Κύλιση ή ολίσθηση;

Δημοσιεύτηκε από το χρήστη Γιώργος Γεωργαντάς στις 11 Μάιος 2013 στις 21:50 στην κατηγορία Θέματα Φυσικής

Φίλος μου έστειλε μια άσκηση με τη λύση της, από πανεπιστημιακό βιβλίο. Μήπως υπάρχει κάτι που μας διαφεύγει;

Κύλινδρος μάζας m=4 Kg και ακτίνας R=0,2 m, υπό την επίδραση δύναμης F=18 N ξεκινάει από την ηρεμία και κυλίεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,2. Να περιγραφεί η κίνηση του κυλίνδρου, να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης και να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις a_K και ω΄ μεταξύ μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης. Επίσης να υπολογιστούν οι αντίστοιχες ταχύτητες υ_Κ και ω μετά από χρόνο t=8 s. Πόση είναι η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου; Να την υπολογίσετε α) ως άθροισμα μεταφορικής και περιστροφικής κινητικής ενέργειας και β) ως αποτέλεσμα του έργου των δυνάμεων και των ροπών των δυνάμεων. Η τριβή προκαλεί μόνον απώλεια ενέργειας ή παράγει και έργο; Πόση είναι τελικά η απώλεια ενέργειας εξαιτίας της τριβής; Δικαιολογήστε το αποτέλεσμα, Ι=mR²/2.

            Λύση: Ο κύλινδρος κάνει μεταφορική και περιστροφική κίνηση με τον άξονα να περνάει από το κμ Κ. Η δύναμη F προκαλεί ολίσθηση του κυλίνδρου και αναφαίνεται τριβή ολίσθησης f αντίθετης φοράς (σχήμα), της οποίας όμως η ροπή ως προς τον άξονα του κυλίνδρου προκαλεί την περιστροφή του. Η τιμή της τριβής και της ροπής αδράνειας είναι

f = μΝ = μmg = 0,2 x 4 x 9,8=7,84 N,     I=…=0,08 Kgm².

Ύστερα από τα παραπάνω οι εξισώσεις για τη μεταφορική κίνηση του κμ Κ και την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου είναι αντίστοιχα

            F – f = ma_K                 και       f R = Iω΄.

Άρα

            a_K = …= 2,54 m/s²

            ω΄ = …= 19,6 rad/s².

Παρατηρούμε ότι οι επιταχύνσεις είναι σταθερές, αλλά από την έναρξη της κίνησης είναι

a_K = 2,54 m/s² ≠ ω΄R=3,92 m/s²

και επομένως ο κύλινδρος θα κυλάει ολισθαίνοντας ταυτόχρονα.

Αυτή η επίπεδη κίνηση περιγράφεται με τις εξισώσεις της μεταφορικής κίνησης

                        υ_Κ = a_Kt,                      s_K = ½ a_Kt²

καθώς και της περιστροφικής κίνησης

                        ω=ω΄t,                        s_π=φR=½ ω΄t²R

Παρατηρούμε πάλι ότι υ_Κ < ωR και η μεταφορική κίνηση υστερεί της περιστροφικής.

Ύστερα από χρόνο t=8 s οι τιμές των αντίστοιχων μεγεθών είναι

υ_Κ = …=20,32 m/s                  s_K = … = 81,28 m           (α)

και ω = 156,8 rad/s,                s_π = … = 125,44 m        (β)

Την ίδια χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια βρίσκεται από το άθροισμα μεταφορικής και περιστροφικής ενέργειας, δηλαδή

Τ= …=1809,25 J

Την κινητική ενέργεια μπορούμε να την υπολογίσουμε και από το έργο των δυνάμεων και ροπών. Κατά τη μεταφορική κίνηση οι δυνάμεις παράγουν έργο

W_K = (F – f) s_K = … =825,80 J                                  (γ)

Ενώ το συνολικό έργο της ροπής περιστροφής είναι

W_π = Mφ= fRφ = fs_π=… = 983,45 J                            (δ)

Το συνολικό έργο μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια,

T = W_K + W_π = … = 1809,25 J

Από τις εξισώσεις (γ) και (δ) φαίνεται ότι η τριβή παρουσιάζει ανθιστάμενο έργο στη μεταφορική κίνηση, που εκφράζει και την απώλεια της μηχανικής ενέργειας, ενώ παράγει έργο κατά την περιστροφική κίνηση. Πράγματι το έργο της τριβής δίνεται από το γινόμενο της επί το διάστημα ολίσθησης, δηλαδή

W_τρ= f (s_π – s_K) = … = 346,21 J > 0

Ώστε τελικά η τριβή παράγει έργο που αυξάνει την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου.