Καλησπερα σε ολους. Ευχαριστω που ασχοληθηκατε.Η ασκηση ειναι οντως πολυ ωραια.
Προτεινω 3 λυσεις. 1.Λυση Κώστα Ψυλάκου αυτούσια!
Πολυ δυσκολη διοτι η παραγοντοποιηση δεν ειναι κατι που ειναι απλο να γινει.Xρειαζεται ενα Ansatz αναδιαταξης και ομαδοποιησης όρων για το οποιο δεν υπαρχει μεθοδος.Ο Σπυρος και εγω,δεν καταφεραμε να παραγοντοποιησουμε το πολυωνυμο 4ου βαθμου.
x^4-10x^2+x+20 2.Λυση Σπύρου Τερλεμέ τροποποιημενη.Αρχικα Βρισκουμε οτι το τριωνυμο x^2 +x –5 ειναι παραγοντας του τεταρτοβαθμιου πολυωνυμου x^4-10x^2+x+20 και ταυτοχρονα βρισκουμε και την θετικη ριζα.Αυτο το κανουμε με την μεθοδο του Σπυρου κατασκευαζοντας την παρασταση x=sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-…))) με απειρα ριζικα και στην συνεχεια υψωνοντας στο τετραγωνο.Στην συνεχεια η παραγοντοποιηση ειναι τετριμμενη υποθεση αφου ο ενας παραγοντας ειναι ηδη γνωστος.Αρα ο αλλος παραγοντας θα ειναι ο x^2-x-4.ο οποιος βρισκεται ευκολα αν θεσουμε α,β,γ
τους συντελεστες του αγνωστου τριωνυμου και τους υπολογισουμε,η κανουμε μια διαιρεση πολυωνυμων.Δεν βλεπω πως ο παραγοντας x^2-x-4 μπορει να προκυψει επαναλαμβανοντας την μεθοδο με την οποια προεκυψε ο x^2 +x –5 3. Λυση με ολιγον απο Θρασύβουλο Πολίτη. Στην αρχικη εξισωση,αντικαθιστω τον αριθμο 5 με μια παραμετρο την οποια ονομαζω α.Τοτε αν υψωσουμε την αρχικη εξισωση στο τετραγωνο το πολυωνυμο που προκυπτει ειναι το x^4-2αx^2+x+α^2-α
Αν τωρα αντιστρεψουμε το ρολο των α και x δηλ. θεωρησουμε οτι το α ειναι η μεταβλητη και το x η παραμετρος,τοτε ως προς α ειναι πολυωνυμο δευτερου βαθμου,οποτε το παραγοντοποιουμε πολυ ευκολα βρισκοντας τις δυο ριζες του α1,α2,συναρτησει του x, με διακρινουσα.Στην συνεχεια θετουμε α=5 και εχουμε την παραγοντοποιηση που επιθυμουμε..Ειναι προφανες οτι πρεπει να δεχτουμε τις ριζες που ανηκουν στο διαστημα [-sqrt(5) ,sqrt(5)]. Η ασκηση αυτη βασικα ειναι η παραγοντοποιηση του πολυωνυμου 4ου βαθμου,x^4-10x^2+x+20. Τα μαθηματικα που περιεχει ειναι καταπληκτικα.
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Καλημέρα Βασίλειε,καλημέρα σε ολους. Κωστα ηθελα να κανω μια παρατηρηση στην λυση σου.Κατ αρχην δεν ειναι απλως καποιες σκεψεις, αυτο που γραφεις ειναι μια πληρης σωστη λυση.Η ανισωση 2 ειναι ενας περιορισμος για το x και ειναι σωστος και ας μην ειναι πληρης.Δηλαδη το οτι το x πρεπει να ικανοποιει την 2 ειναι αληθης προταση.Δεν χρησιμοποιεις ομως την 2 στην συνεχεια.Παιρνεις μια μια τις λυσεις που βρηκες και βλεπεις αν ικανοποιουν την αρχικη εξισωση.Αρα η ανισωση 2 ειναι αχρηστη στην λυση της ασκησης οπως την λυνεις εσυ.Ετσι για να ειναι σωστη η λυση σου δεν χρειαζεται καμια αλλαγη.Αν ομως χρησιμοποιουσες την 2 για να δεις ποιες απο τις 4 λυσεις της τεταρτοβαθμιας ειναι δεκτες,τοτε θα προεκυπταν ολες δεκτες και αυτο θα ηταν λαθος. Αυτο γιατι οπως γραψατε ολοι υπαρχει ισχυροτερος περιορισμος απο την 2 και ειναι ο -sqrt(5) < x < sqrt(5). Αν τον ειχες γραψει δεν θα χρειαζοτανε να δοκιμαζεις μια μια τις 4 λυσεις αλλα απλως να δεις ποιες ικανοποιουν αυτον τον περιορισμο.
