by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 23 Ιούλιος 2013 και ώρα 12:57
Ένας ομογενής δακτύλιος ακτίνας α και γραμμικής πυκνότητας μ φέρει μια εγκάρσια εγκοπή σε ένα σημείο του Γ. Ο δακτύλιος αναρτάται με την βοήθεια νήματος από το σημείο Α αντιδιαμετρικό του Γ.
Να υπολογίσετε την κατανομή δυνάμεων και ροπών κατά μήκος του δακτυλίου.
Σε ποια σημεία κινδυνεύει να κοπεί και σε ποια σημεία κινδυνεύει να σπάσει;
Συνέχεια στο blogspot
Απάντηση σε 
ή σε 
Τα σχόλια
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 23 Ιούλιος 2013 στις 13:21
Βαγγέλη, τι να πω; Μόνο συγχαρητήρια;
Νομίζω ότι μας έδωσες μια πολύ ψηλού επιπέδου μελέτη, πιάνοντας ένα σωρό θέματα, τα οποία ακροθιγώς μας είχαν απασχολήσει και τα οποία ψάχναμε μάλλον στα τυφλά…
Προφανώς το κείμενο χρειάζεται σοβαρή μελέτη, την οποία οφείλω να κάνω σύντομα.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 23 Ιούλιος 2013 στις 14:03
Καλημέρα Διονύση.
Για όλα φταίει το ylikonet.
Η αρχή ήταν ο καταιγισμός πυρός στην ανάρτηση Που ασκείται η δύναμη στήριξης;
Εκεί ξεκαθαρίστηκαν οι έννοιες εσωτερικές δυνάμεις και εσωτερικές ροπές.
Μπορεί να μην έχουμε απαντήσει ακόμη στο ερώτημα της ανάρτησης αλλά ήταν η αφορμή για “να μπούμε μέσα στο στερεό”.
Ο τρόπος εξαγωγής των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας δεν είναι προφανώς δικός μου.
Τον δανείστηκα από μια έκδοση του Πολυτεχνείου του 1986
Συγγραφεις: ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥΝΑΚΟΣ, ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ , ΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ.
Από εκεί και πέρα το χάος.
Έπρεπε μέσω συγκεκριμένων παραδειγμάτων που μπορούσα να ελέγξω και με άλλο τρόπο να καταλάβω τι γίνεται. Στην πορεία αυτή αναγκάστηκα να γράψω ( πληκτρολογήσω) τις σκέψεις μου για να αποφύγω λάθη. Αποτέλεσμα της πορείας ήταν αυτό το πόνημα.
Ελπίζω να είναι χρήσιμο. Αν δεν έχω κάνει επιστημονικά λάθη ( που είναι ο Δ. Αναγνώστου;) προσωπικά με βοήθησε να ξακαθαρίσω καταστάσεις που ήταν θολές.
Σχόλιο από τον/την ΓΙΑΝΝΗΣ ΔΟΓΡΑΜΑΤΖΑΚΗΣ στις 23 Ιούλιος 2013 στις 14:47
Βαγγέλη καλησπέρα
η δημιουργηκότητα της σκέψης σου ,
ο γόνιμος προβληματισμός σου
και η διάθεσή σου να μοιραστείς
με βοηθά να κάνω …
”ένα βήμα μακρύτερο από την φθορά”
Να’σαι πάντα καλά Βαγγέλη .
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 23 Ιούλιος 2013 στις 17:07
Βαγγέλη καλό απόγευμα
Το “πόνημα” σου αυτό. κατά τη γνώμη μου είναι κάτι πολύ περισσότερο από διπλωματική εργασία.
Συγχαρητήρια και μόνο για το όσο μπόρεσα να παρακολουθήσω – τα σχετικά με το σύστημα αναφοράς το συνδεδεμένο με το “κινούμενο” σημείο επί καμπύλης στο χώρο θα πρέπει κάποια στιγμή να τα επαναφέρω στο μυαλό μου με διάβασμα.
Αυτό που μπόρεσα να δω είναι πως από τις γενικές λύσεις ορμώμενος μελετάς ειδικές περιπτώσεις.
