Διερεύνηση αποτελέσματος συμβολής – 2ο θέμα

Δημοσιεύτηκε από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 2 Μάιος 2013 και ώρα 15:06

Δυο όμοιες σύγχρονες πηγές Π1 , Π2  εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων,  βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα της  επιφάνειας ενός  υγρού και παράγουν  κύματα σταθερού πλάτους και χωρίς αρχική φάση με μήκος κύματος λ = 2α ,  και ΚΛ = 3α όπου α > 0 .

Δυο σημεία Β , Δ της επιφάνειας του υγρού βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας που ενώνει τις πηγές όπως φαίνεται στο σχήμα με

(ΚΒ) – (ΛΒ) = (ΚΔ) – (ΛΔ ) = – α.

Μετά τη συμβολή των κυμάτων,  στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ υπάρχουν

Η συνέχεια στο blogspot

 

Τα σχόλια

 

%ce%ba%ce%b1%cf%84%ce%b1%ce%b3%cf%81%ce%b1%cf%86%ce%aeΣχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 2 Μάιος 2013 στις 17:06

Μπράβο Μανώλη. Πολύ καλά κάνεις που επισημαίνεις την εκφυλισμένη υπερβολή που οδηγεί στην ημιευθεία στην προέκταση των δύο πηγών. Καλή Ανάσταση Μανώλη.

Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 2 Μάιος 2013 στις 17:42

Ευχαριστώ Διονύση.

Καλό Πάσχα και καλή Ανάσταση.

a3Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 3 Μάιος 2013 στις 11:42

Καλημέρα συνάδελφοι. ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Μανώλη πολύ καλή η ιδέα

Μια μικρή διόρθωση και μια ένσταση

Στην 3η γραμμή της 3ης σελίδας γράφεις:

«Αφού όμως τα σημεία Γ, Δ βρίσκονται σε κλάδο υπερβολής με Ν = -1»

Μάλλον εννοείς τα σημεία Β και Δ.

Το Γ εμφανίζεται παρακάτω.

Η ένσταση τώρα

Από την ανισότητα στο τέλος της 2ης σελίδας, καταλήγεις για το Ν στην ανισότητα |Ν|≤3.

Συμπεραίνεις ότι το Ν παίρνει ακριβώς 7 τιμές.

Επειδή η ανισότητα Ν|≤3 είναι αναγκαία σχέση το μόνο συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε είναι ότι το Ν παίρνει το πολύ 7 τιμές.

Δεν είμαστε σίγουροι ότι ισχύει το αντίστροφο.

Την ίδια ένσταση έχω με την συνήθη λύση για το πλήθος των σημείων ενίσχυσης στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ.

Συνήθως γράφουμε ότι:

Ισχύει ότι |r1-r2|≤ (ΚΛ) => |Νλ| ≤3α => |Ν| ≤ 3/2 .

Επομένως το N παίρνει τις τιμές -1, 0, 1.

Κανονικά η λύση αυτή είναι λάθος.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι πάντα δίνει το σωστό αποτέλεσμα.

Όμως τυπικά είναι ελλιπής.

Προσωπικά θεωρώ σωστή την επόμενη:

Έστω Σ σημείο ενίσχυσης που βρίσκεται στο τμήμα ΚΛ.

Αν r1, r2 οι αποστάσεις του από τα ΚΛ τότε r2=3α –r1

Για να είναι σημείο ενίσχυσης πρέπει και αρκεί

r1-r2=Nλ  ó 2r1 -3α =2Να ó r1 =(2Nα+3α)/2.

Πρέπει  και αρκεί 0≤r1≤3α ó -3/2 ≤ Ν ≤ 3/2.

Στο πρόβλημα που έθεσες τώρα.

Έστω ότι η υπερβολή απόσβεσης που περνά από τα Β και Δ τέμνει το ΚΛ στο σημείο Ζ.

