by 
Σώμα Σ1 μάζας m = 2 kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά k = 100 N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο ακλόνητα. Κάποια στιγμή τοποθετούμε, με μηδενική αρχική ταχύτητα, πάνω στο σώμα Σ1 ένα δεύτερο σώμα Σ2 ίσης μάζας. Το συσσωμάτωμα εκτελεί α. α. τ. με σταθερά επαναφοράς ίση με τη σταθερά του ελατηρίου. Την ίδια χρονική στιγμή, από κάποια απόσταση πάνω από τα δύο σώματα, αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί μια μπαλίτσα αμελητέων διαστάσεων. Λίγο μετά η μπαλίτσα συγκρούεται με το συσσωμάτωμα μετωπικά και αναπηδά προς τα πάνω, ενώ το συσσωμάτωμα αμέσως μετά τη σύγκρουσή τους σταματά να κινείται παραμένοντας μόνιμα στο σημείο που έγινε η κρούση. Τα μέτρα των ταχυτήτων της μπαλίτσας πριν την κρούση υ1, και μετά την κρούση υ2, συνδέονται με τη σχέση υ2 = υ1/2.
i) Ποια η ταχύτητα του συσσωματώματος τη στιγμή που αρχίζει η κρούση.
ii) Ποια η μικρότερη απόσταση, από τη θέση της κρούσης, που πρέπει ν’ αφήσουμε τη μπαλίτσα ώστε μετά την κρούση το συσσωμάτωμα να παραμείνει μόνιμα ακίνητο;
iii) Ποιο είδος μετωπικής κρούσης έχουμε; Να υπολογίσετε τη μάζα της μπαλίτσας.
iv) Να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ2 από το σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και σε συνάρτηση της χρονικής στιγμής κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.
Θεωρείστε t = 0 τη στιγμή που αρχίζει η ταλάντωση.
Τη μπαλίτσα μετά την κρούση την πιάνουμε ώστε τα σώματα να μην συγκρουστούν ξανά. Θεωρείστε για την ταλάντωση θετική φορά αντίρροπη του βάρους.
Δίνονται: g = 10 m/s2, π2 = 10.
ή
ταλαντωσηκαιανελαστικηκρουση.docx
ταλαντωσηκαιανελαστικηκρουση.doc
Σχόλιο από τον/την Εμμανουήλ Λαμπράκης στις 19 Ιούλιος 2013 στις 18:23
Δημήτρη καλησπέρα
Το πρόβλημα είναι εξαιρετικά
όμορφα φτιαγμένο από σένα. Συγχαρητήρια.Είναι 100% στο πνεύμα των Πανελλαδικών.
Το iv) ερώτημα μου άρεσε πάρα πολύ.
Σχόλιο από τον/την Πάλμος Δημήτρης στις 19 Ιούλιος 2013 στις 21:03
Μανώλη καλησπέρα
Ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια. Ειλικρινά χαίρομαι που επιτέλους ισχύει και για μένα, “το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους”.
Σχόλιο από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 20 Ιούλιος 2013 στις 0:34
Καλησπέρα συνάδελφε Δημήτρη.
Εξαιρετική σύνθεση που εξετάζει και την προετοιμασία και τη φυσική σκέψη…
Συγχαρητήρια
Ευχαριστούμε που μοιράστηκες μαζί μας την ιδέα και την αυτού του προβλήματος
Αν όμως δινόταν ως θέμα πανελληνίων θα μπορούσαμε να γκρινιάξουμε ( αν όχι εμείς πάντως κάποιοι ) για τους απειρισμούς που προκαλεί το ακαριαίο ( Δt=0 ) της κρούσης που σαφώς υποδηλώνεται ( αντίφαση του σαφώς με το υπό ;)…Όμως η διδακτική απαιτεί και τέτοιες αφαιρέσεις και προσεγγίσεις.