Ήθελα να σε ρωτήσω το εξής υπάρχει κάπου στο υλικό η κατ’ ευθείαν αντιμετώπιση των παραδειγμάτων 1. (Πρόβολος) και 2. (Μια ασυνέχεια);
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 23 Ιούλιος 2013 στις 17:13
Βαγγέλη δε μιλάω για τη συζήτηση στην οποία παραπέμπεις πιο πάνω στην οποία είχε γίνει “σκοτωμός”. Αυτό που θα με ενδιέφερε είναι αν σε αυτό που εσύ καταλήγεις εφαρμόζοντας τη γενική λύση στα παραδείγματα 1. και 2.θα μπορούσε να γίνει με απευθείας τρόπο δουλεύοντας στο επίπεδο.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 23 Ιούλιος 2013 στις 22:38
Καλησπέρα συνάδελφοι
Διονύση, Γιάννη , Μανώλη ευχαριστώ για τα ευμενή σχόλια σε αυτήν την προσπάθεια παραπέρα κατανόησης του στερεού.
Με αφορμή τις ερωτήσεις και παρατηρήσεις του Μανώλη κωδικοποιημένα
Μερικές συμπληρώσεις
1) Η παρουσίαση ήταν «διδακτικά» λάθος. Θα έπρεπε να ακολουθήσω τον δρόμο από το ειδικό στο γενικότερο επαναλαμβάνοντας κάποιες πράξεις.
2) Οι εξισώσεις στερεοστατικής ισορροπίας είναι τοπικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες εξασφαλίζουν την ισορροπία κάθε στοιχειώδους τμήματος της δοκού. Έχοντας εξασφαλίσει την ισορροπία κάθε στοιχειώδους τμήματος εξασφαλίζουμε και την ισορροπία κάθε πεπερασμένου.
3) Το σύστημα συντεταγμένων που ορίζει το τρίεδρο Frenet (εφαπτομένη – κάθετος – 2ηκάθετος) είναι το φυσικό σύστημα συντεταγμένων. Οι συνιστώσες των δυνάμεων και ροπών επαφής ως προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δεν μπορούν να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως : που κινδυνεύει η δοκός να κοπεί ή να καμφθεί;
Ταυτόχρονα τα δεδομένα του προβλήματος δεν δίνονται με όρους καρτεσιανών συντεταγμένων αλλά με όρους δύναμης εφελκυσμού , ροπής στρέψης , ροπής κάμψης κ.τ.λ.
4) Μπορούμε να αποφύγουμε τις διαφορικές εξισώσεις και εναλλακτικά να δουλέψουμε ως εξής:
Μελετάμε κατ’ αρχήν την δοκό ως ολότητα και προσδιορίζουμε τις δυνάμεις και ροπές των συνδέσμων. Στην συνέχεια ξεκινάμε από ένα σημείο Α (συνήθως άκρο) στο οποίο γνωρίζουμε τις ασκούμενες δυνάμεις και μελετάμε την ισορροπία ενός πεπερασμένου τμήματος από το Α μέχρι ένα τυχαίο σημείο Β. Έτσι προσδιορίζουμε την κατανομή δυνάμεων και ροπών. Αν η εργασία μας γίνει σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τότε προβάλουμε τα μεγέθη στο τρίεδρο Frenet Τα, Ν, Β ώστε να έχουμε τις φυσικά ενδιαφέρουσες ποσότητες.
Ας δούμε το παράδειγμα του πρόβολου
Η δύναμη φορτίου που ασκείται σατην δοκό είναι το βάρος της w=-μgLj
Επειδή η δοκός ισσορροπεί η δύναμη από την πάκτωση Α είναι RA= ½ μgLj και η ροπή ζεύγος από την πάκτωση ΜΑ=μgL2k.
Επομένως R(0)=-μgL και Μ(0)=- ½ μgL2.
Θεωρούμε τυχόν τμήμα της δοκού από x=0 έως x=x
Επειδή η δοκός ισορροπεί
R(x)-R(0)+w=0 => R(x)= – μgL +R(0)=- μg(L-x)
M(x)-M(0)+τ R+τw=0 => M(x)+ ½ μgL2+xR(x)- ½ μgx2=0 =>
M(x)= – ½ (L-x)2.
Ας δούμε το παράδειγμα του κομμένου δακτυλιδιού.
