Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης

• Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 24 Φεβρουάριος 2012 και ώρα 9:19

Παρακολουθώ με ενδιαφέρον την συζήτηση που αφορά τις περιπτώσεις εκείνες που η εξίσωση του κύματος έχει την μορφή y=Aημ(ωt-kx+φ₀). Η ύπαρξη του φ₀ ερμηνεύεται συνήθως ως κακή επιλογή της αρχής του χωροχρονικού συστήματος αναφοράς (το μέτωπο του κύματος την στιγμή t=t₀ βρίσκεται στην θέση x=x₀).

Επανειλημμένα έχω διατυπώσει από αυτό το βήμα ότι μάλλον αποτελούμε παγκόσμια πρωτοτυπία με την μανία μας να μελετάμε ένα αρμονικό κύμα κοντά στο μέτωπο του.

Στην προσπάθειά μας να δημιουργήσουμε ασκήσεις, οι οποίες να στέκονται ως θέματα εξετάσεων, ξεφεύγουμε από την φυσική πραγματικότητα και μελετάμε ανύπαρκτα κύματα ( εδώ θα συμφωνήσω με τον Θρασύβουλο).

Με την παρούσα ανάρτηση προσπαθώ να αντιμετωπίσω το εξής φαινόμενο.

Έχω ένα τεντωμένο γραμμικό ελαστικό μέσο. Απομακρύνω την άκρη του από την θέση ισορροπίας (συμπαρασύροντας και ένα τμήμα του μέσου) και την στιγμή t=0 το θέτω σε ταλάντωση με εξίσωση y=Aσυν(ωt). Ποια θα είναι η εξίσωση του παραγόμενου κύματος;

Το βασικό συμπέρασμα που καταλήγουμε είναι το εξής: Για σημεία μακριά από το μέτωπο του κύματος και χρονικές στιγμές μακριά από την χρονική στιγμή έναρξης της κίνησης η εξίσωση του κύματος είναι y=Aσυν(ωt-kx).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Θεωρούμε το επόμενο πρόβλημα

Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ισορροπεί κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Ox ενός συστήματος συντεταγμένων.

Απομακρύνουμε τα σημεία του μέσου από την θέση ισορροπίας τους κατά μήκος της καμπύλης

και τα συγκρατούμε ακίνητα.

Την στιγμή t=0 τα σημεία του μέσου αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν και ταυτόχρονα η άκρη Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=Aσυν(ωt), με αποτέλεσμα στο μέσο να διαδοθεί εγκάρσιο κύμα με ταχύτητα υ.

Αν ισχύει ότι υ=λf να βρεθούν

1. i)                    Η εξίσωση του παραγόμενου κύματος
2. ii)                   Το στιγμιότυπο τις στιγμές t=T/4, T/2, T

iii)                 Οι κυματομορφές για τα σημεία x=λ/8, λ/4, λ/2, λ

Η συνέχεια στο blogspot ή σε   ή σε 

Τα σχόλια

Σχόλιο από τον/την ΓΙΑΝΝΗΣ ΔΟΓΡΑΜΑΤΖΑΚΗΣ στις 24 Φεβρουάριος 2012 στις 12:11

BΑΓΓΕΛΗ ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ...ΠΑΙΡΝΩ ΠΡΩΤΟΣ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΓΙΑ ΝΑ ΣΟΥ ΣΤΕΙΛΩ ΤΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΜΟΥ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΑΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΟΥ…

ΜΑΖΙ ΚΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ ΘΟΔΩΡΗ ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΑΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΑΛΛΩΝ  ΑΞΙΟΛΟΓΩΝ ΣΥΝΑΔΕΛΦΩΝ ΠΙΣΤΕΥΩ ΟΤΙ ΑΡΧΙΖΕΙ ΠΙΑ ΝΑ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΚΑΠΟΙΑ ΒΑΣΗ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΑΤΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΒΓΕΙ ”ΚΑΤΙ” ΠΟΛΥ ΚΑΛΟ  ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ.

ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΠΡΟΣΥΠΟΓΡΑΨΩ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΚΕΨΕΙΣ ΣΟΥ…

”Στην προσπάθειά μας να δημιουργήσουμε ασκήσεις, οι οποίες να στέκονται ως θέματα εξετάσεων, ξεφεύγουμε από την φυσική πραγματικότητα και μελετάμε ανύπαρκτα κύματα ( εδώ θα συμφωνήσω με τον Θρασύβουλο).”

