by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 9 Ιούνιος 2010 και ώρα 15:30
Με αφορμή το video: bicycle_wheel.mpg που βρήκα στο διαδίκτυο και την άσκηση του Χρήστου Ελευθερίου έφτιαξα την άσκηση αυτή με σκοπό να έχουμε μια εκτίμηση της γωνιακής συχνότητας της μεταπτωτικής κίνησης του στερεού. Δείτε πρώτα το video και διαπιστώστε ότι έχουμε ένα φαινόμενο «πρόκληση» !
Άσκηση
Στο ένα άκρο οριζόντιας αβαρούς ράβδου μήκους l είναι τοποθετημένος τροχός ποδηλάτου ακτίνας R έτσι ώστε η ράβδος να είναι κάθετη στο επίπεδο του τροχού και να περνά από το κέντρο μάζας του τροχού. Κρατώντας τη ράβδο ακίνητη σε οριζόντια θέση, θέτουμε τον τροχό σε στροφική κίνηση (χωρίς να ακουμπά στο έδαφος). Όταν ο τροχός αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ωο, με τη βοήθεια ενός σχοινιού που είναι δεμένο στο άλλο άκρο της ράβδου, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο κρατώντας μόνο το σχοινί (βλ. σχήμα). Παρατηρούμε τότε ότι η ράβδος περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του σχοινιού παραμένοντας οριζόντια (δεν πέφτει).
α) Εξηγείστε γιατί η ράβδος (και ο τροχός) αρχίζουν να στρέφονται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του σχοινιού και με ποια φορά.
β) Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα ω της στροφικής κίνησης της ράβδου γύρω από τον κατακόρυφο άξονα.(Θεωρείστε το άκρο της ράβδου ακίνητο)
Τριβές μεταξύ τροχού και ράβδου δεν υπάρχουν. Η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρεια και η μάζα του σχοινιού αμελητέα. Θεωρούνται γνωστά τα μεγέθη: R, l, g, ωο.
Συνέχεια :troxos
Αγαπητέ Νίκο συγχαρητήρια γι’ αυτή την ανάλυση.
Ίσως οι μεταπτωτικές κινήσεις και γενικότερα τα προβλήματα που σχετίζονται με τις μεταβολές της στροφορμής είναι από τα πιο ενδιαφέροντα στη στροφική κίνηση (και με απρόσμενη εξέλιξη!).
Συμπληρωματικά για το ίδιο θέμα, υπάρχει ΕΔΩ μια εντυπωσιακή (όπως πάντα) διάλεξη του Walter Lewin από το ΜΙΤ.
Ακόμη, μια παλιότερη δική μου ανάρτηση με παρεμφερές θέμα ΕΔΩ.
Φίλε Διονύση, πραγματικά η διάλεξη είναι εντυπωσιακή. Ένα καινούριο στοιχείο από τη διάλεξη αυτή, που με προβλημάτισε, είναι ότι για να συμβεί η μετάπτωση πρέπει η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής να είναι (πολύ) μεγαλύτερη από την κατακόρυφη. Βέβαια είναι διαισθητικά προφανές ότι σε χαμηλές συχνότητες ιδιοπεριστροφής του τροχού δεν έχουμε μετάπτωση αλλά πτώση του τροχού. Πώς όμως προκύπτει αυτός ο περιορισμός; και είναι λίγο “παράξενος” αν θέλεις, με την έννοια ότι όταν δεν εκτελεί μετάπτωση τι νόημα έχει η κατακόρυφη συνιστώσα της στροφορμής.
Συγχαρητήρια αξίζουν σε εσένα που ασχολήθηκες (και ασχολείσαι) με μη “κλασικά” θέματα.
Αν γνώριζα τις παραπάνω αναρτήσεις σου, θα είχα γλιτώσει πολύ χρόνο ….
