Ανάλυση μιας κίνησης, σύστημα αναφοράς και «κάτι» για τη στατική τριβή

1Δημοσιεύτηκε από τον/την Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας στις 2 Ιούλιος 2013 και ώρα 15:49

Η Ταμίνα δουλεύει σερβιτόρα σε μπαρ.

 Πηγαίνει καφέ στους πελάτες και κατόπιν γυρίζει πίσω στον πάγκο.  Στις ψηλές καρέκλες του μπαρ πάντα κάποιος κάθεται που θέλει να κουβεντιάσει μαζί της. Όλοι την αγαπούν. Η Ταμίνα ξέρει να ακούει αυτά που της διηγούνται οι άνθρωποι. Τους ακούει όμως στην πραγματικότητα ; Ή μήπως απλά τους κοιτάζει, προσεκτικά και σιωπηλά ; Δεν ξέρω κι ούτε κι έχει μεγάλη σημασία. Το σπουδαίο είναι πως δεν τους διακόπτει. Ξέρετε πως κουβεντιάζουν δυο άτομα. Ο ένας διηγείται και ο άλλος πετάγεται στην κουβέντα: «Ακριβώς όπως κι εγώ, εγώ, εγώ . . .» κι αρχίζει να μιλάει για τον εαυτό του, ώσπου ο πρώτος να πεταχτεί πάλι να πει : Ακριβώς όπως κι εγώ, εγώ . . .

Αυτή η φράση ακριβώς όπως εγώ , εγώ . . είναι σα συγκαταβατική σύνδεση , σα συνέχεια στη σκέψη αυτού του δεύτερου, αλλά είναι μια αυταπάτη: στην πραγματικότητα είναι μια απάνθρωπη εξέγερση ενάντια στον ανθρώπινο βιασμό, προσπάθεια να ελευθερώσει από τη σκλαβιά το δικό του αυτί και να κυριεύσει με επίθεση το αυτί του αντιπάλου. Γιατί όλη η ζωή του ανθρώπου ανάμεσα στους ανθρώπους είναι μόνο ένας αγώνας για το ξένο αυτί . Το μόνο μυστικό της δημοτικότητας της Ταμίνας είναι  πως δεν ποθεί να μιλήσει για τον εαυτό της. Δέχεται τους κατακτητές του αυτιού της χωρίς αντίδραση και ποτέ δεν λέει «Ακριβώς όπως κι εγώ, εγώ . . .»

 

Το κείμενο απόσπασμα από «Το βιβλίο του γέλιου και της λήθης» του Μίλαν Κούντερα. Το διάβασα και την άλλη μέρα στον Σύλλογο διδασκόντων, στο δεκάλεπτο του διαλείμματος, για πρώτη φορά πρόσεξα ότι οι μισοί τουλάχιστον από τους συναδέλφους «ακούν χωρίς να ακούν» . . .  Λόγου χάρη «η κυρία συνάδελφος» . .  σε ακούει αλλά δεν σε ακούει και δεν το διακρίνεις μόνο από το βλέμμα της,  είναι το βλέμμα που λέει «τελείωνε»   . . αλλά και το γεύεσαι μόλις κάνεις το λάθος  και θελήσεις να μοιραστείς τον δικό σου πονόδοντο λέγοντάς της ότι  «πονάει λίγο το δόντι μου» . . . ΑΜΕΣΩΣ σε διακόπτει :  «Α΄κι εγώ πριν τρεις μήνες είχα πάει στον οδοντογιατρό και . .»  Στο βάθος τη μισείς  γι αυτό που έκανε και περιμένεις . . . καιροφυλακτείς για τη «συμβατική εκείνη γέφυρα» που θα σου επιτρέψει αυτή τη φορά εσύ να την διακόψεις. Και τη βρίσκεις καθώς από την οδοντογιατρό έχει μετακινηθεί  στην κόρη της λέγοντας «δεν έγραψε τόσο καλά στη Φυσική στις πανελλήνιες» οπότε επιτίθεσαι «Α΄ εγώ να δεις τι τραβάω με τον γιο μου που αρνείται να . . .». Ξέρεις πάρα πολύ καλά ότι δεν την ενδιαφέρει το τι τραβάς με το γιο σου και είσαι σίγουρος ότι καιροφυλακτεί . . . αλλά συνεχίζεις. Τουλάχιστον οι μισοί λειτουργούμε έτσι – η έρευνα σε μικρό δείγμα – αλλά ευτυχώς όχι όλοι . . Υπάρχουν κι εκείνοι που ακούν.