Εχεις δικιο ως προς τον χειρισμο της ανάδειξης των αποδεκτων λύσεων .
Οπως φαινεται στην λυση μου αφου βρηκα ποιες λυσεις ικανοποιουν την δοθεισα εξισωση για να τις κανω αποδεκτες εκανα χρηση και της σχεσης (2) .
Όμως , όπως πολυ καλα λες, ο περιορισμος που πρεπει να ληφθει υποψιν ειναι αυτός που προσθεσα στην συνεχεια x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] . Όντως αν ληφθει αυτος υποψιν δεν χρειαζεται η διερεύνηση που εκανα.
Απλα να πω οτι εχει και αυτη ενδιαφερον μιας και εχει αλγεβρικους χειρισμους που έχουν και αυτοι κάτι ιδιαιτερο σε καποια σημεια , αν δεν θελησεις να κανεις χρηση της αριθμομηχανης φυσικα 🙂
Καλημερα Κωστα.Η διερευνηση που εκανες με απευθειας ελεγχο πανω στην αρχικη εξισωση ειναι πιο ισχυρη απο την χρηση των περιορισμων.Δεν χρειαζοτανε να αναφερθεις καθολου στην σχεση (2).Αυτο ηταν περιττο.Αφου οι τιμες που ικανοποιουν την αρχικη εξισωση ειναι εξ ορισμου δεκτες λυσεις και αρα θα ικανοποιουν σιγουρα και την (2) αλλα και την x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ]. Ακομα και αν δεν ειχες γραψει καθολου την (2) παλι η λυση σου θα ηταν σωστη. Συμφωνω οτι η διατυπωση σου εχει ενδιαφερον .Απλως για λογους κομψοτητας και μονο δεν επρεπε να αναφερθεις καθολου σε περιορισμους αφου επελεξες να ελεγξεις μια μια τις λυσεις σου αντικαθιστωντας στην αρχικη εξισωση. 🙂
Καλησπέρα συνάδελφοι.
“Κόλλησα” κι εγώ χθες με την αλγεβρική εξίσωση και προσπάθησα να βρω στη λύση του Σπύρου πώς μπορεί να βγει εύκολα η δευτεροβάθμια x^2=4+x στην περίπτωση όπου x=-sqrt(5-sqrt(5+sqrt(5-sqrt(5+…)))) (άπειρες φορές). Μετά από αρκετή προσπάθεια δεν κατέληξα κάπου. Βρήκα στο youtube [https://www.youtube.com/watch?v=BO1T7ebJlO8] έναν τύπο που ακολουθεί αυτή τη λύση, αλλά για να βγάλει αποτέλεσμα στην παραπάνω περίπτωση παίρνει “έτοιμη” μία σχέση και προχωράει.
Μπορεί ο Σπύρος να γράψει πώς κατάφερε να βγάλει εύκολα τη δευτεροβάθμια x^2=4+x; Ανέφερε ότι: “Ειναι το ίδιο βήμα με την θετική περίπτωση γιαυτο δεν το έγραψα.” Ρωτάω δηλαδή αυτό που τον ρώτησε και ο Κωνσταντίνος.
Κώστα (Ψυλάκο), οι παρουσιάσεις σου, πέρα από την επιστημονική τους αξία, είναι και έργα τέχνης!!
Βρίσκοντας την x^2=5-x, έκανα την παραγοντοποιηση του πολυώνυμου. Δεν δοκίμασα να κάνω το «τρικ» και για το αρνητικό μέρος – θεώρησα ότι θα ισχύει.
Δοκιμάζοντας τώρα πράγματι δεν νομίζω ότι μπορεί να γίνει με την μέθοδο των άπειρων όρων.
Μπορεί βεβαίως να γίνει απευθείας με παραγοντοποιήση αφού έχουμε το πολυώνυμο και τον ένα όρο του γινόμενου. Οπότε ο δεύτερος (x^2=4+x) βγαίνει εύκολα.
by 
Καλησπερα σε ολους. Ευχαριστω που ασχοληθηκατε.Η ασκηση ειναι οντως πολυ ωραια.
