by 
Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται προς στην αρνητική κατεύθυνση ενός προσανατολισμένου άξονα με ταχύτητα c=100/π m/s και το μέτρο της επιτάχυνσης της αρχής μέτρησης των θέσεων Ο φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.
Το σημείο Ο(x0=0) ξεκινά την ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t0=π/2 s με αρνητική ταχύτητα θεωρώντας, ότι αποκτά ακαριαία τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσής του.
α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.
β. Να κατασκευαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=2T, όπου Τ η περίοδος του κύματος και σε εύρος (-2λ<=x<=2λ), όπου λ το μήκος κύματος.
Τη χρονική στιγμή t1του παραπάνω ερωτήματος, το κύμα συναντάται και συμβάλει με άλλο όμοιο γραμμικό κύμα (το οποίο επίσης εξαναγκάζει τα σημεία του ελαστικού μέσου να κινηθούν προς την αρνητική κατεύθυνση), το οποίο διαδίδεται με θετική ταχύτητα. Τα δύο κύματα συμβάλλουν.
γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου στα οποία έχουν συμβάλλει τα δύο κύματα.
δ. Να βρεθεί το πλήθος των σημείων του ελαστικού μέσου, το πλάτος της ταλάντωσης των οποίων είναι 2A τη χρονική στιγμή t2=4T.
 |
Εκφώνηση και λύση σε pdf |
 |
Εκφώνηση και λύση σε Word |
Καλησπερα Ταξιαρχη.
Μελετησα την ασκηση σου . Εχει μια ενδιαφερουσα πλοκη μιας και στο τελος εχουμε και στασιμο κυμα .
Δεν σου κρυβω ομως οτι με προβληματισες !
Το σημειο που κατα κυριο λογο εχω την ενσταση μου ειναι το εξης :
Αν εχουμε ως αρχικες συνθηκες οτι πχ την t=0 η απομακρυνση ενος σημειου ειναι y=0 και υ<0 τοτε πως θα γραφαμε την εξισωση που θα εδινε την y(t) ; η αρχικη φαση δεν θα ηταν φ0=π rad ;
δηλαδη y=A*ημ(ωt+π) .
Στην περιπτωση σου δηλαδη εχωντας ως σημειο αναφορας το Ο (χ=0) θα εγραφα
ΥΟ=Α*ημ [ω*(t-t0)+π]
επομενως ενα σημειο δεξια του Ο (το κυμα σου τρεχει απο δεξια προς τα αριστερα ) θα εχει
μεγαλυτερη φαση απο το Ο : Δφ=(2π/λ)*(Χ-0)=(2π/λ)*Χ
αυτο μας οδηγει σε εξισωση για το κυμα που θα ειναι η εξης :
Y=Α*ημ [ω*(t-t0)+π + Δφ ] , t0=π/2 sec ==>Y=Α*ημ [ωt +(2π/λ)*Χ ]
Διαφορετικα βαση των δεδομενων σου εφοσον η t0=T/2 αρα την χρονικη t=0 το κυμα βρισκεται στο ΧΓ=λ/2 η σπομακρυνση αυτου του σημειου ειναι μηδεν και εχει υ<0.
Αρα το σημειο αυτο , Γ ,θα εχει ΥΓ=Α*ημ(ωt+π) τοτε παλι ενα σημειο τυχαιο δεξιοτερα του
Γ θα εχει μεγαλυτερη φαση σε σχεση με το Γ κατα Δφ=(2π/λ)*(Χ-ΧΓ)=(2π/λ)*Χ – π
αυτο μας οδηγει σε εξισωση για το κυμα που θα ειναι η εξης :
Y=Α*ημ [(ωt+π) + Δφ ] ==> Y=Α*ημ [ωt + π +(2π/λ)*Χ – π ] =>Y=Α*ημ [ωt +(2π/λ)*Χ ]
Καθε σημειο λοιπον του μεσου θα ξεκινα την ταλαντωση του οπως ακριβως και το σημειο αναφορας δηλαδη την στιγμη που ξεκινα την ταλαντωση του θα εχει Y=0 και υ<0.
Εκει ακριβως βρισκεται και η διαφωνια μου !
Η αρνητικη φαση που βγαζεις εσυ με τον τροπο σου φ0(t0)= – π rad δεν καταλαβαινω τι Φυσικη σημασια εχει. Οπως ειπα και στην αρχη την αρχικη φαση την εχουμε ορισει να εχει τιμες απο [0, 2π) rad.
