Όταν ο άξονας περιστροφής δεν είναι κάθετος στην ράβδο

Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 19 Ιανουάριος 2012 και ώρα 20:47

Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους ℓ στρέφεται, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα έτσι ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα περιστροφής.

Ο άξονας περιστροφής συνδέεται με το κάτω άκρο της ράβδου με άρθρωση και με το πάνω με αβαρές οριζόντιο νήμα.

Να υπολογιστούν:

α) Η δύναμη που ασκεί το νήμα στην ράβδο

β) Η δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην ράβδο

Το πρόβλημα επιλύεται με δύο τρόπους

Ο ένας είναι εφαρμογή της έννοιας του τανυστή ροπής αδράνειας και των νόμων μεταβολής ορμής – στροφορμής.

Ο δεύτερος κάνει χρήση της φυγόκεντρου δύναμης στο σύστημα που η ράβδος ηρεμεί.

Η συνέχεια στο blogspot ή σε 

Τα σχόλια

Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 19 Ιανουάριος 2012 στις 21:37

Βαγγέλη διπλά συγχαρητήρια

Πρώτον γιατί ενώ συζητάγαμε χαλαρά περί τανυστικής φύσης της ροπής αδράνειας εσύ “έφτιαξες”  ένα συγκεκριμένο πρόβλημα που αναδεικνύει το θέμα.

Δεύτερον δεν έμεινες εκεί αλλά έλυσες το ίδιο πρόβλημα κομψότατα αξιοποιώντας τις “ξεχασμένες” αδρανειακές δυνάμεις.

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 19 Ιανουάριος 2012 στις 21:46

Βαγγέλη, όλοι οι συμμετέχοντες στο δίκτυο αυτό, έχουμε θαυμάσει τις γνώσεις σου και τις μαθηματικές ικανότητες, που σε κάθε αφορμή αναδεικνύονται. Αλλά η σημερινή σου μελέτη είναι καταπληκτική!!! Το να πω συγχαρητήρια, είναι πολύ λίγο…

Να είσαι καλά.

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 19 Ιανουάριος 2012 στις 22:02

Μπράβο Βαγγέλη.

Η παρατήρηση απρόσμενη.

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 19 Ιανουάριος 2012 στις 22:09

Επειδή μερικοί δεν ακούσαμε τίποτα για τανύσματα

υπάρχουν “απλές οδηγίες προς ναυτιλομένους”;

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 19 Ιανουάριος 2012 στις 23:01

Καλησπέρα σε όλους

Βαγγέλη, μια πρώτη προσέγγιση για τους τανυστές (δεν είναι κακό το τανύσματα) από οικεία πεδία γνώσης

Ας θεωρήσουμε ένα στερεό το οποίο κινείται έτσι ώστε ένα σημείο του ( έστω Ο) να είναι σταθερό στο χώρο. Θεωρούμε  ένα στοιχειώδες τμήμα του στερεού μάζας m και υπολογίζουμε την στροφορμή του ως προς το Ο ( τα έντονα γράμματα σημαίνουν διανύσματα)

L=m r x  υ= m r x (ω x r)

Αναλύοντας το διάνυσμα της στροφορμής σε συνιστώσες διαπιστώνουμε ότι

L_x= m(α₁₁ ω_x + α₁₂ ω_y + α₁₃ ω_z )

L_y= m(α₂₁ ω_x + α₂₂ ω_y + α_23 ωz )

L_z= m(α₃₁ ω_x + α₃₂ ω_y + α₃₃ ωz )

Οι συντελεστές α εξαρτώνται από τις συντεταγμένες του στοιχειώδους τμήματος και είναι τα στοιχεία του πίνακα στην σχέση 1α.

Επομένως η στροφορμή δεν έχει την ίδια διεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

Δεν μπορούμε να γράψουμε L=I ω

Οι τρεις παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν με συμβολισμό πινάκων ως

L=Iω όπου

L 3×1 πίνακας ( 3 γραμμές – 1 στήλη ) με στοιχεία τις συνιστώσες της στροφορμής

Ι 3×3 πίνακας ( 3 γραμμές – 3 στήλες ) με στοιχεία τα α

ω 3×1 πίνακας ( 3 γραμμές – 1 στήλη ) με στοιχεία τις συνιστώσες της ω

Άλλο παράδειγμα

Γνωρίζουμε τον νόμο του Ohm στην μορφή J=σΕ

Αυτό σημαίνει ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου έχει την ίδια διεύθυνση με την ένταση της πυκνότητας ρεύματος

Συνεπώς η πυκνότητα τρεύματος που διαρρέει τον αγωγό στον άξονα x εξαρτάται αποκλειστικά από την x συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κ.τ.λ

Αυτό είναι αληθές μόνο για ισότροπα υλικά.

Αν το υλικό είναι ανισότροπο η σχέση είναι

J_x= σ₁₁ Ε_x + σ₁₂ Ε_y + σ₁₃ Ε_z

J_y= σ₂₁ Ε_x + σ₂₂ Ε_y + σ₂₃ Ε_z

J_z= σ₃₁ Ε_x + σ₃₂ Ε_y + σ₃₃ Ε_z

Δηλαδή η πυκνότητα τρεύματος που διαρρέει τον αγωγό στον άξονα x εξαρτάται γραμμικά και από τις τρεις συνιστώσες της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

Και πάλι ο νόμος του Ohm εκφράζεται σε γλώσσα πινάκων ως J=σΕ όπου J, E 3×1 πίνακες και σ 3×3 πίνακας.

Αυτό που χαρακτηρίζει τους τανυστές είναι ο νόμος μετασχηματισμού των στοιχείων τους ως προς στροφή του συστήματος συντεταγμένων

Αν υπάρχει ενδιαφέρον μπορώ να δώσω περισσότερα στοιχεία.

Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 1:00

Βαγγέλη μπράβο. καταπληκτική δουλειά.

Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 1:24

Βαγγέλη, μια απορία. Θα μπορούσαμε να διαγωνοποιήσουμε τον τανυστή της ροπής αδράνειας για να βρούμε τους κύριους άξονες αδράνειας; (To φαντάζομαι σαν πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών και ιδιοανυσμάτων).

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 1:52

Ευχαριστώ Βαγγέλη

Θα προσπαθήσω να καταλάβω …

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 2:09

Βαγγέλη και τα δικά μου συγχαρητήρια!  Συμφωνώ με την άποψη του Διονύση 🙂
Το παράδειγμά σου είναι πολύ καλό για να φανεί ξεκάθαρα στην πράξη η χρήση του τανυστή αδράνειας.

Παραθέτω στη συνέχεια και μια μικρή … ζαβολιά (:-)) για τον υπολογισμό της L, κατευθείαν από τον ορισμό της:
Κάθε στοιχειώδες τμήμα της ράβδου, μήκους dx και μάζας dm, έχει ως προς Ο στροφορμή μέτρου:

dL = dm∙υ∙x

όπου υ = ω∙r = ω∙x∙ημφ η ταχύτητα του τμήματος.
Το διάνυσμα dL είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τη ράβδο και τις ταχύτητες όλων των στοιχειωδών τμημάτων της.

Η συνολική στροφορμή της ράβδου είναι επομένως κι αυτή κάθετη στο ίδιο επίπεδο και έχει μέτρο:

L = ∫dL = ∫dm∙υ∙x = ∫μ∙dx∙ω∙x∙ημφ∙x =μ∙ω∙ημφ∙∫x²∙dx = μ∙ω∙ημφ∙ℓ³/3

ή, αν θέσουμε μ∙ℓ = m:

L = ⅓ ∙m∙ℓ²∙ω∙ημφ

Και … αν συνεχίσουμε τις … ζαβολιές, μπορούμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής από την … περιστροφή της οριζόντιας συνιστώσας της:

dL = Lx∙dθ = L∙συνφ∙dθ  →  dL/dt = L∙συνφ∙dθ/dt  →

dL/dt = L∙ω∙συνφ,   κλπ.

(Ασφαλώς, τέτοιες λύσεις δεν είναι πάντοτε εφικτές, πρέπει να τύχει να σε … ευνοήσει η συμμετρία του προβλήματος :-))

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 7:53

Καλημέρα σε όλους. Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια.

Διονύση Μητρόπουλε πολύ καλή η παράκαμψη του τανυστή αδράνειας.

Επειδή σε μια συζήτηση που είχαμε τελευταία αναφέρθηκε ο τανυστής αυτός θέλησα να δώσω ένα απλό παράδειγμα χρήσης του.

Γιάννη Φιορεντίνε έχεις απόλυτα δίκιο.

Μάλιστα επειδή η ράβδος είναι απλή δομή ξέρουμε και το σύστημα κύριων αξόνων αδρανείας.

Ο ένας είναι ο άξονας της ράβδου και οι άλλοι δύο είναι κάθετοι σε αυτόν.