ΝΑ’ΣΑΙ ΚΑΛΑ.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 24 Φεβρουάριος 2012 στις 17:44

Βαγγέλη, συγχαρητήρια για τις δυο σημερινές αναρτήσεις σου.

Είχα γράψει πριν ένα χρόνο, με άλλη αφορμή:

«Μπορούμε να ανιχνεύουμε την «αλήθεια» όσων καλούμαστε να διδάξουμε, να ξεκαθαρίσουμε τα όρια εφαρμογής μιας θεωρίας, να διαφυλάξουμε και να αναδείξουμε τα ισχυρά σημεία ή τα σημεία αυτά που βρίσκονται συνήθως στα όρια του γκρίζου. Η συζήτηση πάνω σε ένα θέμα, σκοπό έχει την ανταλλαγή απόψεων, σκέψεων, προβληματισμών, μεταξύ συναδέλφων…»

Νομίζω ότι οι σημερινές σου αναρτήσεις, δικαιώνουν τις παραπάνω θέσεις, δικαιώνουν το ρόλο ύπαρξης του δικτύου μας. Διερεύνησες τα όρια του σωστού και του λάθους στην περίπτωση των κυμάτων και μπορούμε πλέον όλοι μας να ξέρουμε που πατάμε.

Θα μου επιτρέψεις να κάνω μια προσωπική άρα και υποκειμενική αξιολόγηση των πραγμάτων που μας παρουσίασες.

Στην ανάρτηση «Ένα αρμονικό κύμα χωρίς ασυνέχειες και κόχες» απαντάς σε ένα θέμα, που πολλές φορές είχε τεθεί, με διάφορες αφορμές, θυμάμαι για παράδειγμα ότι το είχε θέσει και ο Γιάννης Κυριακόπουλος. Ξέρω ότι και συ είχες εστιάσει στο σημείο της ασυνέχειας της ταχύτητας, πολλές φορές. Προσωπικά δεν το θεωρούσα μεγάλο μειονέκτημα, αφού είχα δηλώσει ότι εμείς μελετάμε το μαθηματικό κύμα και προφανώς, το σημείο στο οποίο φτάνει ένα κύμα, δεν θα αποκτήσει ακαριαία ταχύτητα μέγιστη,  αλλά αυτό που λέμε είναι μια καλή προσέγγιση. Η μελέτη σου σήμερα, αίρει την αντίφαση της άπειρης στιγμιαίας επιτάχυνσης, οπότε μας δίνει τη γέφυρα να περάσουμε πάνω από το κενό της θεωρίας μας. Η γραφικές παραστάσεις που κατέληξες:

νομίζω ότι μας δείχνουν τη διαφορά και το σφάλμα που κάνουμε. Είναι σημαντική η διαφορά; Εκτιμώ ότι και να μην πούμε τίποτα στους μαθητές μας, αφήνοντας τα πράγματα, όπως ήταν μέχρι σήμερα, δεν κάνουμε αμαρτία.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 24 Φεβρουάριος 2012 στις 17:46

Έρχομαι τώρα στην ανάρτηση: «Η αρχική φάση σε ένα κύμα δεν είναι πάντα αποτέλεσμα χρονικής καθυστέρησης».

Χρόνια τώρα διδάσκουμε τις ταλαντώσεις δίνοντας εξίσωση x=Αημωt, σε αντίθεση με την πλειοψηφία της ξένης βιβλιογραφίας που ξεκινούν από την εξίσωση x=Ασυνωt. Στην πράξη, βολεύει καλύτερα η εξίσωση x=Ασυνωt, αφού στις περισσότερες περιπτώσεις το σώμα ξεκινά την ταλάντωσή του από την ακραία θέση.

Ένα σώμα ισορροπεί στη Θ.Ι., το εκτρέπουμε κατά Α και κάποια στιγμή το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Λογικό και πρακτικό, οπότε και λογική συνέπεια να γράφεται η απομάκρυνση με την μορφή x=Ασυνωt ή x=Αημ(ωt+π/2), βάζοντας δηλαδή στο παιχνίδι αρχική φάση π/2.

Και ας έρθουμε τώρα στα κύματα.