Προτεινω 3 λυσεις.
1.Λυση Κώστα Ψυλάκου αυτούσια!
Πολυ δυσκολη διοτι η παραγοντοποιηση δεν ειναι κατι που ειναι απλο να γινει.Xρειαζεται ενα Ansatz αναδιαταξης και ομαδοποιησης όρων για το οποιο δεν υπαρχει μεθοδος.Ο Σπυρος και εγω,δεν καταφεραμε να παραγοντοποιησουμε το πολυωνυμο 4ου βαθμου.
x^4-10x^2+x+20
2.Λυση Σπύρου Τερλεμέ τροποποιημενη.Αρχικα Βρισκουμε οτι το τριωνυμο x^2 +x –5 ειναι παραγοντας του τεταρτοβαθμιου πολυωνυμου x^4-10x^2+x+20 και ταυτοχρονα βρισκουμε και την θετικη ριζα.Αυτο το κανουμε με την μεθοδο του Σπυρου κατασκευαζοντας την παρασταση x=sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-…))) με απειρα ριζικα και στην συνεχεια υψωνοντας στο τετραγωνο.Στην συνεχεια η παραγοντοποιηση ειναι τετριμμενη υποθεση αφου ο ενας παραγοντας ειναι ηδη γνωστος.Αρα ο αλλος παραγοντας θα ειναι ο x^2-x-4.ο οποιος βρισκεται ευκολα αν θεσουμε α,β,γ
τους συντελεστες του αγνωστου τριωνυμου και τους υπολογισουμε,η κανουμε μια διαιρεση πολυωνυμων.Δεν βλεπω πως ο παραγοντας x^2-x-4 μπορει να προκυψει επαναλαμβανοντας την μεθοδο με την οποια προεκυψε ο x^2 +x –5
3. Λυση με ολιγον απο Θρασύβουλο Πολίτη. Στην αρχικη εξισωση,αντικαθιστω τον αριθμο 5 με μια παραμετρο την οποια ονομαζω α.Τοτε αν υψωσουμε την αρχικη εξισωση στο τετραγωνο το πολυωνυμο που προκυπτει ειναι το x^4-2αx^2+x+α^2-α
Αν τωρα αντιστρεψουμε το ρολο των α και x δηλ. θεωρησουμε οτι το α ειναι η μεταβλητη και το x η παραμετρος,τοτε ως προς α ειναι πολυωνυμο δευτερου βαθμου,οποτε το παραγοντοποιουμε πολυ ευκολα βρισκοντας τις δυο ριζες του α1,α2,συναρτησει του x, με διακρινουσα.Στην συνεχεια θετουμε α=5 και εχουμε την παραγοντοποιηση που επιθυμουμε..Ειναι προφανες οτι πρεπει να δεχτουμε τις ριζες που ανηκουν στο διαστημα [-sqrt(5) ,sqrt(5)]. Η ασκηση αυτη βασικα ειναι η παραγοντοποιηση του πολυωνυμου 4ου βαθμου,x^4-10x^2+x+20. Τα μαθηματικα που περιεχει ειναι καταπληκτικα.
Ωραία άσκηση και ωραίες λύσεις.
Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.
Καλημέρα Βασίλειε,καλημέρα σε ολους. Κωστα ηθελα να κανω μια παρατηρηση στην λυση σου.Κατ αρχην δεν ειναι απλως καποιες σκεψεις, αυτο που γραφεις ειναι μια πληρης σωστη λυση.Η ανισωση 2 ειναι ενας περιορισμος για το x και ειναι σωστος και ας μην ειναι πληρης.Δηλαδη το οτι το x πρεπει να ικανοποιει την 2 ειναι αληθης προταση.Δεν χρησιμοποιεις ομως την 2 στην συνεχεια.Παιρνεις μια μια τις λυσεις που βρηκες και βλεπεις αν ικανοποιουν την αρχικη εξισωση.Αρα η ανισωση 2 ειναι αχρηστη στην λυση της ασκησης οπως την λυνεις εσυ.Ετσι για να ειναι σωστη η λυση σου δεν χρειαζεται καμια αλλαγη.Αν ομως χρησιμοποιουσες την 2 για να δεις ποιες απο τις 4 λυσεις της τεταρτοβαθμιας ειναι δεκτες,τοτε θα προεκυπταν ολες δεκτες και αυτο θα ηταν λαθος. Αυτο γιατι οπως γραψατε ολοι υπαρχει ισχυροτερος περιορισμος απο την 2 και ειναι ο -sqrt(5) < x < sqrt(5). Αν τον ειχες γραψει δεν θα χρειαζοτανε να δοκιμαζεις μια μια τις 4 λυσεις αλλα απλως να δεις ποιες ικανοποιουν αυτον τον περιορισμο.
