by 
Διπλή ομογενής τροχαλία μάζας Μ και ακτίνας R = 0,2 m έχει τυλιγμένο πολλές φορές νήμα 1 σε αύλακα κυκλικού σχήματος και ακτίνας r = R/2 και ίδιου κέντρου με το κέντρο της τροχαλίας. Το άλλο άκρο του νήματος είναι στερεωμένο σε σημείο τις οροφής. Στο σημείο Α της περιφέρειας της τροχαλίας που ανήκει στην οριζόντια διάμετρο της όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα είναι δεμένο κατακόρυφο νήμα 2 που το πάνω άκρο του είναι δεμένο σε σώμα Σ μάζας m = 1 kg. Ιδανικό κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m έχει το πάνω του άκρο στερεωμένο σε σημείο της οροφής και στο κάτω άκρο του είναι δεμένο το σώμα Σ. Όλα τα σώματα του συστήματος ανήκουν στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Θεωρήστε τα νήματα αβαρή και μη εκτατά και g = 10 m/s². Αρχικά το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί ακίνητο και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι Uελ = 2 j.
1) Να υπολογίσετε την μάζα Μ της τροχαλίας.
Την χρονική στιγμή t₀ = 0 κόβουμε το νήμα 2 και θεωρούμε ότι η τροχαλία μετατοπίζεται κατακόρυφα χωρίς το νήμα 1 να ολισθαίνει ως προς αυτήν.
2) Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της.
3) Να υπολογίσετε την συνάρτηση της δύναμης του ελατηρίου σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος Σ από την θέση ισορροπίας του θεωρώντας θετική φορά την προς τα πάνω.
4) Να υπολογίσετε το μήκος του νήματος που θα έχει ξετυλιχθεί από την χρονική στιγμή t₀ μέχρι την χρονική στιγμή t₁ που το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Α της τροχαλίας (|υΑ|) θα ικανοποιεί για δεύτερη φορά μετά την t₀ την σχέση |υΑ(t)| = |υcm(t)|√5 , όπου |υcm| το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της τροχαλίας.
