέα η σπρώχνουσα δύναμη θα έχει φορέα κάθετο και στην επιφάνεια του σώματος το οποίο σπρώχνει. Πρέπει εδώ να επισημανθεί ότι θεωρούμενη «ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ του σώματος » είναι ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ – είτε γεωμετρικά επίπεδη είτε γεωμετρικά σφαιρική ή κυλινδρική ή κάποιου άλλου συγκεκριμένου σχήματος – αναλλοίωτη, ανεξάρτητα από το μέγεθος των επιδράσεων σε αυτήν, γεωμετρική επιφάνεια σε κάθε γεωμετρικό σημείο της οποίας αντιστοιχεί μια γεωμετρική κάθετος. Σε μια τέτοια γεωμετρική κάθετο ανήκει το διάνυσμα που περιγράφει το εμπειρικό «σπρώχνω».
Αν στην επαφή των δύο σωμάτων που αλληλοσπρώχνονται το ένα εμφανίζει επιφάνεια και το άλλο αιχμή η οποία περιγράφεται με γεωμετρική γραμμή ή με γεωμετρικό σημείο η σπρώχνουσα δύναμη είναι κάθετη στην επιφάνεια του σώματος που εμφανίζει επιφάνεια. Σε ανεστραμμένο κώνο τοποθετημένο με την κορυφή κάτω σε οριζόντιο επίπεδο έδαφος ασκείται δύναμη από το έδαφος κάθετη στην επιφάνεια του εδάφους, άρα κατακόρυφη. Στις περιπτώσεις δύο στερεών σωμάτων τα οποία αλληλοσπρώχνονται η δύναμη που περιγράφει τη δράση – το ότι το Α σπρώχνει το Β άλλο- χαρακτηρίζεται σε γλώσσα αγγλική «normal force»συμβολιζόμενη με το Ν, αρχικό του normal – στα ελληνικά κάθετη δύναμη- και στη γαλλική γλωσσική παράδοση «reaction normal», στα ελληνικά κάθετη αντίδραση . Παλαιότερα κυριαρχούσε το γαλλικής καταγωγής κάθετη αντίδραση με όλα τα μαθησιακά μειονεκτήματά του όπως το ερώτημα : «αφού κάθε δύναμη είναι αντίδραση κάποιας γιατί μόνο αυτή να λέγεται αντίδραση ;»
Ο όρος «δύναμη στήριξης», τον οποίο είχαμε προτείνει στο σχολικό βιβλίο, «τότε», προκειμένου να αντικαταστήσει τον «κάθετη αντίδραση», εκτιμώ σήμερα ότι δεν είναι ιδιαίτερα εύστοχος δεδομένου ότι δεν περιγράφει τα κάθε μορφής «αλληλοσπρώχνομαι» μεταξύ στερεών.
Επίσης ο όρος «δύναμη επαφής» δεν είναι δόκιμος για πολλούς λόγους. Δυνάμεις επαφής είναι και οι δυνάμεις που περιγράφουν το «τραβώ», όπως αυτή που ασκεί το τεντωμένο νήμα, δύναμη επαφής είναι και η τριβή και όχι μόνο . Από την άλλη, το φαινόμενο «επαφή» – μπορεί να συνιστά- σε επίπεδο Μακρόκοσμου- προϋπόθεση για να δράσουν όλες αυτές οι δυνάμεις, αλλά δεν συνεπάγεται οπωσδήποτε τη δράση κάποιας δύναμης . Το «ότι βρίσκονται σε επαφή δύο κιβώτια σε οριζόντιο έδαφος» δεν σημαίνει ότι το ένα ασκεί δύναμη στο άλλο.
Κατά τις δύο τελευταίες δεκαετίες στο δικό μας σχολικό σύστημα επικρατεί το αγγλικής καταγωγής κάθετη δύναμη και το αντίστοιχο σύμβολο Ν. Πάντως, τόσο στη γαλλική όσο και στην αγγλική εκδοχή του το όνομα της δύναμης εστιάζει στη Γεωμετρία της δύναμης και συγκεκριμένα στην καθετότητά της .
Τελικά η δύναμη που περιγράφει την εμπειρία του σπρώχνω, είτε ως πιεστική δύναμη που περιγράφει τη δράση του ακίνητου ρευστού, είτε ως ωστική δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων κατά την κρούση είτε ως «κάθετη δύναμη» την οποία ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στη μπίλια περιγράφεται γεωμετρικά με ένα διάνυσμα κάθετο σε κάποια επιφάνεια.
Μια ερώτηση φαινομενικά απλή
Μία ομογενής στεφάνη και μία ομογενής ράβδος κατακόρυφη. Στη στεφάνη ασκείται οριζόντια δύναμη ο φορέας της οποίας διέρχεται από το κέντρο μάζας του συστήματος. Αν οι τριβές θεωρηθούν αμελητέες, το σύστημα θα βρεθεί σε μεταφορική κίνηση με οριζόντια επιτάχυνση.
Το ερώτημα : Ποιες δυνάμεις ασκούνται στη ράβδο ;
Με βάση τους νόμους της κίνησης το κέντρο μάζας του συστήματος έχει επιτάχυνση αν συνεπώς εστιάσουμε στην μεταφορικά κινούμενη ράβδο πρέπει στο πάνω μέρος στο σημείο επαφής με τη στεφάνη να ασκείται, από τη στεφάνη στη ράβδο, δύναμη με μια οπωσδήποτε οριζόντια συνιστώσα. Η συνιστώσα αυτή δεν είναι βέβαια κάθετη στην επιφάνεια της στεφάνης διότι η γεωμετρική κάθετος στο σημείο εκείνο είναι η κάθετος στην εφαπτομένη, μια ευθεία δηλαδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, στην προκειμένη περίπτωση κατακόρυφη.
Δύο βεβαιότητες σε σύγκρουση
Η μία είναι: Η βεβαιότητα ότι ισχύει ο νόμος της κίνησης και η εφαρμογή του στο συγκεκριμένο μοντέλο οδηγεί σε δύναμη οριζόντια «σίγουρα».
Η άλλη δεν είναι ακριβώς βεβαιότητα: Είναι η «σχεδόν βεβαιότητα» ότι η «σπρώχνουσα» δύναμη είναι κάθετη στη στεφάνη, άρα κατακόρυφη προς το κέντρο του κύκλου.
Οι δύο βεβαιότητες συγκρούονται και η σκέψη οδηγείται σε αντίφαση. Τι συμβαίνει άραγε ; Χρειάζεται, ίσως, να «κρεμάσουμε» κάτω από τις βεβαιότητες ερωτηματικά. Αναγνωρίζουμε ότι η πρώτη από τις δύο βεβαιότητες εμφανίζεται ισχυρότερη. Η δεύτερη φαίνεται μάλλον σαν μία παραδοχή. Η γενική παραδοχή, ότι η «σπρώχνουσα» δύναμη είναι κάθετη στην επιφάνεια του σώματος που την ασκεί, φαίνεται να κλονίζεται. Μήπως η καθετότητα δεν ισχύει πάντα; Μήπως, από την άλλη, αποδεχόμενοι την καθετότητα, χρειάζεται να επανεξετάσουμε τη Γεωμετρία και τα σχετικά μοντέλα με τη «ράβδο τη μονοδιάστατη» ή να εστιάσουμε κάπως πιο «εμπειρικά» στο «πώς ακριβώς η στεφάνη σπρώχνει τη μονοδιάστατη ράβδο»;
Οι δύο τελευταίες σκέψεις αποδείχτηκαν αργότερα γόνιμες αλλά . . . η ιδέα δεν ερχόταν στο ραντεβού .
Προσφυγή στην εμπειρία.
Καθώς η ιδέα με είχε στήσει στο ραντεβού σκέφτηκα να προσφύγω στην αγκαλιά της εμπειρίας. Το να φτιάξω μια στεφάνη και να την στήσω σε οριζόντιο έδαφος με κάποια κατακόρυφη ράβδο στο εσωτερικό της φαινόταν δύσκολο. Σκέφτηκα να απλοποιήσω το μοντέλο κατά τρόπον ώστε να εξουδετερώνεται η δράση της βαρύτητας, αλλά να είναι και πραγματοποιήσιμο. Φαντάστηκα λοιπόν το σύστημα σε κίνηση πάνω σε οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβή. Στην αρχή σκέφτηκα να πάρω ένα σύρμα, να το κάνω κυκλικό και να ψάξω για κανένα ραβδάκι. Κατέληξα σε ένα ποτήρι, από εκείνα με τη διάμετρο κάπου στα επτά εκατοστά και σε ένα τσιγάρο, τα περισσότερα έχουν μήκος κάπου στα οκτώ εκατοστά. Θα μπορούσα να το κόψω με ένα ψαλίδι και αυτό έκανα. Το τσιγάρο στο τραπέζι και το ποτήρι σα βεντούζα από πάνω του. Είχα ωστόσο κάνει ένα μικρό σφάλμα . Το είχα κόψει λίγο περισσότερο από όσο έπρεπε και σπρώχνοντας στη βάση του το ποτήρι – ισοδύναμο με το να δέσω ένα σπαγκάκι γύρω από τη βάση- είδα ότι το μικρότερο από τη διάμετρο μολύβι «έμενε λίγο πίσω» και η απλή αυτή παρατήρηση οδήγησε στην ιδέα ότι «το τοίχωμα του ποτηριού έσπρωχνε το τσιγάρο μόνο από τη μία πλευρά».
Έτσι άναψε την πρώτη ιδέα. Δοκίμασα στη συνέχεια και με μολύβι . Έξυσα με προσοχή ένα μικρού μήκους faber castell με διατομή εξάγωνο και προσέγγισα περισσότερο την πρόθεσή μου το μήκος του να είναι ίσο με τη διάμετρο του ποτηριού. Δεν διέθετα βέβαια τραπέζι χωρίς τριβή και το εξαγωνικό μολυβάκι, από τη μια η ξυσμένη μύτη από την άλλη η γομολάστιχα, εκτελούσε κίνηση που μπορούσα με τη σκέψη να την αναλύσω σε μεταφορική και στροφική. Το γεγονός ότι στη μια του άκρη είχε σημείο επαφής μόνο τη μύτη, ενώ στο άλλο την με εμφανείς διαστάσεις γομολάστιχα καθοδήγησε τη σκέψη μου στο να επιστρέψει στην πρώτη ιδέα και να την αναδιατυπώσει με το « η δράση του τοιχώματος στην -με διαστάσεις- γομολάστιχα δεν είναι συμμετρική».
Επιστροφή στη Φυσική.
Η αρχικά ακίνητη ράβδος θα επιταχυνθεί εξ αιτίας δυνάμεων που της ασκεί η στεφάνη και οι οποίες περιγράφουν το ότι μόνο η αριστερή πλευρά της στεφάνης σπρώχνει τη ράβδο. Είναι δυνάμεις που εκδηλώνονται λόγω της καμπυλότητας που εμφανίζει η στεφάνη στην αριστερή πλευρά.
Σκέφτομαι ότι εάν – πάντα σε συνθήκες αμελητέας τριβής- η ράβδος αντί να βρίσκεται στο εσωτερικό της στεφάνης βρισκόταν μέσα στο εσωτερικό ενός πλαισίου,όπως αυτό του σχήματος, η δράση μιας αντίστοιχης εξωτερικής δύναμης F θα επιτάχυνε το πλαίσιο αλλά θα άφηνε τη ράβδο «ασυγκίνητη». Καμία «σπρώχνουσα δύναμη» – από το πλαίσιο στη ράβδο – δεν θα μπορούσε να εκδηλωθεί.
Επιστρέφω στο σχήμα με τη στεφάνη και ειδικά στο απλοποιημένο μοντέλο με το οποίο εξουδετερώνεται η δράση της βαρύτητας. Φαντάζομαι, λοιπόν, το σύστημα σε κίνηση προς τα δεξιά πάνω σε οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβή. Αξιοποιώ την ιδέα της ασυμμετρίας των δράσεων και εμπιστεύομαι το ότι η ράβδος «σπρώχνεται» από τη στεφάνη μόνο από την αριστερή πλευρά.
Αν δηλαδή φανταστώ ότι η ράβδος έχει δύο πλευρές, «σπρώχνουσα» δύναμη θα ασκείται μόνο από τα αριστερά. Δύσκολο όμως να φανταστώ τις δύο πλευρές του «σημειακού» άκρου της μονοδιάστατης ράβδου. Χρειάζεται να επινοήσω ένα μοντέλο για να προχωρήσω.
Η επόμενη ιδέα, ιδέα «γεωμετρική»
Περιοριζόμενος σε δύο διαστάσεις, φαντάζομαι λοιπόν αντί για τη ράβδο ένα ορθογώνιο ομογενές στέλεχος ΑΒΓΔ με τις πλευρές ΑΔ και ΒΓ να ισαπέχουν από το κέντρο της ομογενούς στεφάνης και το κέντρο μάζας του στελέχους να είναι το κέντρο της στεφάνης και κέντρο μάζας του συστήματος.
Σε γλώσσα Γεωμετρίας έχω ένα ορθογώνιο με διαστάσεις δ και ℓ – όπως στο σχήμα – εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τώρα μπορώ να διακρίνω καθαρά την ασυμμετρία δράσης των δυνάμεων ανάμεσα στο «δεξιά» όσο και το αριστερά. Εκτιμώ ότι στο σημείο Β παρόλο που υπάρχει επαφή δεν ασκείται δύναμη, η στεφάνη δεν αλληλοσπρώχνεται με το στέλεχος. Αν λόγου χάρη κάποιος αποσπούσε ένα μικρότατο κομματάκι από τη γωνία Β ώστε να μην υφίσταται επαφή δεν θα άλλαζε τίποτα. Το ίδιο ισχύει και για το σημείο Γ.
