Διακρότημα

Δημοσιεύτηκε από τον/την Λάμπρος Θεοδώρου στις 31 Οκτώβριος 2010 και ώρα 21:00

Δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x₁= Α ημ(10πt+π/2) και x₂ = Α∙ημ(2πf₂t+π/2) (S.Ι.)

Το αποτέλεσμα της σύνθεσης παρουσιάζεται στο παραπάνω διάγραμμα.

Ζητούνται:

Α) Ποια τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων;

Β) Πόση είναι η περίοδος του διακροτήματος;

Γ) Η συχνότητα της δεύτερης ταλάντωσης.

Δ) Οι διαφορές φάσης …

Η συνέχεια στο εδώ.

Σχόλια

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 22:11

Πολύ έξυπνο. Άλλη φορά θα προσέχω τα σχήματα , όπως συμβουλεύω τους μαθητές μου να κάνουν.

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 22:54

Πολύ καλή “εκμετάλλευση” διαγράμματος Λάμπρο, αλλά …
• βάλε 0 στην αρχή των αξόνων
• βάλε 2 στον άξονα x
• υπολόγισε την f1

Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 23:10

Επειδή κάτι δεν μου πάει καλά ανεβάζω ένα αρχείο Powerpoint με διαγράμματα για να γίνει συζήτηση, αφού και στο σχολικό βιβλίο και στα εξωσχολικά οι γραφικές παραστάσεις δεν φωτίζουν τι συμβαίνει στο σημείο που έχουμε μηδενισμό του “πλάτους”.
Διακρότημα

Σχόλιο από τον/την Λάμπρος Θεοδώρου στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 23:18

Βαγγέλη σε ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 23:27

Νίκο τυπικά έχεις δίκιο, αλλά ας μην ξεχνάμε ότι θεωρούμε τη σύνθεση διακρότημα όταν οι f₁, f₂είναι παραπλήσιες, και στην περίπτωση αυτή είναι τόσο πυκνές οι άτρακτοι, που η διαφορά από άτρακτο σε άτρακτο είναι ασήμαντη.
Σκεφτήτε π.χ. στην πειραματική μέτρηση μιας ηχητικής συχνότητας δύο αρμονικούς ήχους της τάξης των 500Hz να δίνουν διακρότημα με περίοδο 2 – 3sec. Αυτό σημαίνει συχνότητα 0,5 – 0,3Hz. Μισό Hz στα 500 σημαίνει διαφορά της τάξης του 1^o/_oo.

Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 31 Οκτώβριος 2010 στις 23:50

Διονύση δεν διαφωνώ με την προσέγγιση που αναφέρεις.
Στην άσκηση το διάγραμμα δεν είναι συμβατό με το αποτέλεσμα.
Η παρακάτω εικόνα δείχνει πως θα έπρεπε να είναι το διάγραμμα της εκφώνησης.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 0:56

Σύμφωνοι Νίκο, απλώς έκανα με την ευκαιρία ένα γενικό σχόλιο. Σκέψου ότι όταν είναι “αραιή” η ενδιάμεση κύμανση, υπάρχει περίπτωση το μέγιστο να μην παίρνει καν την τιμή 2Α.

Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 1:28

Διονύση είτε με “αραιή” είτε με “πυκνή” διακύμανση πρέπει να “μαγειρευτούν” οι συναρτήσεις ώστε να δώσουν μέγιατο 2Α.

Η γνώμη μου είναι ότι στους μαθητές πρέπει να δίνουμε διαγράμματα τα οποία να είναι σωστά και συγχρόνως να παίρνουν εύκολα τα στοιχεία που απαιτεί η άσκηση.

Υπάρχουν δωρεάν προγράμματα που με ένα κλικ σου σχεδιάζουν όμορφα και σωστά διαγράμματα.

