by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 2 Απρίλιος 2012 και ώρα 22:45
Η άσκηση, που ακολουθεί, είναι παραλλαγή της άσκησης 4.70 του σχολικού βιβλίου.
Στην άσκηση του σχολικού βιβλίου η σανίδα είναι λεπτή με αποτέλεσμα οι ροπές των τριβών ως προς το κέντρο μάζας να είναι αμελητέες. Ως αποτέλεσμα προσωπικής συζήτησης με τον Νίκο Ανδρεάδη, προέκυψε η συγκκριμένη έκδοση του προβλήματος.
Η άσκηση αφιερώνεται στον Νίκο Ανδρεάδη, ο οποίος είναι ουσιαστικά ο εμπνευστής της.
ΑΣΚΗΣΗ
Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση 2d. Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή δοκό Δ μάζας m και ύψους 2h πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το μέσον της απόστασης Κ1Κ2. Με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή, όπως δείχνει το σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ανάμεσα στη δοκό και στους κυλίνδρους είναι μ. Απομακρύνουμε την δοκό από την θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί
- i) Να αποδείξετε ότι για μικρές τιμές του ύψους της δοκού και της αρχικής απομάκρυνσης, η δοκός εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
- ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ύψους της δοκού ώστε αυτή να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Η συνέχεια στο blogspot ή 
ή
Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο
Τα σχόλια
Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 2 Απρίλιος 2012 στις 23:53
Βαγγέλη ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση αυτής της εξαιρετικής ανάρτησης που βάζει τα πράγματα στη θέση τους.
Εμπνευστές ιδεών είναι όλο το ylikonet!!!
Κάποιες παρατηρήσεις:
α. το σχολικό αναφέρει “ισοπαχή ομογενή σανίδα” και όχι “πολύ λεπτή σανίδα” και… τη λύνει ως “πολύ λεπτή σανίδα”… με το σχήμα να δείχνει “σανίδα με πάχος”!!!
β. στη λύση προτείνω να τονίσεις ότι είναι “υποχρεωτική” η επιλογή του cm επειδή η σανίδα μόνο μεταφέρεται.
γ. στην αρχή της 3ης σελίδας διόρθωσε το d<μ.
δ. Προτείνω να στείλουμε τη λύση στους αρμόδιους ώστε να τη συμπεριλάβουν στη βελτιωμένη έκδοση του βιβλίου και των λύσεων που θα κυκλοφορήσουν και φέτος 🙂
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 3 Απρίλιος 2012 στις 0:03
Μπράβο Βαγγέλη για τη μελέτη σου. Όντως βάζεις τα πράγματα στη θέση τους!
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 3 Απρίλιος 2012 στις 0:11
Νίκο ΟΚ. Οι διορθώσεις έγιναν.
Συμφωνώ με την αποστολή της εκδοχής αυτής στους αρμοδίους.
Άλλωστε δεν είναι πολύ δυσκολότερη από την εκδοχή της πολύ λεπτής σανίδας.
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 3 Απρίλιος 2012 στις 22:33
Βαγγέλη
λεπτομερής ανάλυση και όχι άρπα κόλλα. Μπράβο. Εκεί στους εκθέτες στην τελευταία σχέση σου έφυγαν τα i;
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 3 Απρίλιος 2012 στις 23:08
Καλησπέρα Μανώλη. Δεν μου ξέφυγαν τα i.
Στην περίπτωση που αναφέρεται η τελευταία σχέση, ισχύει η σχέση ΣF=+mω2x
Η λύση της διαφορικής δεν είναι ημίτονα και συνημίτονα αλλά υπερβολικά ημίτονα και υπερβολικά συνημίτονα.
Μαθηματικά αυτός είναι ο λόγος που φεύγει επιταχυνόμενη.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 4 Απρίλιος 2012 στις 3:33
Βαγγέλη συγχαρητήρια!
Ήταν πολύ απρόσμενη αυτή η … εκδοχή της άσκησης.
