by 
Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Γκενές Δημήτρης στις 17 Απρίλιος 2012 στις 23:08 στην ομάδα Φυσική Α΄ΛυκείουΔεν είναι η πρώτη φορά… (και δυστυχώς oύτε η τελευταία) που μπερδεύομαι σε κάτι απλό. Δείτε λίγο το συνημμένο word doc 2000 και μετά το excel…. κι αν κάποιος έχει λίγο χρόνο ας με βοηθήσει να βρω μια άκρη.
Συνημμένα:
-
Ερώτημα.doc, 52 KB
γωνια δυναμης.xls, 126 KB
Απαντήσεις σε αυτή τη συζήτηση
Απάντηση από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 18 Απρίλιος 2012 στις 3:10
Καλησπέρα σε όλους και χρόνια πολλά.
Δημήτρη, αν θεωρήσουμε την απλή περίπτωση ότι η γωνία θ του κεκλιμένου επιπέδου είναι καθορισμένη, τότε η συνάρτηση έχει ελάχιστο εκεί που γίνεται μέγιστος ο παρονομαστής (δηλαδή για tan(φ)=μ).
Αν όμως θεωρήσουμε ως μεταβλητές και τη γωνία θ και τη γωνία φ, τότε η F είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών (και της παραμέτρου μ). Σ’ αυτή την περίπτωση πρέπει να πάρουμε τις δύο μερικές παραγώγους της F (ως προς θ και ως προς φ) και να τις εξισώσουμε (κάθε μια) με το μηδέν. Στη συνέχεια πρέπει να λύσουμε το σύστημα που προκύπτει. Βρίσκουμε έτσι τα “κρίσιμα” σημεία της συνάρτησης. Για να αποφασίσουμε αν πρόκειται για minima ή maxima, (για κάθε κρίσιμο σημείο) θα χρειασθούμε την τιμή της παράστασης : D=Fθθ(θ,φ).Fφφ(θ,φ)-[Fθφ(θ,φ)]^2, όπου Fθθ(θ,φ) η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς θ, Fφφ(θ,φ) η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς φ, Fθφ(θ,φ) ημερική παράγωγος ως προς θ και ως προς φ. Αν τώρα είναι D>0 και Fθθ(θ,φ)>0 στο συγκεκριμμένο κρίσιμο σημείο, τότε αυτό είναι (τοπικό) minimum.
Μια λύση για “κρίσιμο” είναι: {tan(θ)=1/μ , tan[φ]=μ}. Αυτό μπορούσαμε να το δούμε και απλά, αφού ο αριθμητής του κλάσματος είναι συνάρηση μόνο του θ και ο παρονομαστής μόνο του φ, οπότε αρκεί να “ελαχιστοποιήσουμε” τον αριθμητή και μετά να “μεγιστοποιήσουμε” τον παρονομαστή. Η τιμή όμως tan(θ)=1/μ , τελικά μεγιστοποιεί τον αριθμητή, ο οποίος ελαχιστοποιείται για θ=0. Έτσι δεν πρόκειται για ακρότατο αφού οι γειτονικές τιμές θ μειώνουν τη συνάρτηση και γειτονικές τιμές του φ την αυξάνουν (πρόκειται για saddle point).
Δημήτρη και Γιάννη καλησπέρα.
Μια απόπειρα διαφορετικής προσέγγισης θα βρείτε στο παρακάτω doc.
(Ελπίζω να μην τα έκανα θάλασσα στις πράξεις γιατί τις έκανα κάπως βιαστικά).
Συνημμένα:
Minimum_F.doc, 37 KB
Παρέλειψα να γράψω και περιορισμό για τη Ν στην περίπτωση του ελάχιστου:
Ν≥0 → συν(ω+φ)≥0 → ω+φ≤90º
Στην οριακή περίπτωση που ω+φ=90º, τότε η ελάχιστη F που πρέπει να ασκούμε είναι κατακόρυφη και ίση κατά μέτρο με το βάρος του σώματος, οπότε το σώμα οριακά χάνει την επαφή του με το δάπεδο.
Δημήτρη καλημέρα και πάλι.
Έχεις καταλήξει για το μέτρο της F στην παράσταση:
F = mg·(μ·συνθ+ημθ)/(συνφ+μ·ημφ)
Αν θέσουμε εφω = μ, τότε το κλάσμα με τα συνημίτονα μετασχηματίζεται σε:
(μ·συνθ+ημθ)/(συνφ+μ·ημφ) = (εφω·συνθ+ημθ)/(συνφ+εφω·ημφ) =
(ημω·συνθ+συνω·ημθ)/(συνω·συνφ+ημω·ημφ) = ημ(ω+θ)/συν(ω–φ).