Ανεβάζω άλλο ένα μαγειρεμένο διάγραμμα με συχνότητες 1,05Hz και 0,95Hz στο οποίο μπορούμε να μετρήσουμε εύκολα τις λεγόμενες “ταλαντώσεις”…

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 2:20

Συμφωνώ απόλυτα Νίκο. Απλά στην πυκνή διακύμανση δεν φαίνεται η διαφορά από το 2Α !
(Ή για να είμαστε πιο ακριβείς η σχετική διαφορά ως προς το 2Α είναι ασήμαντη).

Σχόλιο από τον/την Σταύρος Λέτης στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 10:09

απόσπασμα από το συνοδευτικό CD του βιβλίου “Θέματα Φυσικής …” του Θρασύβουλου Μαχαίρα και Σταύρου Λέτη

Σχόλιο από τον/την Λάμπρος Θεοδώρου στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 10:19

Φίλε Νίκο Ανδρεάδη, σε ευχαριστώ για την επισήμανση της λανθασμένης γραφικής παράστασης. Δεν θέλω να δικαιολογηθώ για την ασυνέπεια γραφικής παράστασης, αλλά την πάτησα, προσπαθώντας να αποφύγω, αυτό το πρόβλημα που έθεσες. Έγραψα την άσκηση και μετά χρησιμοποίησα το i.p. για τις γραφικές παραστάσεις, αλλά επειδή πράγματι μπορεί το πλάτος να μην γίνει ποτέ 2Α, για να αποφύγω το πρόβλημα, ξεκίνησα τις δυο ταλαντώσεις από την ακραία θέση (θέση πλάτους), γιατί τότε πάντα το μέγιστο πλάτος, ανεξάρτητα από τις συχνότητες είναι 2Α. Έλα όμως που ξέχασα να αλλάξω τις εξισώσεις!!! Ελπίζω τώρα να μην υπάρχει άλλο λάθος…

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 14:05

Αν μάλιστα σαν φυσικοί θέλουμε να εξετάσουμε και από φυσική άποψη τη μεγιστοποίηση του πλάτους, μπορούμε να σκεφτούμε και ως εξής:
Τις χρονικές στιγμές που ο όρος |συν(ω₁-ω₂)t/2| γίνεται 1, οι δύο κυμάνσεις y₁, y₂ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης. Αν λοιπόν τυχαίνει τις στιγμές αυτές να βρίσκονται στις μέγιστες απομακρύνσεις τους, τότε η συνολική απομάκρυνση γίνεται 2Α. Αλλιώς, το μέγιστο εμφανίζεται λίγο πριν / λίγο μετά, όπου το συνημίτονο είναι κοντά στο 1 αλλά όχι ακριβώς 1.Για όσους συμπαθούν τα στρεφόμενα, θα πρέπει τα διανύσματα των δύο κυμάνσεων να συναντιώνται πάνω στον y άξονα.
Όταν δηλαδή συμβαίνει Δφ = ω₁t–ω₂t = 2κπ, τότε θα πρέπει οι δύο φάσεις να ικανοποιούν ταυτόχρονα και τη συνθήκη ωt = λπ+π/2.

Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 1 Νοέμβριος 2010 στις 15:13

Σταύρο έχεις δίκιο για τις περιβάλλουσες και το πλάτος, εδώ όμως πρέπει να χρησιμοποιούμε την ορολογία που μας επιβάλει το βιβλίο.

Λάμπρο όλοι κάνουμε λάθη και γι’ αυτό είμαστε εδώ και συζητούμε με σκοπό την βελτίωσή μας.
Ο μαθητής πρέπει να καταλάβει ότι η μεγιστοποίηση της συνάρτησης του “πλάτους” δεν σημαίνει υποχρεωτικά και μεγιστοποίηση της συνάρτησης του διακροτήματος. Απλά λίγο πριν και λίγο μετά η συνάρτηση του διακροτήματος θα έχει μέγιατα ακρότατα, εκτός και εάν “μαγειρέψουμε” τις συναρτήσεις που δημιουργούν το διακρότημα.