Απομακρύνουμε το σημείο Ο, στη θέση x=0 κατά Α και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Είναι μια μεταφορά στα κύματα, αυτού που κάνουμε και στις ταλαντώσεις. Λογική συνέπεια φαίνεται. Μπαλώνουμε την κατάσταση, λέγοντας ότι τη στιγμή που ξεκινά το Ο την ταλάντωσή του, το κύμα ήδη έχει διαδοθεί κατά λ/4.

Το έχω διδάξει κατ΄επανάληψη έτσι, αλλά και το έχω γράψει … Μέχρι που κάποια στιγμή, τέθηκε το ερώτημα: Και γιατί να έχουν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας τους μόνο τα σημεία μέχρι τη θέση x=λ/4 και όχι και άλλα σημεία, πολύ μακρύτερα; Μεταξύ αυτών, που τουλάχιστον σε μένα το επεσήμαναν, ήταν και ο Βαγγέλης Κορφιάτης.

Έτσι το τελευταίο διάστημα προτιμούσα να μιλάω για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά και το οποίο για t=0 έχει φτάσει στη θέση x=λ/4.

Δεν είχα σκεφτεί όμως ποτέ τις παρενέργειες που προκύπτουν από την τάση μας να απομακρύνουμε το σημείο Ο και να θεωρούμε ότι ταυτόχρονα απομακρύνονται από την Θ.Ι. τα σημεία, μέχρι τη θέση x=λ/4 με βάση την εξίσωση y=Ασυν2πx/λ.

Το αποτέλεσμα της μελέτης σου, είναι για μένα συγκλονιστικό. Επισημαίνω τα δύο σου σχόλια:

«Στο μέσο διαδίδονται δύο κύματα προς αντίθετες κατευθύνσεις. Αυτό  που διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση οφείλεται στην παρουσία της «πηγής» του κύματος  και στην αρχική παραμόρφωση του μέσου. Αυτό που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση οφείλεται μόνο στην αρχική παραμόρφωση του μέσου.

Η συνάρτηση y(x,t) για δεδομένο t εμφανίζει ένα μικρό πρόβλημα κοντά στο μέτωπο του κύματος: Κοντά στο μέτωπο του κύματος συνυπάρχουν το κύμα που οφείλεται στην πηγή και το κύμα που οφείλεται στην αρχική παραμόρφωση του μέσου.»

Μετά τα σημερινά σου ευρήματα, δεν δικαιούται κανείς να ισχυριστεί ότι δεν γνώριζε και να συνεχίσει να δίνει άσκηση, λέγοντας: «Απομακρύνουμε την πηγή από τη θέση ισορροπίας και για t=0 ξεκινά να ταλαντώνεται…»

Βαγγέλη σε ευχαριστώ. Να είσαι καλά.

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 26 Φεβρουάριος 2012 στις 23:30

Καλησπέρα σε όλους. Ένα μικρό σχόλιο.

Δουλεύοντας από πέρυσι το καλοκαίρι την επίλυση της κυματικής εξίσωσης με διάφορες αρχικές συνθήκες είχα ένα μεγάλο δίλλημα: Να προτάξω την μαθηματική μου παιδεία ή την Φυσική μου  διαίσθηση. Συνειδητοποιώντας ότι δεν είχα Φυσική διαίσθηση, αποφάσισα κατά την επίλυση να προτάξω την μαθηματική μου παιδεία και εκ των υστέρων να φιλτράρω το αποτέλεσμα από την σκοπιά του Φυσικού.

Η ύπαρξη δύο κυμάτων κοντά στο μέτωπο του κύματος με ξένιζε ως Φυσικό.

Είχα ήδη διαπιστώσει πως αν παραμορφώσουμε ένα τμήμα του μέσου και τοα αφήσουμε ελεύθερο να κινηθεί διαδίδονται δύο παλμοί.

Η κυματική εξίσωση ως καλός διαδότης κάνει την δουλειά της.

Η αρχική παραμόρφωση διαδίδεται με ταχύτητα υ. Έτσι την στιγμή t έχει μεταφερθεί σε απόσταση υt. Ταυτόχρονα υπάρχει και το κύμα που “δημιουργεί η πηγή”.

Ο συνδυασμός των παραπάνω είναι ένα απλό κύμα y=Aσυν(ωt-kx) μακρυά από το μέτωπο και ένα σύνθετο κύμα κοντά σε αυτό.