Οσον αφορα στην συνεχεια το αλλο κυμα που τρεχει απο αριστερα προς τα δεξια .Αυτο την χρονικη στιγμη t1=2T=2π sec βρισκεται στο σημειο ΧΖ= – 1.5λ το σημειο λοιπον αυτον αυτην την χρονικη στιγμη εχει Y=0 και υ<0 αρα :
YZ=A*ημ[ω*(t-t1) + π] . Τοτε ενα σημειο αριστερα απο αυτο θα εχει μεγαλυτερη φαση κατα
Δφ=(2π/λ)*(-1.5λ-Χ)
αυτο μας οδηγει σε εξισωση για το κυμα που θα ειναι η εξης :
Y=Α*ημ [ω(t-t1)+π + Δφ ] ==> Y=Α*ημ [ω(t-t1) + π + (2π/λ)*(-1.5λ-Χ)]
μετα απο αντικαταστασεις => Y=Α*ημ [ωt – (2π/λ)*Χ – 6π]
Καλησπέρα Κώστα
Επισυνάπτω ΕΔΩ το σχόλιό μου διότι για κάποιο λόγο δεν ανεβαίνει η απάντηση
στο παραδειγμα που αναφερεις για κυμα που διαδιδεται προς τα θετικα και την t=0 βρισκεται στο χ=0 και η απομακρυνση ειναι μηδεν και η ταχυτητα αρνητικη αυτο σημαινει οτι η εξισωση απομακρυνση του θα ειναι y=Aημ(ωt+π) οποτε η εξισωση του κυματος θα ειναι
y=Aημ[ωt-(2π/λ)*Χ + π ] .Προσοχη ομως καθε σημειου του μεσου θα ξεκινα την ταλαντωση του με τον ιδιο ακριβως τροπο εχωντας δηλ φαση ιση με π rad την στιγμη που φτανει η διαταραχη.
Ετσι την t=0 η φαση του Χ=0 θα ειναι ιση με π rad . Στην συνεχεια το σημειο Χ=λ/2 θα ξεκινησει την ταλαντωση προφανως την χρονικη στιγμη Τ/2 και εκεινη την στιγμη η φαση του θα ειναι ιση με π rad.
Δηλαδη ω*t -(2π/λ) * (λ/2) +π =π => t= T/2
Πιστεύω πως ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης της διάδοσης ενός κύματος για να μην έχουμε τα προβλήματα των μετατροπών των τριγωνομετρικών εξισώσεων (κάτι που δυσκολεύει πολύ τους μαθητές) είναι η παραδοχή πως σε κάθε περίπτωση, τη στιγμή που φθάνει το κύμα σε ένα σημείο του μέσου, η φάση του μέσου να είναι μηδενική, ανεξάρτητα από το πρόσημο της ταχύτητας που θα αποκτήσει. Γι’ αυτό το λόγο και οι συνάδελφοι στο study4exams προτείνουν αυτό τον τρόπο σκέψης τον οποίο και θεωρώ σωστό. Έτσι λύνονται όλα τα προβλήματα με τις φάσεις και το τυχόν αρνητικό πρόσημο που θα έχω στην εξίσωση του τρέχοντος κύματος μπορεί κάλλιστα να δικαιολογήσει την αρνητική ταχύτητα που θα αποκτήσει αμέσως μετά την έναρξη της ταλάντωσής του.
Επομένως το αρνητικό πρόσημο δεν το εκχωρώ ποτέ ως π rad μέσα στη φάση παρά μόνο στην περίπτωση της συμβολής για να μπορούμε να έχουμε το άθροισμα των ημιτόνων και να χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνομετρικό μετασχηματισμό που δίνεται στο σχολικό βιβλίο.
Καλησπέρα Ταξιάρχη.
Θα μου επιτρέψεις να έχω διαφορετική άποψη, την οποία έχω υποστηρίξει όλα αυτά τα χρόνια, σε πάνω από 150 αναρτήσεις πάνω στα κύματα. Το ότι το κάνει το study4exams, δεν θεωρώ ότι είναι σοβαρός λόγος να αλλάξω (προσωπικά) άποψη…
Καλησπέρα και απο εμένα. Ταξιάρχη, αφού όπως αναφέρεις παρακoλουθείς το study4exams, θα έχεις δει αρκετά λάθη στα οποία έχουν υποπέσει οι συνάδελφοι που αναφέρεις. Μάλιστα σε μια άσκηση φθίνουσας, που ήταν εντελώς λάθος, ένας- ένας απέσυραν τα ονόματα τους ως συγγραφείς της. Η μεθοδολογία, που περιγράφει ο Κώστας, νομίζω έχει συνέπεια σε αυτά που οι μαθητες έχουν μάθει απο τις ταλαντώσεις. Επίσης δεν καταλαβαίνω αυτό που λες για την αρχική φάση στα κύματα και στις ταλαντώσεις. Όλα θα λύνονταν πιο εύκολα αν βάζαμε πεδίο ορισμού σε κάθε περίπτωση. Υπάρχει άραγε συνάρτηση στα μαθηματηκά χωρίς πεδίο ορισμού; Δεν καταλαβαίνω αυτό που λες οτι εκχωρείς το π μόνο στη συμβολή, δηλαδή με 1001π θα αλλάξει κάτι και πώς συγκρίνεις τα ημίτονα που λες; Έχουν γίνει πολλές συζητήσεις στο δίκτυο για το συγκεκριμένο θέμα από εξαιρετικούς φυσικούς, όπως ο Μάργαρης ,ο Μητρόπουλος ,ο Κορφιάτης και ο Μαχαίρας, που μπορείς να μελετήσεις για να δεις αν θέλεις και την άλλη άποψη. Νομίζω οτι οι περισσότεροι έχουμε καταλάβει οτι μελετάμε απλά μια συνάρτηση, μιας και τα μονοχρωματικά κύματα που μελετάμε δεν διαδίδονται. Ο πολύ καλός φίλος μου, Θρασύβουλος Μαχαίρας, έχει έτοιμη μια ολοκληρωμένη μελέτη στα κύματσ την οποία θα την ανεβάσει σε λίγες ημέρες στον προσωπικό του ιστότοπο.