Πειραματικά τώρα (όπου και εδώ συνέπεσα με τον Walter Lewin να εκτελώ το πείραμα με το μικρό γυροσκόπιο του Πλανητάριου) τα πράγματα φαίνονται πιο σύνθετα. Ένα μεγάλου μήκους σχοινί ίσως να δίνει την εντύπωση ότι το άκρο της ράβδου παραμένει ακίνητο αλλά τότε α)ποια ροπή (αίτιο) προκαλεί την κάθετη στροφορμή (αποτέλεσμα) και β) αφού το cm εκτελεί κυκλική κίνηση ποια δύναμη (κεντρομόλος) την προκαλεί ; Όπως και να ‘χει, στην τάξη μεγέθους είμαστε μέσα !! Η ουσία είναι αυτό που είπες: Ίσως οι μεταπτωτικές κινήσεις και γενικότερα τα προβλήματα που σχετίζονται με τις μεταβολές της στροφορμής είναι από τα πιο ενδιαφέροντα στη στροφική κίνηση (και με απρόσμενη εξέλιξη!). και για να συμπληρώσω με τα λόγια του Walter Lewin “είναι έξω από τη διαίσθηση“.
Νικος Σταματοπουλος είπε:
Ένα καινούριο στοιχείο από τη διάλεξη αυτή, που με προβλημάτισε, είναι ότι για να συμβεί η μετάπτωση πρέπει η οριζόντια συνιστώσα της στροφορμής να είναι (πολύ) μεγαλύτερη από την κατακόρυφη. Βέβαια είναι διαισθητικά προφανές ότι σε χαμηλές συχνότητες ιδιοπεριστροφής του τροχού δεν έχουμε μετάπτωση αλλά πτώση του τροχού. Πώς όμως προκύπτει αυτός ο περιορισμός;
Στη διάλεξη αναφέρεται μια δισέλιδη(;) απόδειξη την οποία δεν γνωρίζω αλλά βλέπω στη δική σου απόδειξη την προσέγγιση dL=(Lαρχ)dφ αυτή όμως “ισχύει” (ή αν θέλεις προσεγγίζει περισσότερο την πραγματικότα) για μεγάλα Lαρχ.
Το μικρό τ επίσης σημαίνει μικρό τdt το οποίο επίσης προσεγγίζει καλύτερα το dL.
Γιώργο συμφωνώ με αυτό που λες ως αφετηρία για την “ισχύ” της προσέγγισης δηλ τdtLαρχ.
Πως καταλήγει άραγε ο Walter Lewin στη σχέση στροφορμών;
Ξαναγράφω τη συνθήκη με λόγια γιατί τα σύμβολα δεν τα δέχτηκε:
τdt πολύ μικρότερο από Lαρχ
Αγαπητέ συνάδελφε Νίκο, ευχαριστώ κι εγώ (φοβάμαι με μικρή καθυστέρηση!) για τα καλά λόγια.
Προσπάθησα να δώσω μια ποιοτική ερμηνεία στα ερωτήματα που θέτεις και εσύ και ο συνάδελφος Γιώργος στο δικό του σχόλιο, όσο μπορούσα βέβαια γιατί οι κινήσεις αυτές είναι πράγματι περίπλοκες.
Αν θέλεις να τα δεις ο σύνδεσμος είναι ΕΔΩ.
Μπράβο Διονύση !! Μέσα από την αναλυτικότατη περιγραφή σου και τα κατατοπιστικότατα (υπέροχα) σχήματα κατάφερες να δώσεις μια ολοκληρωμένη εικόνα των μεταπτώσεων για τα τρία είδη που αναφέρηκαν μέσα στο forum. Να προσθέσω ότι αυτή η μετάπτωση της ολικής στροφορμής οδηγεί σε εκτροπή του επιπέδου του τροχού από το κατακόρυφο επίπεδο όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στο σχετικό βίντεο. Η επαναφορά του δικαιολογείται από την απώλεια ενέργειας που οδηγεί σε μείωση της συχνότητας ιδιοπεριστροφής. Είχα θεωρήσει αυτή την εκτροπή ως τυχαία πειραματική αστοχία και όχι αναγκαιότητα. Γι΄αυτό στην εκφώνηση της άσκησης ανέφερα ότι η ράβδος παραμένει οριζόντια (δεν πέφτει). Μόνο αν Ωμετ ω μένει πρακτικά οριζόντια. Αυτή η συνθήκη οδηγεί σε συνθήκη ενεργειών mgl Iω^2 /2 .