Για να υπάρχει σημείο ενίσχυσης Σ (διφορετικό του Γ) στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ θα πρέπει η υπερβολή ενίσχυσης η διερχόμενη από το Σ να τέμνει το ΚΛ αριστερά του Ζ και δεξιά του Κ.

Μελετώντας λοιπόν τα σημεία ενίσχυσης ( απόσβεσης) του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα και για τα σημεία ενίσχυσης ( απόσβεσης) του ΒΔ.

Το Γ το μελετάμε μόνο του και διαπιστώνουμε ότι είναι σημείο απόσβεσης.

Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 3 Μάιος 2013 στις 12:15

Συνάδελφε Βαγγέλη καλημέρα.

Χρόνια πολλά και …καλλίτερα.

Έγινε η διόρθωση ευχαριστώ.

Συνήθως τα τυπογραφικά μας λάθη κι όχι μόνο,  τα βλέπουν οι άλλοι.

Επί της ουσίας , “γηράσκω αεί διδασκόμενος”.

Απ’ ότι κατάλαβα η ένσταση σου δεν είναι  στο αποτέλεσμα αλλά στη διαδικασία  που ακολουθούμε συνήθως  για να φτάσουμε σ’ αυτό.

Η λύση που προτείνεις είναι ασφαλώς μια άλλη λύση,  αλλά δεν κατάλαβα  γιατί είναι λάθος η λύση με τη χρήση της τριγωνικής ανισότητας.

Ως καλός συνάδελφος λοιπόν που είσαι , θα ήθελα να μου το εξηγήσεις αναλυτικά ,  γιατί μέχρι τώρα από μαθητής  και γέρασα,  τη δουλεύω ως εναλλακτική μέθοδο χωρίς …ντροπή.

Θα ήθελα επίσης την άποψή σου για την βαθμολογία μιας τέτοιας λύσης στις εξετάσεις, δεδομένου ότι σε πολλά βιβλία αλλά και σε πανεπιστημιακά ακόμη την έχω δει.

Όχι τη συγκεκριμένη άσκηση αλλά τη μέθοδο.

1020144544Σχόλιο από τον/την παρτσαλίδης μπάμπης στις 3 Μάιος 2013 στις 14:20

Ας προτείνω κι εγώ μια λύση :

Για το Κ (όπως και για όλα τα σημεία αριστερά του) ισχύει Δr=(2Ν+1)λ/2 ή -3α=(2Ν+1)2α/2 και τελικά Ν=-2. Δηλαδή ανήκουν στην εκφυλισμένη αποσβετική υπερβολή για Ν=-2 . Τα Β και Δ ανήκουν στην αποσβετική υπερβολή για Ν=-1 (όπως απέδειξες). Προφανώς πάνω στο ΒΔ δεν υπάρχουν άλλα ακίνητα σημεία , όμως υπάρχουν 2 ενισχυτικά αυτά που ανήκουν στην ενισχυτική υπερβολή για Ν=-1 αφού αυτό υπαγορεύει η ακολουθία των κροσσών συμβολής.

Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 3 Μάιος 2013 στις 14:50

Συνάδελφε Μπάμπη , πολύ ωραία η λύση που προτείνεις.

Νάσαι καλά.

a3Σχόλιο από τον/την Κορφιάτης Ευάγγελος στις 3 Μάιος 2013 στις 21:03

Καλησπέρα Μανώλη.

Μια μικρή διευκρίνιση επί της προηγούμενης θέσης μου.

Ανήκουμε σε εκείνη την γενιά επιστημόνων που ως μαθητές μάθαμε να σεβόμαστε την έννοια της ισοδυναμίας. Η Ευκλείδια γεωμετρία ήταν καθοριστικός παιδαγωγός.

Σε ένα πρόβλημα κατασκευής ή γεωμετρικού τόπου η παράλειψη του αντιστρόφου  επέσειε ποινή.

Όταν λύνουμε μια εξίσωση τότε είμαστε υποχρεωμένοι να τηρήσουμε ισοδυναμία.

Αν σε κάποιο σημείο αναγκαστούμε να χρησιμοποιήσουμε απλή συνεπαγωγή τότε είμαστε καχύποπτοι ως προς το αποτέλεσμα. Η απλή συνεπαγωγή πιθανόν  να γεννήσει λύσεις που δεν υπάρχουν.

Ουσιαστικά η ένστασή μου δεν έχει άμεση σχέση με την συμβολή αλλά με την γεωμετρία.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σημεία Β , Γ του επιπέδου απέχοντα α.

Έστω Α τρίτο σημείο το οποίο απέχει από τα Β και Γ αποστάσεις γ , β.

Ισχύει ότι |β-γ| ≤ α.

1) Έστω τώρα δύο ευθύγραμμα τμήματα β και γ τέτοια ώστε |β-γ| ≤ α.

Υπάρχει πάντα σημείο Α απέχον από τα Β και Γ αποστάσεις γ και β;

Η απάντηση είναι αρνητική.

2) Έστω δ ευθύγραμμο τμήμα με δ≤α. Υπάρχει σημείο Α απέχον από τα Β , Γ κατά γ, β τέτοια ώστε |β-γ|=δ;

Η απάντηση είναι θετική και έχει άπειρες λύσεις ( εν γένει υπερβολές).

Η περίπτωση που εμφανίζεται στην συμβολή είναι προφανώς η 2)

Για τον λόγο αυτό η λύση στην οποία ενίσταμαι δίνει πάντα σωστό αποτέλεσμα.

Για λόγους πληρότητας θα περίμενα την εξής διατύπωση στην άσκησή σου ( την οποία ασυζητητί θα «κλέψω»).

Έστω Σ σημείο ενίσχυσης ή απόσβεσης . Ισχύει ότι ….|Ν|≤3.

Αντιστρόφως έστω Ν με |Ν|≤3. Άρα |Ν λ/2|≤3α.

Επομένως υπάρχει ακριβώς ένα σημείο του ΚΛ τέτοιο ώστε r1-r2=Νλ/2.

………

Τέλος να επισημάνω ότι στο πλαίσιο της αλληλεπίδρασης με τους μαθητές μας, θεωρώ το αντίστροφο απολύτως απαραίτητο για λόγους εκπαίδευσης.

 

Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 4 Μάιος 2013 στις 0:31

Βαγγέλη καλησπέρα.

Κατάλαβα τι εννοείς.

Καταπιάνεσαι με τη «λεπτή χροιά»  του θέματος και καλά κάνεις.

Μια ιδέα που είχα όταν έγραφα τη λύση , ήταν να χρησιμοποιήσω την τριγωνική ανισότητα χωρίς το ίσον και να διερευνήσω στη συνέχεια , αν υπάρχει εκφυλισμένη υπερβολή.

Δεν το προτίμησα για λόγους οικονομίας  στην έκφραση.

Σχετικά με το αντίστροφο, έχεις δίκιο,  αλλά όπως γνωρίζεις,  οι διπλές συνεπαγωγές ακόμη και οι απλές  έχουν καταργηθεί από τα νέα βιβλία και κανείς δεν μπαίνει στον κόπο να ψάξει αν κάτι που ισχύει , ισχύει και αντίστροφα.

Αυστηρά μαθηματικά λοιπόν σκεπτόμενοι,   συμφωνούμε.

Θα μου επιτρέψεις όμως , για την ώρα , να κρατήσω τη συγκεκριμένη διατύπωση  που είναι μια από τις συνήθεις που αναγνωρίζουν οι μαθητές , άλλωστε ή μη διερεύνηση του αντιστρόφου δεν δημιουργεί πρόβλημα επί τοις ουσίας,   και όποιος αξιοποιήσει τη συγκεκριμένη ανάρτηση,  ας αξιοποιήσει και τις παρατηρήσεις σου, όπως θα κάνω κι εγώ στο μέλλον.

 

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
0 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια