by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας στις 15 Ιούνιος 2014 και ώρα 14:18
1. Ζεύγος δυνάμεων. Τι συμβαίνει με τη συνισταμένη τους ;
Δύο δυνάμεις αντιπαράλληλες με ίσα μέτρα ασκούνται στο ίδιο σώμα, στη γλώσσα της Φυσικής
ένα «ζεύγος δυνάμεων» . Τι συμβαίνει με τη συνισταμένη τους ;
Λέει ο φυσικός Α : Η συνισταμένη των δύο δυνάμεων θα είναι η μηδενική δύναμη .
Εξ άλλου, στο επίπεδο των δυνάμεων, ΣFX = 0 ΣFY=0
Λέει ο Β : Δεν συμφωνώ. Εκτιμώ ότι στην περίπτωση ζεύγους «συνισταμένη των δύο αυτών δυνάμεων» δεν υφίσταται. Κι αυτό διότι δεν υφίσταται ως έννοια η ΜΙΑ εκείνη δύναμη – ούτε και η μηδενική δύναμη στην οποία αναφέρεσαι – η οποία να προκαλεί το μηχανικό αποτέλεσμα που προκύπτει από τη συνεργασία των δύο αυτών δυνάμεων. Σε ένα ακίνητο. λόγου χάρη, σώμα η μηδενική δύναμη προκαλεί διατήρηση της ακινησίας και στην περίπτωση του ζεύγους αυτό δεν συμβαίνει.
ο Α : Σύμφωνα με τη δική μου άποψη η έννοια «συνισταμένη δύο δυνάμεων» έχει ως σημαινόμενο τη μία εκείνη δύναμη, η οποία καθορίζει τη μεταβολή της ορμής και στην περίπτωση του ζεύγους η ορμή του σώματος διατηρείται, δεν μεταβάλλεται.
Να προσθέσω και ότι για σώμα με σταθερή μάζα – dm/dt = 0 – η συνισταμένη των δύο δυνάμεων, σε συνδυασμό με την αδράνεια του σώματος, καθορίζει την επιτάχυνση του κέντρου μάζας. Θεωρώ δηλαδή ως εξίσωση ορισμού της συνισταμένης FR την FR = macm . Στην περίπτωση της δράσης των δύο δυνάμεων του ζεύγους η επιτάχυνση που προκύπτει για το κέντρο μάζας είναι μηδενική.
ο Β : Η δική μου άποψη είναι διαφορετική: Το κοινό στοιχείο ανάμεσα στις έννοιες «ζεύγος δυνάμεων» και «συνισταμένη μηδέν» είναι ότι και στις δύο περιπτώσεις το κέντρο μάζας του σώματος έχει μηδενική επιτάχυνση .
Η ιδιαιτερότητα όμως της έννοιας «ζεύγος δυνάμεων» και η διάκρισή της από την έννοια «μηδενική δύναμη» σχετίζεται και με το ότι «η δράση ενός ζεύγους για οποιοδήποτε dt συνεπάγεται μεταβίβαση ενέργειας» κάτι που δεν συμβαίνει με το «συνισταμένη μηδέν», συνεπάγεται όμως και μεταβολή στροφορμής κάτι που επίσης δεν συμβαίνει με το «συνισταμένη μηδέν»,Εκτιμώ ότι ένα σύνολο ομοεπιπέδων δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα μπορεί να αναχθεί : α. σε μία και μόνο δύναμη β. σε μηδενική δύναμη γ. σε δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις ίσων μέτρων, στο λεγόμενο ζεύγος.
Η μηδενική δύναμη σχετίζεται με τον νόμο της αδράνειας. Εφόσον η ασκούμενη δύναμη σε κινούμενο σώμα σταθερής μάζας είναι μηδενική η κίνηση θα είναι αδρανειακή. Ευθύγραμμη ομαλή αν πρόκειται για υλικό σημείο, μεταφορική κίνηση με μηδενική επιτάχυνση αν πρόκειται για σώμα σε μεταφορική κίνηση, κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα αν πρόκειται για στρεφόμενο στερεό, είτε και κύλιση με σταθερή ταχύτητα του κέντρου μάζας. Σε κάθε περίπτωση – στα πλαίσια πάντα της κλασικής φυσικής –κίνηση χωρίς μεταβίβαση ενέργειας, κίνηση με σταθερή στροφορμή . Η δράση ενός ζεύγους δυνάμεων σε σώμα με διαστάσεις δεν συνεπάγεται αδρανειακή κίνηση.
ο Α : Έχουμε διαφορετική άποψη για τον ορισμό της έννοιας «συνισταμένη δύο δυνάμεων». Σύμφωνα με τη δική μου άποψη η έννοια «συνισταμένη δύο δυνάμεων» ορίζεται ως “διανυσματικό άθροισμα” των δύο δυνάμεων και, στην περίπτωση ζεύγους δυνάμεων οι αλγεβρικές εξισώσεις ΣFX = 0 ΣFY=0 εξασφαλίζουν το «συνισταμένη μηδέν».
Αυτό έχει σαν συνέπεια τη μηδενική μεταβολή της ορμής. Η μεταβολή της στροφορμής την οποία αναφέρεις περιγράφεται με την έννοια ροπή και η στροφορμή διατηρείται εφόσον η ολική ροπή είναι μηδενική. Για το ζήτημα της ενέργειας δεν έχω να κάτι να πω .
2. «ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ» δυνάμεων που ασκούνται στο ίδιο σώμα . Δηλαδή τι ;
Τι σημαίνει συνισταμένη δύο δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα;
Υπάρχει «μία δύναμη που μπορεί να αντικαταστήσει τις δυνάμεις αυτές και να επιφέρει το ίδιο αποτέλεσμα» διαβάζουμε στο σχολικό βιβλίο της Α΄λυκείου στη σελίδα 77.
Βέβαια το Αναλυτικό Πρόγραμμα της Α΄ λυκείου αναφέρεται μόνο σε ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.
Τι συμβαίνει γενικότερα ;
Ποιο είναι αυτό το αποτέλεσμα το οποίο θα προκαλέσει η ΜΙΑ δύναμη αυτή που «μπορεί να αντικαταστήσει» τις δύο ασκούμενες δυνάμεις ; Θα προκαλέσει :
Την ίδια επιτάχυνση του κέντρου μάζας; Την ίδια μεταβολή ορμής ;
Την ίδια μεταβολή στροφορμής ; Την ίδια μεταβίβαση ενέργειας ;
Στην αγγλοσαξωνική βιβλιογραφία – τουλάχιστον σε συγγραφείς που είναι προσεκτικοί –
υπάρχουν δύο έννοιες διαφορετικές . Το Vector sum και η Resultant force.
H μαθηματική έννοια Vector sum είναι το άθροισμα των αντίστοιχων διανυσμάτων. Από πολλούς συγγραφείς για την περίπτωση ασκουμένων στο ίδιο σώμα δυνάμεων λέγεται και Net force. Είναι η μία εκείνη δύναμη εκείνη η οποία, σε συνδυασμό με την αδράνεια του σώματος, θα καθορίζει την επιτάχυνση του κέντρου μάζας Fnet= macm
Resultant force είναι η δύναμη εκείνη η οποία σε συνδυασμό με την αδράνεια του σώματος θα καθορίσει τη μεταβολή στην συνολική κινητική κατάσταση. Αν το αντικείμενο στο οποίο ασκούνται είναι υλικό σημείο οι δύο έννοιες ταυτίζονται .
Τι συμβαίνει γενικότερα ; Μπορούμε συμβολικά να πούμε ότι :
Vector force (Net force) και η σχετιζόμενη με αυτή torque (ροπή ζεύγους) = Resultant force
Στην περίπτωση του ζεύγους, η net force είναι μηδενική, αλλά η resultant force δεν είναι μηδενική . Στην ελληνική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται και για τις δύο ο όρος «συνισταμένη δυνάμεων».
3. Ροπή δύναμης ως προς σημείο και ροπή1.
Μία έννοια ή δύο έννοιες;
Προσωπικές αναμνήσεις . Τότε με τον θείο τον Νώντα στην παιδική χαρά, εκείνος οκτώ ετών στην τραμπάλα και ο 
θείος στην πλευρά την απέναντι αφού προηγουμένως είχε φροντίσει να μετακινήσει την τραμπάλα έτσι ώστε να μη στηρίζεται στο μέσον και εκείνος ο οκτώ ετών λιγότερο από τριάντα κιλά κέρδιζε τον πελώριο θείο της άλλης πλευράς. Μάλιστα τέντωνε και το σώμα προς τα πίσω για να καταφέρει να τον νικήσει και η τραμπάλα να στραφεί προς το μέρος του. Κάτι παρόμοιο είχε δει και στο σινεάκ με Χοντρό Λιγνό.
Η καταγωγή της έννοιας ροπή δύναμης. Τα βασικά εμπειρικά στοιχεία με τα οποία οικοδομήθηκε η έννοια ροπή δύναμης εμπεριέχονται στο έργο στοχαστών από τους ελληνιστικούς χρόνους, στον χρυσό κανόνα της Μηχανικής και στο έργο του Αρχιμήδη για τη δυνατότητα να αυξάνουμε μια δύναμη με τον μοχλό. Ο λεγόμενος «νόμος του μοχλού» εισάγει και τις έννοια «μοχλοβραχίονας δύναμης» σχετιζόμενη με την εμπειρία του ανθρώπινου βραχίονα και αναφέρεται σε 
ισότητα των δύο γινομένων «δύναμη επί μοχλοβραχίονα». Σε παρόμοια θεώρηση η οποία περιλάμβανε τα βασικά στοιχεία της ροπής στηρίχτηκε και η ακρίβεια του πανάρχαιου ζυγού . Η έννοια δύναμη, βέβαια δεν συμμετέχει με τον νευτωνικό ορισμό της . Το ζήτημα απασχόλησε και τον Λεονάρντο ντα Βίντσι αλλά και τον Γαλιλαίο.
Η παρέμβαση του Βαρινιόν. Μετά τον νευτωνικό ορισμό της έννοιας δύναμη, η έννοια «ροπή δύναμης» – δεν ορίζεται στα Pricipia – εισάγεται σε γλώσσα γαλλική ως moment d’ une force ( ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο ) από τον Πιερ Βαρινιόν -Pierre Varignon- και η ολοκληρωμένη παρουσίαση της έννοιας και του σχετικού θεωρήματος ( των ροπών ) 2 γίνεται στο Mechanique Nouvelle Ou ou Statique , στο οποίο παρουσιάζεται ολόκληρο το έργο του αλλά κυκλοφορεί το 1725, τρία δηλαδή χρόνια μετά τον θάνατό του . Την επόμενη χρονιά ο Daniel Bernoulli αναφέρεται και αυτός στην έννοια , drehmoment σε γλώσσα γερμανική3 .Οι αγγλόφωνοι θα την ονομάσουν Moment of a force.
Σε επόμενη φάση τόσο οι φυσικοί όσο και οι μηχανικοί κυρίως οι αγγλόφωνοι, θα προχωρήσουν στη διάκριση ανάμεσα στις έννοιες Moment of a force ( στα ελληνικά ροπή δύναμης αναφερόμενη σε γεωμετρικό σημείο ) και Torque ( στα ελληνικά ροπή ζεύγους ) . H Torque αναφέρεται μόνο σε ζεύγος δυνάμεων, είναι ίση με το άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε γεωμετρικό σημείο και είναι μια ειδική περίπτωση της ευρύτερης έννοιας Moment, έννοια με «δικές της ιδιότητες» . Ενώ η Moment of a force ροπή μιας δύναμης αναφέρεται σε γεωμετρικό σημείο, η Torque ροπή ζεύγους δεν αναφέρεται σε γεωμετρικό σημείο.
Στην εποχή μας οι περισσότεροι φυσικοί στις Ηνωμένες Πολιτείες τόσο για τη «ροπή δύναμης ως προς σημείο» όσο και για τη «ροπή ζεύγους» χρησιμοποιούν τον όρο Torque. Μάλιστα το αρχικό της λέξης, στην ελληνική του εκδοχή – γράμμα «τ »- θα χρησιμοποιηθεί ως σύμβολο .
Σε πολλές αναρτήσεις στο Διαδίκτυο τα Moment of a force και Torque θεωρούνται συνώνυμα. Ωστόσο οι πιο προσεκτικοί φυσικοί επισημαίνουν ότι το Moment of a force αναφέρεται σε δύναμη και σε γεωμετρικό σημείο ενώ το Torque σε ζεύγος δυνάμεων.
Στα σχολικά βιβλία της εποχής μας, το ζήτημα παρουσιάζει προβλήματα που δεν έχουν λυθεί.
Στο εγκεκριμένο για τα αγγλικά σχολεία Physics έκδοση Oxford η διάκριση ( σελ. 36) είναι εμφανής.
Για τη ροπή δύναμης ως προς σημείο χρησιμοποιείται το Moment of a force ενώ για τη ροπή ζεύγους το Torque. Στο Physics έκδοση Collins η διάκριση των όρων παρουσιάζεται ( σελ. 71 ) με σαφήνεια «The combined moment of a couple is called thetorque»4 .
4. Έργο δύναμης, έργο ροπής δύναμης και έργο ροπής
Κυρία, κυρία . …. το «έργο ροπής μιας δύναμης» και το «έργο δύναμης» δεν είναι το ίδιο πράγμα ; Και αν είναι έτσι γιατί μαθαίνουμε δύο φράσεις διαφορετικές ;
Η δική μας άποψη : Η έννοια «έργο ροπής μιας δύναμης » για την περίπτωση στρεφόμενου στερεού δεν προσφέρει κάτι διαφορετικό από την «έργο δύναμης».
Το λεγόμενο «ολικό έργο- αλγεβρικό άθροισμα των έργων » δυνάμεων ασκουμένων στο ίδιο σώμα είναι για οποιαδήποτε μορφή κίνησης – σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα – ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. Το ολικό αυτό έργο είναι ίσο και με το έργο της συνισταμένης, υπολογίζεται δηλαδή είτε ως αλγεβρικό άθροισμα των έργων είτε ως έργο της συνισταμένης των ασκουμένων στο σώμα δυνάμεων.
Εάν όμως οι ασκούμενες στο σώμα δυνάμεις ανάγονται σε ζεύγος το ολικό έργο- αλγεβρικό άθροισμα των έργων- δεν μπορεί να είναι έργο της συνισταμένης διότι συνισταμένη δεν υφίσταται. Στην περίπτωση δηλαδή αυτή το ολικό έργο δεν είναι ίσο με το έργο κάποιας δύναμης και για την περιγραφή του εισάγεται η έννοια «έργο της Torque» «έργο ροπής» ή «έργο ζεύγους με συγκεκριμένη ροπή.
Τόσο η σχέση dW = τdθ για το στοιχειώδες έργο όπως και η Ρ = τω για τη στιγμιαία ισχύ αναφέρονται σε ροπή ζεύγους και όχι σε ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο.
Παραπομπές
1. Το Α3 των φετινών πανελλαδικών φώτισε ένα εννοιολογικό πρόβλημα. Είναι δεκάδες οι φυσικοί που χρησιμοποίησαν τη σχεδόν εδραιωμένη λογική: «Εφόσον η κίνηση είναι μεταφορική δεν μπορεί να υπάρχει ροπή». Για τη δική μας οπτική πίσω από το πρόβλημα ελλοχεύει η ταύτιση της έννοιας «ροπή δύναμης ως προς σημείο» και της – χωρίς γεωμετρική αναφορά –έννοιας «ροπή». Το ζήτημα σχετίζεται και με την υποβαθμισμένη από το Αναλυτικό Πρόγραμμα διδασκαλία της ιδιαιτερότητας έννοιας «Ζεύγος δυνάμεων» η οποία στο σχολικό βιβλίο παρουσιάζεται έτσι ώστε να μην φωτίζεται καθόλου μα καθόλου η ιδιαιτερότητά της.
Αντίστοιχη διάκριση μπορούμε να επισημάνουμε στην έννοια «στροφορμή (ροπή της ορμής ) ως προς σημείο» και «στροφορμή» χωρίς γεωμετρική αναφορά, χωρίς κάποιο «ως προς». Ένα σύστημα δύο υλικών σημείων με ορμές ίσων μέτρων και αντιπαράλληλες έχει στροφορμή χωρίς αναφορά σε γεωμετρικό σημείο. Είναι μια ροπή του ζεύγους των ορμών. Το ίδιο ισχύει για μία στρεφομενη ομογενή σφαίρα.
2. Τόσο η αναφερόμενη σε δύναμη (και γεωμετρικό σημείο) έννοια ροπή όσο και το θεώρημα των ροπών παρουσιάζονται στο Mechanique Nouvelle ou Statique , του Βαρινιόν, το οποίο κυκλοφορεί το 1725, τρία δηλαδή χρόνια μετά τον θάνατό του .
Το θεώρημα των ροπών. Μια απόδειξη
Θεωρούμε τις ροπές των δυνάμεων F1 και F1 ως προς το σημείο Α καθώς και τη ροπή τολ της συνισταμένης Fολ ως προς το ίδιο αυτό σημείο
Η ως προς Α ροπή τ1 της F1 έχει μέτρο ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού (ΟΑΒ) του τριγώνου ΟΑΒ
Η ως προς Α ροπή τ2 της F2 ως προς Α έχει μέτρο ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού (ΟΑΔ) του τριγώνου ΟΑΔ
Η ως προς Α ροπή τολ της συνισταμένης Fολ έχει μέτρο ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού (ΟΑΓ) του τριγώνου ΟΑΓ.
Αν είναι Ε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΟΒΓΔ
(ΟΑΓΔ) = ½ τ2 + (ΔΑΓ)
(ΟΑΓΔ) = ½ τολ + ½Ε
(ΔΑΓ) = ½ τ1 + ½Ε
Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι τ1 + τ2 = τολ
3. Για να πάρει τη σκυτάλη ο Euler,- Όιλερ- ο οποίος θα εισάγει και την έννοια ροπή της ορμής –
τη λεγόμενη στροφορμή. Ο όρος moment θα επικρατήσει στις περισσότερες ευρωπαϊκές γλώσσες, ως moment , αλλά και με τις παραλλαγές momento ( στη γλώσσα των Ιταλών, των Ισπανών και των Πορτογάλων ), drehmoment στα γερμανικά, στη γλώσσα των Ρουμάνων momentul, στα αλβανικά και στα τούρκικα momenti, στα φινλανδική voimamomentti ( ροπή δύναμης) στη γλώσσα των Λιθουανών momentas jėga ( ροπή δύναμης) .
4. Ωστόσο στο ανταγωνιστικό Physics έκδοση Cambridge ( σελ. 152 ) οι δύο όροι θεωρούνται συνώνυμα.