Με αυτό το σύστημα αξόνων τα γινόμενα αδρανείας μηδενίζονται. Στην περίπτωση αυτή πρέπει απλώς να αναλύσουμε την γωνιακή ταχύτητα σε δύο συνιστώσες.

Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 20 Ιανουάριος 2012 στις 12:38

Να προσθέσω και τα δικά μου ( καθυστερημένα λόγω υποχρεώσεων) συγχαρητήρια για το θέμα και την παρουσίασή του μέσω του τανυστή αδρανείας.

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 21:22

Καλησπέρα Βαγγέλη.

Περισσότερο μπερδεύτηκα με τη φράση:

“Επομένως η στροφορμή δεν έχει την ίδια διεύθυνση με την γωνιακή ταχύτητα.

Δεν μπορούμε να γράψουμε L=I ω“.

Τα διανύσματα ω και r δεν είναι κάθετα μεταξύ τους;

Άρα το διάνυσμα r x (ω x r) δεν έχει ίδια διεύθυνση και φορά με το ω;

Τι δεν βλέπω;

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 21:50

Καλησπέρα Βαγγέλη. Ένα παράδειγμα.

Θεωρούμε μια σφαίρα Σ η οποία περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα ξ συνδεδεμένη με αυτόν μέσω της ράβδου ΟΣ.

Θέλουμε να σχεδιάσουμε την στροφορμή της ως προς Ο

Δες και στην λύση την διεύθυνση της στροφορμής ως προς την άρθρωση

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 22:20

Βαγγέλη θα γίνω πιο γλαφυρός. Ένα ακραίο παράδειγμα:

Το Πάσχα σουβλίζεις αρνί στη Λακωνική γη. Η γωνιακή ταχύτητα έχει πρακτικά τη διεύθυνση της σούβλας μια και η γωνιακή ταχύτητα λόγω περιστροφής της Γης είναι γελοία.

Η στροφορμή όμως (ως προς  την προβολή του αμνού στον άξονα της Γης) έχει την διεύθυνση του άξονα της Γης μια και η στροφορμή του αρνιού είναι αμελητέα συγκρινόμενη με την τροχιακή του στροφορμή.

Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 22:30

Να συμπεριλάβω και εγώ την σούβλα στο παράδειγμά μου λέγοντας ότι η συνολική στροφορμή του αρνιού ως προς ένα σημείο του άξονα της σούβλας δεν έχει την διεύθυνση του άξονα της σούβλας διότι το αρνί δεν είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα. Το μοτεράκι που γυρίζει την σούβλα δεν το νοιάζει μόνο η προβολή της μεταβολής της στροφορμής στην σούβλα, αλλά όλη η μεταβολή της στροφορμής.

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 22:35

Σωστό Βαγγέλη. Έπρεπε να το κάνω κοκορέτσι τέλεια κυλινδρικό.

Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 22:43

Σοβαρολογώντας ήθελα να δείξω μια τεράστια διαφορά μεταξύ ω και L.

Ένας περιστρεφόμενος δίσκος θα ήταν καλύτερο παράδειγμα.

Δες και εδώ μια παλιότερη συζήτηση.

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 21 Ιανουάριος 2012 στις 23:30

Τώρα μάλιστα!

Ελήφθη.

Ευχαριστώ Βαγγέλη και Γιάννη.

Διάβαζα: “Ας θεωρήσουμε ένα στερεό το οποίο κινείται έτσι ώστε ένα σημείο του ( έστω Ο) να είναι σταθερό στο χώρο” και μετέφραζα “περιστρέφεται γύρω από ένα…”

(άκουσα ότι φέτος σε κάθε γειτονιά ένας μόνο θα έχει χρήματα να σουβλίσει αρνί, οι υπόλοιποι θα πληρώνουν ένα πολύ μικρό εισιτήριο και θα κάθονται κυκλικά να …βλέπουν)

Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 22 Ιανουάριος 2012 στις 0:46

Βαγγέλη (Κουντ) σαν συμπλήρωμα σε όσα παραπάνω έγραψαν ο έτερος Βαγγέλη (Κορφ) και ο Γιάννης (Κυρ) δες μια παλιότερη ανάρτηση με κλικ εδώ, κυρίως το 3ο παράδειγμα.

Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 22 Ιανουάριος 2012 στις 9:22

Ευχαριστώ Διονύση.

Αναλυτικότατη

(και πιο συνηθισμένη από την …”ανάποδη” του Βαγγέλη)