Μάλιστα με βάση αυτήν την ολοκληρωμένη ανάλυση που έκανες για τη μετάπτωση της ολικής στροφορμής, αν η αβαρής ράβδος σχημάτιζε με την κατακόρυφη γωνία θ (όχι π/2) (πάμε για 4ο είδος) τότε αποδεικνύεται ότι ο τροχός εκτελεί σταθερή μεταπτωτική κίνηση (δηλ. το cm του τροχού εκτελεί οριζόντια κυκλική τροχιά) όταν η Ω μετάπτωσης είναι ρίζα της εξίσωσης
“Ικαθ συνθ Ω^2 -Ι ω Ω + mgl =0” (όπου ω της ιδιοπεριστροφής και Ικαθ η ροπή αδράνειας ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το άκρο Ο). Ένας επιπλέον περιορισμός που προκύπτει από τη διακρίνουσα οδηγεί σε ελάχιστη δυνατή τιμή για το ω. (Σου δίνω ιδέες για αναρτήσεις!) Στο όριο mgl Iω ^2 προκύπτουν οι ρίζες: α) η ίδια τιμή της Ω με αυτή της οριζόντιας μετάπτωσης (αργή μετάπτωση) β) Ω = Ιω/(Ικαθ συνθ) (γρήγορη)
Το αποτέλεμα αυτό μάλλον συνδέεται με το πειραματικό δεδομένο ότι η μετάπτωση υπό γωνία επιτυγχάνεται ευκολότερα.
το ning “τρώει” το μαθηματικό συμβολισμό του “πολύ μικρότερου”.
Στην 8η γραμμή: Ω “πολύ μικρότερο” ω
στη 9η και 17η γραμμή: mgl “πολύ μικρότερο” Iω^2 /2
Αγαπητέ Νίκο ευχαριστώ και πάλι για τα σχόλια!
Οφείλω να ομολογήσω ότι έπεσε ξενύχτι και μου βγήκαν και τα μάτια με τα σχήματα (βοηθάει και η πρεσβυωπία)!
Από τα λεγόμενά σου καταλαβαίνω ότι έχεις ασχοληθεί περισσότερο από μένα με τον περιορισμό “ωμετ πολύ μικρότερη απο΄ω” και έχεις κάνει και πειραματική μελέτη.
Για να είμαι ειλικρινής, τον είχα ακούσει στη διάλεξη του Lewin αλλά τον προσπέρασα και τον ξέχασα, μέχρι που ανέκυψε πάλι με αφορμή τη δική σου ανάρτηση.
Δεν νομίζω να καταφέρω ν’ ασχοληθώ σύντομα πάλι μ’ αυτό γιατί είναι πολύ πολύπλοκο πρόβλημα. Αν όμως σ’ ενδιαφέρει σαν θέμα (και έχεις και το κουράγιο σαν νεώτερος!) πολύ θα χαρώ να χρησιμοποιήσεις ότι σχήματα πιθανώς σου χρειαστουν από τα δικά μου που μπορείς να τα πάρεις από το dοc αρχείο και να τα τροποποιήσεις αφου τα κάνεις ungroup (και βέβαια και όποιος άλλος συνάδελφος ενδιαφέρεται).
Να ‘σαι καλά Διονύση ! Θα επανέλθω στο θέμα αυτό αφού τελειώσω ένα άλλο που έχω ξεκινήσει για το συντελεστή επαναφοράς στις κρούσεις. Αλήθεια, πιστεύω να μη με έχεις προλάβει και εκεί !
(Αν υπάρχει κάτι σχετικό στο φορουμ πες μου σε παρακαλώ).
Νίκο είσαι ακούραστος!
Από όσο γνωρίζω όχι, αλλά είμαι κι εγώ κάπως νέος στο φόρουμ.
Ο Διονύσης Μάργαρης μπορεί να σου απάντήσει σ’ αυτό σίγουρα.
Εγώ ακούραστος εσύ άμεσος !! Σ’ ευχαριστώ !!!
Φίλε Νίκο, περιμένουμε τη νέα σου μελέτη.
Οικοδεσπότη Διονύση (για να μη μπερδευόμαστε) σ’ ευχαριστώ για το πράσινο φως !