Οπότε η F γίνεται:
F = mg·ημ(ω+θ)/συν(ω–φ)
Αν τώρα θέλεις να γίνει η F ελάχιστη, τότε πρέπει να μεγιστοποιηθεί ο παρανομαστής.
Δηλαδή συν(ω–φ) = 1 που συμβαίνει όταν φ = ω
και τότε Fmin = mg·ημ(ω+θ)
Οι τιμές αυτές είναι ίδιες με αυτές που υπολόγισα κι εγώ.
(στο δικό μου έβαλα κατά λάθος ανάποδα τις γωνίες θ και φ. Χρησιμοποίησα δηλαδή το φ για τη γωνία κλίσης του επιπέδου).
Παρατήρησε επίσης ότι υπάρχει ο περιορισμός ω+θ≤90º. Για την οριακή τιμή ω+θ=90º η Fminγίνεται αντίθετη από το βάρος του σώματος και μηδενίζεται η δύναμη επαφής με το δάπεδο.
με τη βοήθεια της σχέσης y=… που γράφει ο Δημήτρης
βρίσκω από τις πρώτες παραγώγους ότι ο αριθμητής έχει ακρότατο όταν εφθ=1/μ
και ο παρονομαστής όταν εφφ=μ,
αλλά οι δεύτερες παράγωγοι προκύπτουν και οι δύο αρνητικές
άρα θα πρέπει να μελετηθεί το κλάσμα ενιαία
Βαγγέλη καλημέρα 🙂
Γράφαμε ταυτόχρονα.
Καλημέρα σε όλους.
Βαγγέλη και ο αριθμητής και ο παρονομαστής παρουσιάζουν μέγιστο. Ο αριθμητής για εφ(θ)=1/μ και ο παρονομαστής για εφ(φ)=μ. (Βέβαια για δεδομένο αριθμητή το μέγιστο του παρονομαστή οδηγεί σε ελάχιστο κλάσμα). Το σημείο λοιπόν (θ=τοξεφ(1/μ),φ=τοξεφ(μ)) είναι κρίσιμο σημείο (μηδενίζονται οι δύο πρώτες παράγωγοι). Προκειμένου να αποφασίσουμε αν πρόκειται για ελάχιστο ή μέγιστο παρατηρούμε ότι: στο θ=τοξεφ(1/μ) ο αριθμητής παρουσιάζει μέγιστο. Έτσι (για δεδομένο παρονομαστή, δηλαδή φ) αν “μετατοπισθούμε” λίγο από την τιμή του θ=τοξεφ(1/μ) το κλάσμα μειώνεται. Ο παρονομαστής για φ=τοξεφ(μ) παρουσιάζει μέγιστο επίσης. Όμως τώρα (θεωρώντας σταθερό αριθμητή , δηλαδή σταθερό θ), αν μετατοπισθούμε γύρω από την τιμή φ=τοξεφ(μ), ο παρονομαστής μειώνεται οπότε το κλάσμα αυξάνεται. Έτσι λοιπόν, ξεκινώντας από το συγκεκριμένο σημείο, μετατόπιση ως προς θ σημαίνει μείωση, ενώ μετατόπιση ως προς φ οδηγεί σε αύξηση της συνάρτησης. Άρα στο συγκεκριμμένο σημείο η συνάρτηση παρουσιάζει saddle point (το αντίστοιχο του σημείου καμπής στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής).
Καλημέρα.
Γιάννη, Διονύση και Βαγγέλη ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ.
Το θέμα προέκυψε απο σπόντα προσπαθώντας να βάλω σε τάξη κάποιες παλιές μου σημειώσεις.
Αρχικά μου φανηκε απλό…αφού έφαγα όλη τη χθεσινή μέρα μουντζουρώνοντας παραγώγους σε Α4…κατέφυγα στο graph και στο excel.
α) η γλώσσα όμως της φυσικής είναι τα μαθηματικά…( αυτό το saddle point δεν το είχα ξανακούσει…γειράσκω αεί διδασκόμενος )
β) όμως η φυσική είναι θηλυκό και θέλει υπομονή, μεθοδικότητα και προπάντων όχι την τσαπατσουλιά μου. Η απάντηση εδόθη δια χειρός Μητρόπουλου -και πάλι- ( το excel-ακι επιβεβαιώνει ).
γ) Βαγγέλη και Γιάννη , δεν κατάλαβα πως καταλήξατε σε συμπέρασμα…τα έχω μπροστά μου ( μπερδεμένα βέβαια), αλλά δεν βλέπω να οδηγούμαι κάπου….
Και πάλι ευχαριστώ.
Α μάλιστα τώρα είδα και την τελευταία παρατήρηση του Διονύση. Θα το καθαρογράψω…
Γιάννη καλημέρα.
Σύμφωνα με την εκφώνηση, το ερώτημα είναι “ποιο το μέτρο Fmin και η κατεύθυνση φ της ελάχιστης δύναμης που πρέπει να ασκούμε για να ανεβάσουμε …”
Η γωνία φ είναι δηλαδή ζητούμενο ώστε η F να είναι ελάχιστη για κάθε ζευγάρι δεδομένων (μ, θ). Δεν είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή.
Για οποιοδήποτε ζευγάρι τιμών (μ, θ), αν θέλουμε να είναι η δύναμη F που ασκούμε ελάχιστη, πρέπει να την ασκούμε κάθετα στην αντίδραση R του δαπέδου (τη συνισταμένη των Ν και Τ).
Η R έχει γωνία κλίσης ω=τοξεφ(μ) ως προς την κάθετη στο κεκλιμένο,
οπότε προκύπτει φ=ω=τοξεφ(μ).
Και τελικά η ελάχιστη τιμή της F εξαρτάται από το άθροισμα τοξεφ(μ)+θ αν αυτό είναι μικρότερο από 90º, δηλαδή:
Fmin = mg·ημ[τοξεφ(μ)+θ]
αλλιώς ισχύει Fmin = mg
Καλημέρα σε όλους
Γιάννη
πράγματι οι δεύτερες παράγωγοι δείχνουν ότι και οι δύο όροι του κλάσματος έχουν max,
αλλά το πηλίκο τους τι έχει;
Διονύση
το είδα (και το προηγούμενο), αλλά όταν ο παρονομαστής γίνεται max,
ο αριθμητής ημ(ω+θ) τί γίνεται;
το ερώτημα δεν έχει δύο “μπαλαντέρ”;
και την φ και την θ;
Δημήτρη
δεν κατέληξα σε συμπέρασμα,
αντιθέτως κατέληξα σε μεγαλύτερο μπέρδεμα!
(…και γηράσκω απλώς, χωρίς να διδάσκομαι, αλλά με η το “γη”…)
Καλημέρα Δημήτρη 🙂
Βαγγέλη τώρα είδα το τελευταίο σου σχόλιο (πάλι γράφαμε μαζί :-))
Όπως έγραψα και πιο πάνω, νομίζω ότι η φ είναι “ζητούμενο ώστε για όποια μ και θ να …”. Δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος όπως οι μ και θ.
Τελικά η ελάχιστη F εξαρτάται δηλαδή μόνο από το άθροισμα ω+θ, όχι ξεχωριστά από τα ω και θ.
Καλά να πάθω …Υπήρχε περίπτωση να σου ξεφύγει;
Να ‘μαστε γεροί , να γερνάμε,
κι όχι γέροι να πονάμε…
Διονύση
εγώ κατάλαβα να “παίζει” και η θ και η φ, με δεδομένα μόνο τα μ και m,
(αν η θ είναι δεδομένη το πρόβλημα είναι απλό),
όπως π.χ. στο πρόβλημα:
να βρεθεί ο πιο αδύναμος εργάτης που μπορεί να ανεβάσει σε φορτηγό, με τη βοήθεια μακριάς σανίδας, κιβώτιο μάζας …, που παρουσιάζει κατά την κίνησή του πάνω στη σανίδα τριβή με συντελεστή …
Δημήτρη
μου θύμισες “Ηπειρώτικη προφορά, άνευ διδασκάλου”,
σύμφωνα με την οποία υπάρχουν δύο θεμελιώδεις κανόνες: τα ε και ο που τονίζονται παραμένουν ως έχουν,
ενώ όταν δεν τονίζονται προφέρονται αντίστοιχα η και ου
Εφαρμογή: ο γερός προφέρεται ου γηρός, ο γέρος προφέρεται ου γέρους
Εύκολο είναι…
(Α ναι…
…και μη νομίσεις ότι εκεί ψηλά, στον τίτλο, δεν είδα ότι
υπάρχει ένας αχρείαστος τόνος στο “ε”…)
Διονύση διαβάζοντας το πρόβλημα θεώρησα ότι έχουμε μια δεδομένη σανίδα (αρκετά μεγάλη ως προς το ύψος) και ένα δεδομένο σώμα (άρα ένα δεδομένο συντελεστή τριβής μ). Δηλαδή ότι και ο Βαγγέλης. Έτσι θεώρησα και εγώ ότι “παίζει” η φ και η θ. (Στο πρώτο σχόλιο έγραψα τη λύση για την περίπτωση πουθεωρήσουμε τη γωνία θ γνωστή και σταθερή. Βέβαια βρήκα τη λύση με παράγωγο, οπότε η λύση σου, χωρίς τη χρήση παραγώγων σαφώς και είναι πιο κατάλληλη και για μαθητές). Μια εποπτική εικόνα:
Βαγγέλη και Γιάννη κι εμένα με μπέρδεψε η μεταβλητή γωνία κλίσης της δύναμης F.