Σχόλιο από τον/την Παπασγουρίδης Θοδωρής στις 20 Ιούλιος 2013 στις 1:22
Μπράβο Δημήτρη, ωραία σύνθεση και εξαιρετική η σύλληψη της διατύπωσης:
«Λίγο μετά η μπαλίτσα συγκρούεται με το συσσωμάτωμα μετωπικά και αναπηδά προς τα πάνω, ενώ το συσσωμάτωμα αμέσως μετά τη σύγκρουσή τους σταματά να κινείται
παραμένοντας μόνιμα στο σημείο που έγινε η κρούση»
Ο καλύτερος τρόπος να εξετάσεις την κατανόηση της διατήρησης της ορμής του
συστήματος.
Θα μου επιτρέψεις όμως μερικές παρατηρήσεις….
Εννοιολογικά το ερώτημα (δ) πρέπει να προηγείται όλων των άλλων. Στην αντίθετη
περίπτωση θυμίζει τις πανελλαδικές του 2011, όπου στο Δ4 υπήρχε άλλη άσκηση,
άσχετη με τα Δ2 και Δ3.
Επίσης για να αποδείξεις ότι η κρούση είναι ανελαστική, στα «μουλωχτά» εισάγεις το
συντελεστή κρούσης ή θεωρείς δεδομένο ότι στην ελαστική κρούση, οι διαφορές
ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση είναι αντίθετες…..Νομίζω ότι δε δικαιούμαστε
να κάνουμε κάτι τέτοιο.
Επειδή όμως είμαστε φίλοι και ξέρω ότι θες να ακούς τη γνώμη του άλλου, χωρίς «λειάνσεις», θα διαφωνήσω στην παρουσίαση του (δ) ερωτήματος.
Είμαστε σίγουροι Δημήτρη ότι το Σ2 εκτελεί ΑΑΤ; Έχουμε ξεκαθαρίσει ότι η συνισταμένη
βάρους και δύναμης επαφής είναι συντηρητική δύναμη;
Αν υπάρχουν βάσιμες αμφιβολίες γι αυτό, που κατά τη γνώμη μου υπάρχουν, καλό θα
είναι να μη χρησιμοποιούμε έννοιες όπως η σταθερά επαναφοράς D2 του Σ2…. Ας μη δίνουμε «συγχωροχάρτι» στην κάκιστη διατύπωση του Δ2 του 2012….Ας αφήσουμε τέτοιες διατυπώσεις σε όσους δεν έχουν πρόβλημα να κάνουν «λάστιχο» την έννοια της ΑΑΤ….
Είναι προτιμότερο Δημήτρη να εφαρμόσεις απλά το 2ο Νόμο Νεύτωνα για το Σ2:
ΣF=B–N=ma όπου α=-(ω^2)χ αφού το Σ2 «ακολουθεί» την ΑΑΤ του συσσωματώματος…..
Ακολουθεί, αλλά δεν εκτελεί…..
Η κίνηση του Σ2 είναι στα σίγουρα αρμονική ταλάντωση και αυτό μας φτάνει…..
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 20 Ιούλιος 2013 στις 8:31
Καλημέρα Δημήτρη. Καλή αρχή στις αναρτήσεις σου.
Και κάνοντας είσοδο με μια τόσο καλά δομημένη και όμορφη άσκηση, έχουμε δικαίωμα να ελπίζουμε σε μια εξίσου όμορφη συνέχεια.
Σχόλιο από τον/την Γιάννης Αγγελόπουλος στις 20 Ιούλιος 2013 στις 21:25
πολύ δυνατή άσκηση
Σχόλιο από τον/την Μαστροδήμος Πανταζής στις 21 Ιούλιος 2013 στις 14:35
Δημήτρη Εκπληκτική άσκηση δυστυχώς κάηκε για τις Πανελλαδικές!
Σχόλιο από τον/την Πάλμος Δημήτρης στις 22 Ιούλιος 2013 στις 14:55
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Είναι τιμή για μένα τα σχόλια σας.
Δημήτρη, ο κόσμος είναι γεμάτος γκρινιάρηδες, ας γκρινιάξουν και λίγο δεν πειράζει.
Διονύση, χάρηκα πολύ με το σχόλιο σου, θα προσπαθήσω.