Στο κόψιμο Γ όλα τα πεδία είναι 0. Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Δ(x,y) στο δεξιό ημικύκλιο ( επειδή αρχή μετρήσεως των γωνιών είναι το Α –π<φ<0)
Το τμήμα από φ=-π έως φ=φ ισορροπεί. Συνεπώς
R(φ)-R(0)+w=0 => R(φ)- μgα(φ+π)j =0 => R(φ) = μgα(φ+π) j
M(φ) –Μ(0) +τR + τw =0
Οι Μ(φ), Μ(0)=0 είναι ροπές ζεύγους και δεν έχει σημασία το σημείο ως προς το οποίο αναφέρονται. Επειδή μελετάμε πρόβλημα ισορροπίας μπορούμε να υπολογίσουμε τις άλλες δύο ροπές ως προς όποιο σημείο θέλουμε..
Η R έχει σημείο εφαρμογής το Δ και η w το κέντρο μάζας του τμήματος που μελετάμε.
Έτσι βρίσκουμε την ροπή Μ(φ).
Στην συνέχεια θα πρέπει τις R και Μ να τις εκφράσουμε στο σύστημα συντεταγμένων που ορίζουν η εφαπτομένη και η ακτίνα στο Δ για να έχουμε τις φυσικά ενδιαφέρουσες ποσότητες.
Αξίζει να σημειώσω ότι αρχικά όλα τα παραδείγματα ήταν διπλάσια σε μέγεθος διότι τα έλυνα και με τους δύο τρόπους. Αρμενίζοντας σε άγνωστα νερά έπρεπε να ελέγξω τα αποτελέσματα της νέας ( για μένα ) μεθόδου με εργαλεία που μου ήταν οικεία.
Ο τίτλος του παραδείγματος 2 θα έπρεπε να είναι «μια ασυνέχεια που αρχικά δεν ήταν αναμενόμενη» . Παίζοντας με αυτό τα σίγουρο παράδειγμα συνειδητοποίησα ότι οι μεμονωμένες δυνάμείς και ροπές δημιουργούν ασυνέχεια στο σημείο που ασκούνται. Επιβεβαίωσα τον συλλογισμό από βιβλίο μαθηματικών ( Θεωρία τελεστών του Αποστολάτου). Μεμονωμένη δύναμη F στο σημείο x0 σημαίνει ότι η κατανομή φορτίου είναι Fδ(x-x0) ( δ ησυνάρτηση του Dirac).
Όμως η δ είναι η παράγωγος της συνάρτησης βήματος του Heaviside H(x-x0)
Συνεπώς οι δυνάμεις επαφής μεταξύ των τμημάτων της δοκού θα έχουν και όρους H(x-x0). Επομένως θα παρουσιάζουν ασυνέχεια στο x=x0.
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 24 Ιούλιος 2013 στις 11:58
Βαγγέλη καλημέρα
Ευχαριστώ πολύ για τα όσα έγραψες πιο πάνω, τις συμπληρώσεις, που κατά τη γνώμη μου θα πρέπει να συμπεριληφθούν και στο κυρίως κείμενο.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 25 Ιούλιος 2013 στις 19:05
Καλησπέρα συνάδελφοι
Μετά από το σχόλιο του Μανώλη αποφάσισα να κάνω μερικές τροποποιήσεις.
1) Η μελέτη της ευθύγραμμης δοκού γίνεται αυτόνομα και όχι ως αποτέλεσμα της γενικής περίπτωσης. Με τον τρόπο αυτό γίνεται καθαρή, χωρίς επιβάρυνση γεωμετρίας, η φυσική μέθοδος που ακολουθείται.
2) Το παράδειγμα 3 επιλύεται και χωρίς την χρήση των διαφορικών εξισώσεων στερεοσταικής ισορροπίας αλλά με απλές εξισώσεις ισορροπίας τυχαίου πεπερασμένου τμήματος.
3) Οι παρατηρήσεις ενσωματώθηκαν στα κατάλληλα σημεία.
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 25 Ιούλιος 2013 στις 21:39
Βαγγέλη καλό βράδυ
Νομίζω πως ο κόπος σου να κάνεις την αναμόρφωση άξιζε. Τώρα η ανάρτηση σου απευθύνεται σε ευρύτερο κοινό στο οποίο κοινό συμπεριλαμβάνομαι και εγώ.