 Έχω την αίσθηση ότι στη νησίδα ylikonet αυτοί που ακούν είναι οι περισσότεροι . Αυτό δεν είναι βέβαια τίποτα άλλο από μία «αίσθηση»  γιατί δεν τον Άλλο δεν τον βλέπεις για να διαβάσεις το βλέμμα του ούτε και του προσφέρεις τη δυνατότητα να σε διακόψει με το ««Ακριβώς όπως κι εγώ, εγώ . . .».  Ωστόσο το διακρίνω – ή θέλω να το βλέπω έτσι – από τον ύφος που με το οποίο αυτός ο Άλλος γραπτά εκφράζεται .     Η ανάρτηση που ακολουθεί αφιερώνεται σε έναν άνθρωπο – δασκαλοφυσικό,  για τον οποίο είμαι βέβαιος ότι «ακούει» . Το μικρό του όνομα Διονύσης, το επώνυμο Μάργαρης.

1. Ανάλυση μιας κίνησης και σύστημα αναφοράς

Μια οποιαδήποτε κίνηση μπορούμε να την αναλύουμε σε κινήσεις.  Εκτιμώ ωστόσο ότι η διατύπωση «μια κίνηση είναι σύνθετη» είναι προβληματική. Κατά τη δική μου τουλάχιστον άποψη – και όχι μόνο –  «δεν υπάρχει σύνθετη κίνηση» διότι μια έννοια για να σταθεί στα πόδια της απαιτεί – κατά Hegel  – την άρνησή της . Και «δεν υπάρχει σύνθετη κίνηση διότι δεν υπάρχει η άρνησή της». Και δεν υπάρχει ορισμός της έννοιας «κίνηση απλή» διότι η οποιαδήποτε κίνηση μπορεί να αναλυθεί σε δύο ή περισσότερες κινήσεις. Σε ανάλογή λογική οι έννοιες απλή δύναμη και σύνθετη δύναμη δεν υφίστανται.

 Και η ανάλυση μιας οποιαδήποτε κίνησης σε δύο, λόγου χάρη, κινήσεις

α. είναι νοητική επιλογή του ανθρώπου παρατηρητή η οποία τον διευκολύνει και

β. βασίζεται σε εμπειρικά δεδομένα. Θα τα δούμε παρακάτω.

 Στο ισχύον Αναλυτικό μας πρόγραμμα, στο οποίο θα επαναλάβω ότι ουσιαστικά αγνοείται  η ιδέα-θεμέλιο της Φυσικής  «Κάθε κίνηση είναι σχετική και αποκτά νοητικό περιεχόμενο μόνο σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς» – αναφέρεται ότι  «η παραβολική κίνηση ενός βλήματος το οποίο έχει εκτοξευτεί οριζόντια είναι – και όχι ”μπορούμε να τη θεωρήσουμε” – σύνθετη κίνηση ενώ η ευθύγραμμη ελεύθερη πτώση είναι απλή».

 Μα το «πώς είναι κάθε τροχιά» καθορίζεται από το ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ.  Θεωρώντας την αντίσταση του αέρα αμελητέα, η τροχιά του αντικειμένου που άφησα από το αεροπλάνο είναι

μια ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση για μένα ,

μια παραβολική κίνηση για κάποιον στο έδαφος και

μια ευθύγραμμη ομαλή για κάποιον που πέφτει ταυτόχρονα με το αντικείμενο χωρίς εκείνος να έχει αφεθεί από το αεροπλάνο.

Άρα η κίνηση του βλήματος δεν χαρακτηρίζεται από κάποιου είδους συνθετότητα. Η  ΣΚΕΨΗ ωστόσο ενός ανθρώπου,  όπως ο Γαλιλαίος, βασιζόμενη σε ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ  διέκρινε την ιδέα ότι – διατηρούμενος στο έδαφος – θα μπορούσα να την αναλύσω σε δύο κινήσεις . Η βασιζόμενη σε συγκεκριμένη Αρχή πρόταση για τη μελέτη της κίνησης μέσα από την ανάλυσή της θεμελιώθηκε σε εμπειρικό δεδομένο. Όταν αφήνεις από ψηλά , από το την κορυφή του καταρτιού  του πλοίου, ένα βότσαλο   α. αν το καράβι είναι ακίνητο φθάνει στη βάση του καταρτιού     β. αν το καράβι κινείται με σταθερή ταχύτητα  το βότσαλο φθάνει πάλι ακριβώς στη βάση του καταρτιού.