Καλημερα !
Εχεις δικιο ως προς τον χειρισμο της ανάδειξης των αποδεκτων λύσεων .
Οπως φαινεται στην λυση μου αφου βρηκα ποιες λυσεις ικανοποιουν την δοθεισα εξισωση για να τις κανω αποδεκτες εκανα χρηση και της σχεσης (2) .
Όμως , όπως πολυ καλα λες, ο περιορισμος που πρεπει να ληφθει υποψιν ειναι αυτός που προσθεσα στην συνεχεια x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] .
Όντως αν ληφθει αυτος υποψιν δεν χρειαζεται η διερεύνηση που εκανα.
Απλα να πω οτι εχει και αυτη ενδιαφερον μιας και εχει αλγεβρικους χειρισμους που έχουν και αυτοι κάτι ιδιαιτερο σε καποια σημεια , αν δεν θελησεις να κανεις χρηση της αριθμομηχανης φυσικα 🙂
Καλημερα Κωστα.Η διερευνηση που εκανες με απευθειας ελεγχο πανω στην αρχικη εξισωση ειναι πιο ισχυρη απο την χρηση των περιορισμων.Δεν χρειαζοτανε να αναφερθεις καθολου στην σχεση (2).Αυτο ηταν περιττο.Αφου οι τιμες που ικανοποιουν την αρχικη εξισωση ειναι εξ ορισμου δεκτες λυσεις και αρα θα ικανοποιουν σιγουρα και την (2) αλλα και την
x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ]. Ακομα και αν δεν ειχες γραψει καθολου την (2) παλι η λυση σου θα ηταν σωστη. Συμφωνω οτι η διατυπωση σου εχει ενδιαφερον .Απλως για λογους κομψοτητας και μονο δεν επρεπε να αναφερθεις καθολου σε περιορισμους αφου επελεξες να ελεγξεις μια μια τις λυσεις σου αντικαθιστωντας στην αρχικη εξισωση. 🙂
Καλησπέρα συνάδελφοι.
“Κόλλησα” κι εγώ χθες με την αλγεβρική εξίσωση και προσπάθησα να βρω στη λύση του Σπύρου πώς μπορεί να βγει εύκολα η δευτεροβάθμια x^2=4+x στην περίπτωση όπου x=-sqrt(5-sqrt(5+sqrt(5-sqrt(5+…)))) (άπειρες φορές). Μετά από αρκετή προσπάθεια δεν κατέληξα κάπου.
Βρήκα στο youtube [https://www.youtube.com/watch?v=BO1T7ebJlO8] έναν τύπο που ακολουθεί αυτή τη λύση, αλλά για να βγάλει αποτέλεσμα στην παραπάνω περίπτωση παίρνει “έτοιμη” μία σχέση και προχωράει.
Μπορεί ο Σπύρος να γράψει πώς κατάφερε να βγάλει εύκολα τη δευτεροβάθμια x^2=4+x; Ανέφερε ότι: “Ειναι το ίδιο βήμα με την θετική περίπτωση γιαυτο δεν το έγραψα.” Ρωτάω δηλαδή αυτό που τον ρώτησε και ο Κωνσταντίνος.
Κώστα (Ψυλάκο), οι παρουσιάσεις σου, πέρα από την επιστημονική τους αξία, είναι και έργα τέχνης!!
Καλησπέρα σας,
Βρίσκοντας την x^2=5-x, έκανα την παραγοντοποιηση του πολυώνυμου. Δεν δοκίμασα να κάνω το «τρικ» και για το αρνητικό μέρος – θεώρησα ότι θα ισχύει.
Δοκιμάζοντας τώρα πράγματι δεν νομίζω ότι μπορεί να γίνει με την μέθοδο των άπειρων όρων.
Μπορεί βεβαίως να γίνει απευθείας με παραγοντοποιήση αφού έχουμε το πολυώνυμο και τον ένα όρο του γινόμενου. Οπότε ο δεύτερος (x^2=4+x) βγαίνει εύκολα.
Όλα κατανοητά Σπύρο. Ευχαριστώ. Να είσαι καλά.