Χρόνια τη βλέπω μπροστά μου, την έχουμε συζητήσει ένα σωρό φορές με άλλη αφορμή (αν μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε ΑΑΤ), αλλά ποτέ δεν μου πέρασε η εκδοχή αυτή απ’ το μυαλό!
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 10:07
Βαγγέλη εσένα δε σου ξέφυγαν, εγώ ξέφυγα! Άλλωστε παραξενεύμε με τον εαυτό μου που δεν υποψιάστηκα ότι αν ήταν όπως το έλεγα γιατί να χρησιμοποιείσεις αυτή τη γραφή και να μη βάλεις Ασυνωt. Πρόλαβε ο Φιορεντίνος o Γιάννης και με επανέφερε στην “τάξη” με email.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 4 Απρίλιος 2012 στις 10:44
Διονύση Μητρόπουλε. Με βάζεις σε πειρασμό.
Τι είδους ενστάσεις υπάρχουν για το αν πρέπει να χαρακτηριστεί α.α.τ;
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 4 Απρίλιος 2012 στις 12:43
Καλημέρα Βαγγέλη, περίμενα ότι θα αναρωτηθείς 🙂
Είχαν γίνει αρκετές συζητήσεις σχετικά με την αατ, εστιάζοντας όχι στο “αρμονική” που σχετίζεται με τη μαθηματική περιγραφή της κίνησης, αλλά στο “απλή“.
Επιγραμματικά, το θέμα ήταν αν μπορούμε να χαρακτηρίσουμε “απλή αρμονική ταλάντωση” οποιαδήποτε κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση x=Αημ(ωt+φ), ή μήπως το “απλή” σημαίνει κάτι περισσότερο.
Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή ασκείται στο υλικό σημείο m μια δύναμη F=-Dx αναλλοίωτη χρονικά και μπορούμε να μιλάμε για δυναμική ενέργεια dU=-Fdx και για διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Αυτό σημαίνει πρακτικά ταλαντούμενο σύστημα όπου η δύναμη επαναφοράς Fολ=-Dx είναι συνισταμένη συντηρητικών δυνάμεων.
Ένα σύστημα ελατηρίου-σώματος π.χ. αποτελεί ικανοποιητική προσέγγιση του πρότυπου του απλού αρμονικού ταλαντωτή.
Όταν όμως υπεισέρχονται δυνάμεις τριβής ολίσθησης όπως στην περίπτωση αυτής της άσκησης, ή γενικότερα μη συντηρητικές δυνάμεις όπως αυτές που ασκούνται π.χ. στο πιστόνι ενός κινητήρα, τότε παρόλο που η κίνηση είναι ημιτονοειδής, δεν έχουμε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.
Η σχέση ½mυ²+½Dx²=½DA² έχει πλέον μαθηματικό αλλά όχι φυσικό περιεχόμενο και η παράσταση D=mω² δεν αντιστοιχεί σε κάποια φυσική ιδιότητα του συστήματος (όπως π.χ. η σταθερά k ενός ελατηρίου).
Καταλήξαμε λοιπόν με κόπο (και κάπως … σιωπηρά) να αποφεύγουμε τον όρο “απλή” σε συστήματα που δεν έχουμε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.
Κατά τη συζήτηση προέκυψε και μία “γκρίζα” περιοχή:
Τί γίνεται στην περίπτωση δυνάμεων όπως η στατική τριβή, δυνάμεις σύνδεσης / στήριξης, τάση νήματος, κλπ. που μεταφέρουν απλώς ενέργεια από το ένα σώμα στο άλλο.
Ας υποθέσουμε π.χ. ένα κατακόρυφο ελατήριο k με δίσκο M στερεωμένο, και πάνω του ένα σώμα m. Το σώμα (Μ+m) εκτελεί αατ με τη βοήθεια του ελατηρίου. Είναι όμως αατ η κίνηση του m αν το δούμε μόνο του;
Αυστηρά μιλώντας, η συνισταμένη Ν-mg δεν μπορεί να χαρακτηριστεί συντηρητική.
Υπό ευρύτερη οπτική γωνία, η Ν μεταφέρει ενέργεια χωρίς να συμβαίνει υποβάθμιση.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 12:46
Δεν σε βάζει σε κανένα πειρασμό Βαγγέλη ο Διονύσης. Είχα σκεφτεί να το γράψω και γω, αλλά το απέφυγα.
Την περσινή χρονιά είχε γίνει μια μεγάλη συζήτηση, για το ποια ταλάντωση δικαιούται να ονομάζεται ΑΑΤ και ποια όχι. Μπορείς να την παρακολουθήσεις από εδώ, οπότε είχαμε εστιάσει στον χαρακτηρισμό και αν η συνισταμένη δύναμη, είναι μια χωροεξαρτώμενη δύναμη επαναφοράς και δεν είχαμε καθόλου δει, τι συμβαίνει αν αλλάξει το ύψος της σανίδας.
Και με την ευκαιρία, μπράβο για την παραπάνω μελέτη σου, φωτίζει ένα σημείο, που κανείς δεν το είχε μελετήσει πριν (τουλάχιστον από ό,τι γνωρίζω).
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 12:46
Διονύση, πάλι γράφαμε μαζί!!!
Σχόλιο από τον/την Βαγγέλης Κουντούρης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 14:47
Εξαιρετική δουλειά Βαγγέλη!
“Καινά”, (αλλά σωστά) “δαιμόνια”
(επαναφέρω τη πρόταση, που κατέθεσα και πέρυσι, για τον όρο:
απλή γραμμική αρμονική ταλάντωση)
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 19:23
Για πλάκα.
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:07
Γιάννη είσαι καταπληκτικός!
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:19
Συμφωνώ με τον Γιάννη (Φ)
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:32
Παιδιά τόσα χρόνια δεν είχα αντιληφθεί το θέμα καθόλου.
Είναι δε άσκηση που κυκλοφορούσε πριν την εποχή των Δεσμών.
Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:38
Η άσκηση είναι πιό παλιά.
Σαν υποψήφιος την είχα διδαχθεί στο Φροντιστήριο του Σαββαΐδη (1977).
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:47
Επομένως εντοπίσαμε πότε κυκλοφόρησε. Μεταξύ 75 και 77 μια και εγώ (επίσης στου Σαββαΐδη το 75 την είδα αργότερα)
Σχόλιο από τον/την Νίκος Ανδρεάδης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 21:53
Με τη ευκαιρία να γράψω ότι για να χαρακτηριστεί ένα σύστημα απλός αρμονικός ταλαντωτής, δεν φτάνει να “φαίνεται” ότι είναι απλός αρμονικός ταλαντωτής με βάση τη κινηματική σχέση x = A ημωt, αλλά πρέπει και να συμπεριφέρεται ως απλός αρμονικός ταλαντωτής.
Δηλ. αν ένα σύστημα που “φαίνεται” να είναι απλός αρμονικός ταλαντωτής, μια επίδραση όπως π.χ. μια κρούση το “διαλύσει” τότε δεν είναι απλός αρμονικός ταλαντωτής.
Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής απαιτεί χωροεξαρτώμενη συνισταμένη δύναμη της μορφής -Dx. Αν κάποιες χρονοεξαρτώμενες δυνάμεις ασκούν συγκυριακά συνισταμένη δύναμη -Dx, δεν σημαίνει ότι το σύστημα είναι απλός αρμονικός ταλαντωτής.
Το “κερασάκι” του Γιάννη όπως πάντα, πολύ καλό.
Σχόλιο από τον/την Φραγκιαδουλάκης Εμμανουήλ στις 4 Απρίλιος 2012 στις 22:05
Εντυπωσιακή επέκταση!!!!Συγχαρητήρια Δημήτρη
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 22:12
Παιδιά και εγώ θυμάμαι στο περίπου κάτι ανάλογο με αυτή την άσκηση, που κάναμε στο “Θετικό” σαν υποψήφιος το 1976.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 4 Απρίλιος 2012 στις 22:16
Δεν τσιμπάμε Νίκο. Το συζητήσαμε τότε.