Οι δυνάμεις που ασκούνται στο στέλεχος είναι η σπρώχνουσα F1 από τη στεφάνη στο σημείο Α , κάθετη στη στεφάνη. Αποδεχόμενος ότι είναι κάθετη στη στεφάνη βλέπω ότι κατευθύνεται προς το κέντρο της. Το ίδιο και η αντίστοιχη F1’ ασκούμενη από τη στεφάνη στο σημείο Δ. Για λόγους συμμετρίας συμπεραίνω ότι τα μέτρα τους είναι ίσα. Αν φ η γωνία της F1 με τον άξονα x, θα είναι φ και η γωνία της F1’ με τον ίδιο άξονα.
Διακρίνω ότι το εγγεγραμμένο στον κύκλο παραλληλόγραμμο, ανεξάρτητα από το μέγεθός του έχει τη διαγώνιό του ίση με τη διάμετρο 2R του κύκλου. Ισχύει συνεπώς συνφ = δ/2R. (1)
Αν είναι m η μάζα του στελέχους και Μ η μάζα της στεφάνης για την κατά τον άξονα x συνιστώσα της F1 ισχύει
2F1x = ma . Θεωρώντας το σύστημα στέλεχος- στεφάνη ισχύει F = (Μ+ m)a.
Προκύπτει ότι F1x = Fm/2(Μ+ m) (2).
Για τις δύο συνιστώσες της F1 ισχύει F1Y /F1X = εφφ (3)
Επιχειρώ τώρα, μέσα από ένα νοητικό εγχείρημα, να δημιουργήσω μια σειρά από αντικείμενα, όλα σε σχήμα ορθογωνίου εγγεγραμμένου στον κύκλο, όλα με την ίδια μάζα αλλά με τη διάσταση δ ( ας τη θεωρήσουμε «πλάτος» ) όλο και μικρότερη, έτσι δηλαδή ώστε καθένα από αυτά να είναι πιο στενό από το προηγούμενο. Το εγχείρημα είναι βέβαια νοητικό -Gedanken Εxperiment, όπως το έλεγε κάποτε εκείνος στα γερμανικά – δεδομένου ότι για την υλοποίηση θα χρειαζόμουν διαφορετικά κράματα για την κατασκευή κάθε αντικειμένου.
Οι τρεις προηγούμενες σχέσεις ισχύουν για όλα τα αντικείμενα. Παρατηρώ ότι:
Εάν η τιμή του πλάτους δ συνεχώς ελαττώνεται:
α. Η τιμή της F1x θα διατηρείται αναλλοίωτη F1x = Fm/2(Μ+ m).
β. Η γωνία φ συνεχώς αυξάνεται δεδομένου ότι συνφ = δ/2R με δ> 0 και συνφ> 0
γ. Εφόσον η γωνία συνεχώς αυξάνεται και F1Y /F1X = εφφ θα αυξάνεται και ο λόγος F1Y /F1X και δεδομένου ότι F1x είναι σταθερή θα αυξάνεται συνεχώς και η τιμή της F1Y .
Τι σημαίνει αυτό ; Εάν μία ράβδος με μάζα m και πάχος R/40 βρεθεί στο εσωτερικό στεφάνης μάζας Μ και ακτίνας R και στο στεφάνι ασκηθεί δύναμη F – όπως στο σχήμα- στη ράβδο θα ασκούνται «σπρώχνουσες» δυνάμεις στα άκρα Α και Β , σημεία επαφής με τη στεφάνη, της μιας μόνο πλευράς.
Καθεμία από τις δυνάμεις αυτές εμφανίζεται με οριζόντια συνιστώσα ίση με
Fm/2(Μ+ m) και με μια συνιστώσα στον άξονα y 77,4 φορές μεγαλύτερη.
Η ολική «σπρώχνουσα δύναμη» στο σημείο Α, θα είναι ΚΑΘΕΤΗ στην επιφάνεια της στεφάνης , κατευθυνόμενη προς το κέντρο της στεφάνης (που είναι και κέντρο μάζας της ράβδου) και θα σχηματίζει γωνία 89,26ο με την οριζόντια συνιστώσα.
Το ίδιο θα ισχύει και για την αντίστοιχη δύναμη στο Β.
Συμπεράσματα
Καταλήγουμε στο γενικότερο συμπέρασμα ότι καθώς το πάχος της ράβδου τείνει στο μηδέν η τιμή της γωνίας φ τείνει στο μηδέν και η τιμή συνιστώσας F1Y τείνει στο άπειρο .
Και το πρόβλημα δεν είναι ότι στον κόσμο της Πραγματικότητας τέτοιο υλικό αντικείμενο – ράβδος με μηδενικό πάχος- δεν υφίσταται διότι η Φυσική θεμελιώθηκε πάνω σε ένα σωρό μοντέλα μέσα από τα οποία προσεγγίζεται η Πραγματικότητα, χωρίς αυτά να συμπεριλαμβάνονται στη λίστα των πραγματικών αντικειμένων. Ανάμεσά τους οι μονοδιάστατες ράβδοι έχουν ιδιαίτερα αξιοποιηθεί.
Το πρόβλημα είναι ότι το μοντέλο «ράβδος μονοδιάστατη» προσφέρεται για ένα σωρό προβλέψεις αλλά δεν προσφέρεται για να ερευνήσουμε το «τι ακριβώς συμβαίνει» με την ασκούμενη από τη στεφάνη σπρώχνουσα δύναμη.
Καταφέραμε ωστόσο να προσδιορίσουμε τι ακριβώς συμβαίνει αν το πάχος της ράβδου είναι πάρα πολύ μικρό σε σχέση με την ακτίνα της στεφάνης, αρκεί η διάσταση που το καταγράφει να μην είναι μηδενική.
Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να αντιμετωπίσει και το παράδειγμα με τη στεφάνη σε κατακόρυφο επίπεδο που έχει προτείνει ο Ευάγγελος Κορφιάτης, μόνο που θα χρειαστεί να μην αγνοήσει τη δράση της βαρύτητας.
Τελικά ούτε η αποδοχή του μοντέλου «κάθετη δύναμη» ούτε η βεβαιότητα για την ισχύ του νόμου της κίνησης φαίνεται να κλονίστηκαν. Η αντίφαση που είχε προκύψει είχε σχέση με το μοντέλο «ράβδος με μία μόνο διάσταση».
Ίσως να έχω κάνει και κάποιο λάθος σε όλα αυτά. Ειδικά στους υπολογισμούς το συνηθίζω.
Σχετικά με το «Όταν δεν υπάρχουν τριβές, η δύναμη επαφής είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια επαφής;»
η γνώμη μου είναι ότι το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν ανατρέπει το μοντέλο της κάθετης δύναμης.
Ωστόσο, προσωπικά, δεν αποκλείω καθόλου το να εντοπίσουμε κάποια φαινόμενα – κινήσεις – στα οποία το συγκεκριμένο μοντέλο της κάθετης δύναμης να μην λειτουργεί. Ίδωμεν . . .
Και μια άποψη. Τα ερωτήματα είναι εξίσου πολύτιμα με τις απαντήσεις.
Να ναι καλά ο Ευάγγελος Κορφιάτης όχι μόνο γιατί έθεσε το ερώτημα για την ανεπάρκεια του μοντέλου «κάθετη δύναμη» αλλά και διότι πρότεινε ένα εντυπωσιακό για την απλότητά του παράδειγμα που οδηγούσε σε αντίφαση καλώντας τη σκέψη μας να διακρίνει εάν το μοντέλο «κάθετη δύναμη» είναι ή δεν είναι ικανό να λειτουργήσει για την αναίρεσή της.
Το φθινόπωρο του 1927, στις Βρυξέλλες, στο Συνέδριο του Σολβαί, έλαβε χώρα μια από τις μεγαλύτερες – σύμφωνα τουλάχιστον με τον Τζορτζ Γκάμοφ – συγκρούσεις στην ιστορία του πολιτισμικού γίγνεσθαι ανάμεσα σε ανθρώπινες υπάρξεις, στο επίπεδο των επιστημονικών ιδεών. Από τη μια πλευρά ο Άλμπερτ Αινστάιν, από την άλλη ο Νηλς Μπορ και τα «παιδιά» της νεογέννητης Κβαντομηχανικής. Καθημερινά και επί τρεις μέρες ο Αϊνστάιν έβαζε ένα καινούριο ερώτημα, έφτιαχνε «μια άσκηση» που οδηγούσε σε λογικό αδιέξοδο και κάθε βράδυ ο Μπορ – με τη αρωγή κυρίως του Χάιζενμπεργκ – έφερνε την απάντηση, έδινε τη λύση.
Και η διαμόρφωση κάθε φορά του ερωτήματος – η οικοδόμηση της άσκησης – ήταν ένα κομψοτέχνημα τουλάχιστον της ίδιας ποιότητας με εκείνη της λύσης.
Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας
Τα σχόλια…