Και έχω και έναν … διώχτη με την τριγωνομετρία 🙂
Όταν μάλιστα διάβασα και τα … saddle points του Γιάννη!
Και μία γεωμετρική λύση που αναδεικνύει την ομορφιά της γεωμετρίας:
Η αντίδραση R του δαπέδου (συνισταμένη των Ν και Τ) έχει σταθερή γωνία κλίσης ω που καθορίζεται από τον συντελεστή τριβής (εφω=μ).
Η ζητούμενη δύναμη F είναι πάντα αντίθετη της συνισταμένης Σ των R και mg.
Όταν αλλάζουμε την διεύθυνση θ της F, μεταβάλλεται και η τιμή της R χωρίς όμως να αλλάζει η διεύθυνσή της.
Έτσι η Σ καταλήγει πάντα στην ευθεία (α) που περνάει από το τέλος του mg και είναι παράλληλη με την R. Όμοια και η F καταλήγει στην παράλληλη ευθεία (α΄).
Προφανώς το μέτρο της Σ γίνεται ελάχιστο όταν είναι κάθετη στην ευθεία (α), δηλαδή κάθετη στην R.
Αν λοιπόν θέλουμε να ασκούμε δύναμη F ελάχιστου μέτρου, θα πρέπει να την ασκούμε κάθετα στην R, δηλαδή υπό γωνία ω ως προς το κεκλιμένο.
Καλησπέρα Διονύση.
saddle είναι η σέλα ή το σαμάρι. Έτσι ένα saddle point είναι το σημείο που ενώ μηδενίζονται οι πρώτες μερικοί παράγωγοι (μηδενίζεται το grad), δεν είναι ακρότατο, και έτσι στην περιοχή του η συνάρτηση μοιάζει με σαμάρι.
(Είναι, ας πούμε, το αντίστοιχο του σημείου καμπής της συνάρτησης με μια μεταβλητή).
Στο λεξικό το βρήκα να μεταφράζεται σαν “σαγματικό” σημείο (σάγμα = σαμάρι) και νομίζω, χωρίς να είμαι απόλυτα βέβαιος, ότι αυτός ο όρος έχει επικρατήσει στην Ελληνική βιβλιογραφία.
(Μια και το΄φερε η κουβέντα, δες στη σελίδα 9 μιας παρουσίασης κάτι σχετικό).
Διονύση η γεωμετρική λύση είναι εκπληκτικής ομορφιάς. Θυμίζει αποδείξεις άλλων εποχών…
Γιάννη τα κρίσιμα σημεία είναι στη σελ 8 της πολύ όμορφης εργασίας σου. Θυμάμαι όταν μας την είχες πρωτοπαρουσιάσει σκεφτόμουν συνεχώς -καθώς την διέτρεχα – “μήπως είναι λίγο αργά για μένα;” Και όντως ούτε που θυμόμουν το “σαγματικό σημείο”.
Μήτσο γεια σου.
Μπερδεύτηκες αρκετά με τη λύση, αλλά τα πράγματα είναι απλά. Η γεωμετρική λύση του Διονύση είναι ωραία. Αλλα υπάρχει και απλή αλγεβρική λύση. Το κλάσμα y του word γίνεται ελάχιστο, όταν ο παρονομαστής γίνει μέγιστος. Έτσι προκύπτει εφφ=μ
Δάσκαλε !!!
Χρήστο χαίρομαι που σε …διαβάζω εδώ. Δεν φαντάζεσαι πόσο χαίρομαι .
Όσο για το κλάσμα …ναι το είδα μετά την συζήτηση , αφού με ξεμπέρδεψαν οι συνάδελφοι…αλλά μπερδεμένος πάντα στην αρχή τουλάχιστον , δεν ήμουν;
Να είσαι καλά .