by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 8 Νοέμβριος 2010 και ώρα 3:00
Υλικό σημείο Σ μάζας m=2∙10-2kg εκτελεί “ταυτόχρονα” δύο AAT, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και με συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: x1=A∙ημ(2πf1t) και x2=A∙ημ(2πf2t), με f1>f2. Από τη σύνθεση των δύο ΑΑΤ προκύπτει μια ιδιόμορφη ταλάντωση του Σ που παρουσιάζει διακροτήματα. Η απομάκρυνση και το “πλάτος” της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ σε σχέση με το χρόνο φαίνονται στο διάγραμμα.
Να βρεθούν:
α. Το πλάτος Α των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.
β. Η περίοδος και η συχνότητα των διακροτημάτων.
γ. Η περίοδος και η συχνότητα της ιδιόμορφης ταλάντωσης του Σ.
δ. Οι συχνότητες των δύο ΑΑΤ που δημιουργούν την ιδιόμορφη ταλάντωση.
ε. Η διαφορά φάσης των δύο ΑΑΤ τις χρονικές στιγμές 5s και 10s.
στ. Η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια του Σ, την χρονική στιγμή που το πλάτος της ιδιόμορφης περιοδικής κίνησής του ισούται με 1m.
ζ. Ο αριθμός των μεγιστοποιήσεων του πλάτους και ο αριθμός των μηδενισμών της απομάκρυνσης του Σ, στη χρονική διάρκεια 0 – 50s.
Η συνέχεια στο blogspot…
Μια και άνοιξε η συζήτηση περί των πολλών εξαρτημένων/ανεξάρτητων κλπ κλπ κινήσεων που εκτελεί ταυτόχρονα ένα σώμα, ας ρίξω λίγο λάδι στη φωτιά με μια χορταστική άσκηση και ταυτόχρονα συμβατή με το πνεύμα του σχολικού βιβλίου και των πανελλαδικών εξετάσεων 🙂
ΥΓ.
Ελπίζω να μην τη δει ο Θρασύβουλος…
Πολύ “διδακτική” άσκηση ! Μπράβο Νίκο!
Νίκο
(επειδή η εικόνα κατά τους Κινέζους και άλλους πολλούς …)
μου φαίνεται σωστό
το τμήμα του διαγράμματος 5-15s
να αναστραφεί
ώστε να φαίνεται ότι τό τμήμα 0-10s επαναλαμβάνεται διαρκώς
Βαγγέλη το διάγραμμα είναι σωστό όπως προκύπτει από την εικόνα που ανεβάζω, στην οποία δείχνω τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων από τον πολλαπλασιασμό των οποίων προέκυψε το διακρότημα της άσκησης.
Κατέβασε ένα πρόγραμμα που δημιουργεί γραφικές παραστάσεις και θα διαπιστώσεις ότι έχω δίκιο.
Ακόμα στη γενική περίπτωση οι άτρακτοι δεν είναι όμοιες, εκτός και εάν…. (βαριέμαι να γράψω).
Τώρα αν τα διάφορα βιβλία έχουν λανθασμένα διαγράμματα που “βγάζουν μάτι” δεν με απασχολεί 🙂
Στην άσκηση “μαγείρεψα” τις συχνότητες ώστε ο μαθητής να μετρήσει “σπαστά” 2,5 + 2,5 = 5 “επαναλήψεις” στο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο μεγίστων ή 5 “επαναλήψεις” στο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο μηδενισμών.
Ανεβάζω άλλη μια εικόνα όπου φαίνεται ότι:
α. οι άτρακτοι δεν είναι όμοιες
β. η πραγματική περίοδος της ιδιόμορφης περιοδικής κίνησης είναι τριπλάσια της περιόδου του διακροτήματος.
Νίκο έχεις δίκιο βέβαια (το είχαμε συζητήσει και ξανά), αλλά έχεις κάνει και μια μικρή ζαβολιά!
Η διαφορά των δύο συχνοτήτων είναι της τάξης του 20%, δεν είναι δηλ. και πολύ παραπλήσιες, γι’ αυτό και κάνει μπαμ η ασυμμετρία.
Για να μη χαλάσω το χατήρι του Βαγγέλη ανεβάζω ένα ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΟ διάγραμμα της άσκησης, όπως αυτά που κυκλοφορούν σε διάφορα βιβλία 🙂
Διονύση δεν υπάρχει ζαβολιά αλλά κατάλληλη επιλογή τιμών ώστε να γίνει εμφανές αυτό που θέλω να πω. Με άλλες τιμές απλά θα κρύβαμε την αλήθεια και αυτό είναι ζαβολιά 🙂
Μα συμφωνώ μαζί σου, αλλά στην πράξη θεωρούμε διακροτήματα την περίπτωση που οι συχνότητες είναι πολύ κοντινές. Στην άσκηση που είχε ανεβάσει ο Διονύσης π.χ. (10000 και 10004 Hz) έχουμε μια τέτοια εικόνα:
Διονύση συμφωνούμε ότι το βασικό μέγεθος είναι η περίοδος του διακροτήματος. Στο διάγραμμα που ανεβάζεις όμως κρύβεις κάτι που είναι αλήθεια, δηλ. ότι οι άτρακτοι δεν είναι όμοιες 🙂