Θοδωρή, διάβασα με προσοχή τις παρατηρήσεις σου. Έχεις δίκιο, ποτέ δε με ενόχλησε η κριτική ειδικά από ανθρώπους που σέβομαι και είναι φίλοι όπως εσύ.
Ας τις δούμε μία μία.
1η. Το φαινόμενο που πραγματεύεται το θέμα αποτελείται από την πτώση της μπαλίτσας, την κρούση και την ταλάντωση του συσσωματώματος. Νομίζω ότι το iv ερώτημα είναι το πιο δύσκολο για μαθητή της τρίτης λυκείου γι αυτό και είναι στο τέλος.
2η. Χάρηκα που σχολίασες τον τρόπο απάντησης για το είδος της κρούσης. Έδωσα δύο απαντήσεις. Η δεύτερη είναι η κλασσική απάντηση. Η πρώτη στηρίζεται στη σχέση που υπάρχει στο σχολικό στην απόδειξη της ελαστικής κρούσης. Δεν προσπαθώ στα “μουλωχτά” να εισάγω τον συντελεστή κρούσης. Το ερώτημα είναι κατά πόσο η σχέση αυτή, έτσι όπως τη δίνει στο σχολικό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί από μαθητές σαν κριτήριο για το είδος της κρούσης. Έχω την αίσθηση πως μπορεί (αν ήταν απάντηση μαθητή σε διαγώνισμα δεν θα έπρεπε να τη δεχθούμε;). Θέλω όμως τη γνώμη σου, αλλά και όποιου άλλου θέλει να τοποθετηθεί στο θέμα.
3η. Τους ίδιους προβληματισμούς με σένα έχω κι εγώ. Έχουμε απλή αρμονική ταλάντωση στην περίπτωση του σώματος Σ2; Μήπως να θεωρούμε ότι το Σ2 ακολουθεί την κίνηση του συσσωματώματος; Μα μπορούμε να διδάξουμε ότι υπάρχουν σώματα, των οποίων η αδράνεια δεν είναι αμελητέα, που εκτελούν κινήσεις και άλλα που ακολουθούν κινήσεις;
Ακόμη περισσότερο ας δούμε την περίπτωση ενός οριζόντιου ελατηρίου το οποίο έχει δεμένο το ένα άκρο του σε σταθερό τοίχωμα και στο άλλο άκρο του έχει σταθερά προσαρμοσμένο ένα σώμα μάζας m. Το σύστημα ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
1.Ένας εξωτερικός παρατηρητής τη χρονική στιγμή t=0 ασκεί στο σώμα διαρκώς σταθερή δύναμη.
2.Tο σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο και τη χρονική στιγμή t=0 αποκτά φορτίο q.
Πρέπει να αντιμετωπίσουμε διαφορετικά τις δύο παραπάνω περιπτώσεις;
Μήπως θα πρέπει να δεχθούμε ότι είναι δυνατό στη μελέτη ενός συστήματος η μηχανική ενέργεια να μεταβάλλεται αλλά η ενέργεια ταλάντωσης να παραμένει σταθερή αφού η δύναμη επαναφοράς είναι διατηρητική;
Λέω ξανά ότι και εγώ προβληματίζομαι. Θα ήθελα την απάντησή σου αλλά και όποιου άλλου θέλει να τοποθετηθεί στο θέμα.
Συγνώμη που άργησα να σου απαντήσω αλλά το ΣΚ είχα πάει με την οικογένεια για μπανάκι.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 22 Ιούλιος 2013 στις 16:39
Καλησπέρα Δημήτρη. Για να αρχίσεις “να μπαίνεις για τα καλά” και στο πνεύμα κάποιων σχολίων, όπως παραπάνω στο σχόλιο του Θοδωρή, να σου αναφέρω μια παλιότερη συζήτηση, που έγινε στο δίκτυο.
Είναι η συζήτηση: Λάθη στη διδασκαλία της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Έχει γίνει βέβαια μια πολύ μεγάλη κουβέντα διατυπώθηκαν αντικρουόμενες θέσεις, μέσα σε 16!!! σελίδες σχολίων. Αλλά πάνω στην άσκησή σου, μπορείς να πας στην 8η σελίδα, που έχει
χρησιμοποιηθεί το παράδειγμα και οι διαφορετικές θέσεις. Δες εδώ.
Σχόλιο από τον/την Παπασγουρίδης Θοδωρής στις 23 Ιούλιος 2013 στις 0:40
Γεια σου Δημήτρη, ελπίζω να πέρασες καλά το Σ/Κ.
Σχετικά τώρα με τις παρατηρήσεις μου:
α) Η δομή της άσκησης είναι τέτοια ώστε να ταιριάζει σε θέμα πανελλαδικών.
Προσωπικά διαφωνώ με αυτή τη λογική. Η άσκηση δε θα έχανε σε τίποτα από τη διδακτική της αξία, αν έλεγε ότι:
«…..Την ίδια χρονική στιγμή, αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί μια μπαλίτσα αμελητέων διαστάσεων, πάνω από τα δύο σώματα. Λίγο μετά η μπαλίτσα συγκρούεται με το συσσωμάτωμα μετωπικά και αναπηδά προς τα πάνω, ενώ το συσσωμάτωμα αμέσως μετά τη σύγκρουσή τους σταματά να κινείται παραμένοντας μόνιμα στο σημείο που έγινε η κρούση. Τα μέτρα των ταχυτήτων της μπαλίτσας πριν την κρούση υ1, και μετά την κρούση υ2, συνδέονται με τη σχέση υ2=υ1/2. Με δεδομένο ότι, η μπαλίτσα αφήνετε από τη μικρότερη δυνατή απόσταση, από τη θέση της κρούσης, ώστε μετά την κρούση το συσσωμάτωμα να παραμείνει μόνιμα ακίνητο……»
Και είχε μόνο δύο ερωτήματα:
i) Να δώσετε τις γραφικές παραστάσεις της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ2 από το
σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και σε συνάρτηση
της χρονικής στιγμής κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.
ii) Ποιο είδος μετωπικής κρούσης έχουμε; Να υπολογίσετε τη μάζα της μπαλίτσας.
β) Το «μουλωχτά» έχει να κάνει με τη στιγμιαία αμηχανία που ένιωσα διαβάζοντας την 1η λύση που προτείνεις. Όπως γράφεις και εσύ: «στηρίζεται στη σχέση που υπάρχει στο σχολικό στην απόδειξη της ελαστικής κρούσης»
Στο σχολικό είναι μια σχέση, σε μια διαδικασία απόδειξης που μένει ημιτελής.
Τίποτα περισσότερο. Δε νομίζω ότι μπορεί να αποτελεί κριτήριο για το αν η κρούση είναι ελαστική ή ανελαστική, χωρίς να συνοδεύεται από τη θεωρία του συντελεστή κρούσης,
τον οποίο κάποιος που δεν έχει διδάξει δέσμες, μάλλον τον αγνοεί….
γ) Τι είναι το D στον απλό αρμονικό ταλαντωτή; Μια σταθερά που εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του ταλαντωτή, π.χ: για κύλινδρο δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου και μισοβυθισμένο σέ υγρό, εξαρτάται από τη σταθερά του ελατηρίου, το ειδικό βάρος του υγρού και το εμβαδό της βάσης του κυλίνδρου.
Αυτή η σταθερά σε συνδυασμό με τη μάζα του κυλίνδρου καθορίζει τη γωνιακή συχνότητα της ΑΑΤ.
Αν διατηρηθούν τα παραπάνω και αλλάξει μόνο η μάζα του κυλίνδρου, διατηρείται η D, αλλάζει όμως η γωνιακή συχνότητα.
Σε συστήματα σαν αυτό που αναφέρεις, ποια η φυσική σημασία των D1 και D2;;
Ποια φυσικά χαρακτηριστικά καθορίζουν την τιμή τους;
Στη συζήτηση που σε παραπέμπει ο Διονύσης, αξίζει να δεις αυτό στη σελίδα 10. Αν δεν πειστείς, ΟΚ, συνέχισε να χρησιμοποιείς τα D. Αν όμως «κλονιστείς», υπάρχει και ο άλλος δρόμος…..