Και αυτό, όπως και η ισότητα των δύο αντίστοιχων χρονικών διαστημάτων, είναι εμπειρικό δεδομένο.  Κι όσο για έναν άλλο παρατηρητή στο ακίνητο λιμάνι αυτός διακρίνει μια τροχιά παραβολική.

 Ποια από αυτές τις κινήσεις είναι απλή και ποια είναι σύνθετη   ;   Εφόσον και για τους δύο παρατηρητές η κίνηση είναι ευθύγραμμη γιατί γι αυτόν στο ακίνητο σκάφος είναι απλή ; ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΠΡΟΝΟΜΙΟΥΧΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ;  Ο εικοστός αιώνα έδωσε  απάντηση κατηγορηματική:   «Δεν υπάρχουν» 

Η ανάλυση μιας κίνησης γίνεται από τη σκέψη ενός ανθρώπου και η όλη διεργασία είναι ισοδύναμη με τη θεώρηση της σχετικότητας των κινήσεων.

Εξάλλου οι Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου είναι το θεμέλιο της κλασικής Μηχανικής.

 Τι θέλω να πω ; Αγνοώντας την αντίσταση του αέρα

 Η παραβολικής – για κάποιον στο έδαφος – τροχιάς κίνηση  μιας πέτρας εκτοξευμένης  οριζόντια με ταχύτητα -ως προς το έδαφος- υ μπορεί να αναλυθεί

α. στη ευθύγραμμη ομαλή κίνηση που θα κατέγραφε ένας παρατηρητής σε ελεύθερη πτώση και

β. σε ελεύθερη πτώση, στην κίνηση δηλαδή του άλλου αυτού παρατηρητή.

 Όταν λέμε πως για τη σχετική ταχύτητα της πέτρας ως κάποιον παρατηρητή 2 (σύστημα αναφοράς 2)  σε ελεύθερη πτώση υπ,2 ισχύει, σύμφωνα με τους Μετασχηματισμούς, υπ,2 = υπ – υ2 (διανυσματικά) σημαίνει και ότι υπ =  υπ,2 + υ2(διανυσματικά) όπου  υπ η ταχύτητα της πέτρας ως προς το έδαφος και υ2 η ταχύτητα του «σε ελεύθερη πτώση παρατηρητή 2»  ως προς το έδαφος .

Η ίδια παραβολικής – για κάποιον στο έδαφος – τροχιάς κίνηση  της πέτρας μπορεί επίσης να αναλυθεί  α. στην ελεύθερη πτώση την οποία θα κατέγραφε ένας παρατηρητής κινούμενος οριζόντια με σταθερή ταχύτητα την υ και  β. σε μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ίδια με εκείνη του παρατηρητή.   

 Και όχι μόνο.

Η οριζόντια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ενός αεροπλάνου – ως προς το έδαφος-θα μπορούσε να αναλυθεί  α. στην ευθύγραμμη κίνηση  προς τα πάνω με επιτάχυνση αντίθετη της βαρυτικής την οποία αναγνωρίζει ο αλεξιπτωτιστής που «άφησε» το αεροπλάνο και β. στην κίνηση – σε παραβολική τροχιά – αυτού του παρατηρητή- αλεξιπτωτιστή 

 Παρόμοια η πρακτική της ανάλυσης μιας κύλισης σε δύο κινήσεις βασίζεται στους γαλιλαικούς μετασχηματισμούς. 

 Η κύλιση μιας ομογενούς σφαίρας χωρίς ολίσθηση δεν «είναι» – βάσει κάποιου ορισμού – «σύνθετη κίνηση»,  μπορούμε ωστόσο με τη σκέψη μας να την αναλύουμε σε δύο κινήσεις . Και από τους ένα σωρό τρόπους με τους οποίους θα μπορούσαμε να την αναλύσουμε επιλέγουμε – για κάποιους λόγους – έναν ως πιο αποτελεσματικό . Φανταζόμαστε  λοιπόν έναν παρατηρητή σε κίνηση με την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας να παρατηρεί την κυλιόμενη σφαίρα. Διακρίνει το κέντρο μάζας ακίνητο και διακρίνει επίσης τη σφαίρα σε κίνηση στροφική περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της. Κάθε χρονική στιγμή για τη σχετική ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου Σ της σφαίρας ως προς τον κινούμενο με υcmπαρατηρητή ισχύει

υΣ,cm  = υΣ – υcm ( διανυσματικά ) άρα   υΣ = υΣ,cm+ υcm ( διανυσματικά )  

Οι δύο λοιπόν κινήσεις στις οποίες θα μπορούσαμε  να αναλύσουμε  κύλιση είναι η στροφική και η μεταφορική κίνηση παρόμοια με εκείνη του παρατηρητή, δηλαδή με την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας.

 Γιατί όμως επιλέγουμε παρατηρητή με την ταχύτητα του κέντρου μάζας;

Η επιλογή μας αυτή  βασίζεται  εκτός των άλλων και  στο ότι   α.διαθέτουμε ένα εξαιρετικό  θεωρητικό εργαλείο, για την κίνηση του κέντρου μάζας :   Το θεώρημα του κέντρου μάζας. Στην αρχική του μορφή F = ma cm .                  β.για ένα σύστημα υλικών σημείων, ολικής μάζας m,  αποδεικνύεται1 ότι    Κ = Κcm + ½mυcm2.

 

Ας δούμε την κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο ενός κυλίνδρου με κοιλότητα στην οποία εφαρμόζεται άλλος κύλινδρος με λιπαντικό έτσι ώστε η τριβή να θεωρείται αμελητέα και να έρχεται η «οσμή» από 4ο θέμα πανελλαδικών εξετάσεων. 

Φαντάζομαι λοιπόν έναν παρατηρητή σε κίνηση με την ταχύτητα (και την επιτάχυνση)  του κέντρου μάζας να παρατηρεί το αντικείμενο  .   Μπορώ να μελετήσω την κίνηση  συνδυάζοντας

α. την έρευνα της κινητικής κατάστασης του συστήματος όπως την καταγράφει ο  ταχύτητας υcm επιταχυνόμενος με acmπαρατηρητής,.    β. την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος.

α. Ο συγκεκριμένος παρατηρητής διακρίνει τον εσωτερικό κύλινδρο ακίνητο και το περίβλημα – «φλοιό» σε στροφική κίνηση κατά την οποία, σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς. τα περιφερειακά σημεία έχουν ταχύτητες ίδιου μέτρου με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και επιτρόχιες επιταχύνσεις ίδιου μέτρου με την επιτάχυνση του κινούμενου ευθύγραμμα κέντρου μάζας, άρα για τη γωνιακή επιτάχυνση του φλοιού ισχύει αγων R= αcm   

Η κίνηση του  «περιβλήματος» είναι, λοιπόν,  στροφική ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΟ με αcm ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗ.

Σύμφωνα με αυτόν,  από τις ασκούμενες στο περίβλημα δυνάμεις μόνο η στατική τριβή έχει ροπή ως προς το κέντρο μάζας., διότι και η δύναμη αδρανείας την οποία οφείλει να σημειώνει ασκείται στο κέντρο μάζας. Σύμφωνα με τον   σχετικό νόμο για την ολική ροπή τολ = Ιπερiβλγων   με τολ = ΤR  .

Αξίζει να σημειωθεί ότι αν σημειώσουμε τις ασκούμενες στο περίβλημα δυνάμεις προκύπτειζεύγος δύο δυνάμεων ίσων κατά μέτρο με τη στατική τριβή

β. Για την κίνηση του συστήματος «φλοιός – εσωτερικός κύλινδρος» ισχύει το θεώρημα του κέντρου μάζας.         Fολ = macm    Fολ = mg ημθ – T  , όπου m η μάζα του συστήματος .   Το θεώρημα του κέντρου μάζας έχει το πλεονέκτημα ότι ισχύει για οποιοδήποτε σύστημα ανεξάρτητα από το «τι θα συμβαίνει με τα διάφορα τμήματά του» . Στην προκειμένη περίπτωση το εφαρμόζουμε στο σύστημα .

 Η πρακτική που έχει επικρατήσει, όχι μόνο δεν  χαρακτηρίζεται από κάποιο επιστημονικό λάθος αλλά εναρμονίζεται και με απόψεις σημαντικών ερευνητών οι οποίοι ωστόσο αναγνωρίζουν ότι στην άκρη του νήματος βρίσκεται η θεωρία της σχετικής κίνησης και το θεώρημα του κέντρου μάζας.

Η πρακτική εξάλλου αυτή  θεωρώντας ότι ένα φαινόμενο όπως η κύλιση «είναι μία κίνηση» και ότι η σκέψη του ερευνητή μπορεί να την αναλύει σε δύο κινήσεις έχει εύλογα επικρατήσει δεδομένου ότι, εκτός του ότι είναι έγκυρη, το φαινόμενο «σχετική κίνηση» δεν εμπεριέχεται στο ισχύον Πρόγραμμα Σπουδών. ούτε και η έννοια «δύναμη αδράνειας» . Έχει ωστόσο κάποια διδακτικά μειονεκτήματα.  

Ένα από αυτά  είναι ότι δεν διαφαίνεται πουθενά η συμμετοχή της αισθητηριακής εμπειρίας. Ο μαθητής και η μαθήτρια καλούνται να φανταστούν κάποια στροφική κίνηση την οποία δεν μπορούν να φανταστούν . Καλούνται επίσης να φανταστούν ότι η μία κίνηση εμπεριέχεται μέσα στην άλλη , κάτι καθόλου απλό. Τους μένει, επίσης,  η εντύπωση ότι η ροπή μιας δύναμης ως προς το κέντρο μάζας σε αρχικά ακίνητο σώμα προκαλεί στροφική κίνηση περί το κέντρο μάζας, ενώ ταυτόχρονα έχουν ήδη διδαχθεί ότι ΜΟΝΟ ΑΝ ΔΡΑΣΕΙ ΖΕΥΓΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ , ένα ακίνητο σώμα θα τεθεί σε στροφική κίνηση περί το κέντρο μάζας.  

 Συμπεράσματα

1.Το φαινόμενο «κίνηση ενός αντικειμένου» αποκτά εννοιακή υπόσταση μόνο σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς.  Ως προς συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς η κίνηση είναι «μία κίνηση».  Η μία αυτή κίνηση δεν είναι ούτε απλή ούτε σύνθετη .  Ωστόσο, προκειμένου να τη μελετήσουμε,  μπορούμε – με τη σκέψη μας – να την αναλύουμε ή να μην την αναλύουμε σε κινήσεις .  Πρόκειται για επιλογή του σκεπτόμενου ερευνητή   

2. Η κίνηση οποιουδήποτε μηχανικού στερεού μπορεί να μελετηθεί αν συνδυάσουμε

α. την εφαρμογή νόμων στην κίνηση που καταγράφει ένας παρατηρητής με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας με

β. την εφαρμογή του θεωρήματος του κέντρου μάζας.

3. Είναι αποδεκτό να λέμε, ισοδύναμα, ότι η οποιαδήποτε κίνηση ενός σώματος αναλύεται σε μεταφορική κίνηση με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και στην κίνηση που καταγράφει ένας παρατηρητής με την επιτάχυνση και την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Εφόσον  όμως αποσιωπούμε το ότι «πρόκειται για την κίνηση που καταγράφει ένας Π με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας, θα είναι σχετικά δύσκολο να απαντήσουμε στην ερώτηση του μαθητή: « Είμαι βέβαιος ότι η ταχύτητα κάθε σημείου είναι ( διανυσματικό)  άθροισμα των ταχυτήτων που αντιστοιχούν σε κάθε κίνηση και το ίδιο ισχύει και για την επιτάχυνση. Είμαι επίσης βέβαιος ότι η κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι άθροισμα μιας κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης και της κινητικής ενέργειας της κίνησης που καταγράφει ο Π. Τι γίνεται όμως με τις ασκούμενες δυνάμεις; Για τη μεταφορική κίνηση φαίνεται ότι συνεργάζονται. Ποιες δυνάμεις, όμως,  ερμηνεύουν τη στροφική κίνηση περί κέντρο μάζας της αρχικά ακίνητης σφαίρας στο  κεκλιμένο επίπεδο ;  Για να δημιουργηθεί στροφική κίνηση ενός αρχικά ακίνητου σώματος περί κέντρο μάζας απαιτείται οπωσδήποτε ζεύγος αλλά οι δύο δυνάμεις όπως η συνιστώσα του βάρους mgημθ και η στατική τριβή  δεν συνιστούν ζεύγος. Υπάρχουν κι άλλες δυνάμεις ;  Ή μήπως είναι λάθος η θεώρηση ότι μόνο με ζεύγος προκαλείται στροφική κίνηση ακίνητου σώματος περί το κέντρο μάζας;»

Υπάρχει βέβαια απάντηση αλλά είναι δύσκολο ένας μαθητής να την δώσει χωρίς βοήθεια..

4. Το να αναλύουμε μια κίνηση μηχανικού στερεού σε δύο κινήσεις είναι αποδεκτό χωρίς όμως να σημαίνει ότι κάθε κίνηση  σε όπως λόγου χάρη η κύλιση χωρίς ολίσθηση ή η κίνηση που κάνει το γιογιό  ΕΙΝΑΙ σύνθετη. Ας επαναλάβουμε ότι η ανάλυση είναι μια επιλογή της δικής μας σκέψης.

Ας μην ξεχνάμε ότι μία κύλιση αυτού του χαρακτήρα μπορεί να θεωρηθεί και στροφική περί στιγμιαίο άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής.  

 

2. Κύλιση χωρίς ολίσθηση και έργο της στατικής τριβής 

α. Εφόσον είναι στατική τριβή «πώς εργάζεται» ;

Το να επικαλούμαστε την έννοια ταχύτητα είναι, ορισμένες φορές, διδακτικά πιο αποτελεσματικό από το να καταφεύγουμε στην έννοια «στοιχειώδης μετατόπιση» . Η έννοια ισχύς μιας δύναμης – εσωτερικό γινόμενο της δύναμης επί τη στιγμιαία ταχύτητα- θα πρότεινα επίσης να αξιοποιείται κατά τη διδασκαλία μας προκειμένου να δίνουμε πειστικές απαντήσεις σε ερωτήματα όπως «υπό ποιες προϋποθέσεις το έργο μιας δύναμης, η οποία δεν είναι κάθετη στην ταχύτητα, είναι μηδενικό;». Και η απάντηση είναι απλή: « εφόσον η ταχύτητα του σημείου στο οποίο ασκείται η δύναμη είναι μηδενική».

Στο θερμοκήπιο όμως ενός Αναλυτικού Προγράμματος το οποίο ουσιαστικά «ξεχνά» το ότι «κάθε κίνηση είναι ΣΧΕΤΙΚΗ» , συχνά μας διαφεύγει ότι η ταχύτητα αναφέρεται σε κάποιο σύστημα αναφοράς. Άρα μια καλύτερη απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα είναι η ισχύς μιας δύναμης είναι μηδέν εφόσον η σχετική ταχύτητα του σώματος στο οποίο ασκείται  – ως προς το σώμα που την ασκεί –  είναι μηδενική. 

Όταν διακηρύσσουμε ότι «η στατική τριβή δεν εργάζεται» υπονοούμε ότι η σκοπιά μας είναι ενός παρατηρητή για τον οποίο όχι μόνο η σχετική ταχύτητα των δύο σωμάτων είναι μηδενική αλλά και η – ως προς αυτόν – ταχύτητα κάθε σημείου επαφής είναι ίση με μηδέν. 

Εάν όμως η σχετική ταχύτητα των σημείων επαφής του ενός ως προς τα σημεία του άλλου σώματος είναι μηδενική, η τριβή είναι στατική αλλά εάν η ως προς τον παρατηρητή ταχύτητα των σημείων επαφής δεν είναι  μηδενική, η ισχύς είναι διάφορη μηδενός, τη στιγμή εκείνη εκτελείται έργο στατικής τριβής,

όπως λέμε «εφόσον ένα σώμα έχει στιγμιαία ταχύτητα, τη στιγμή εκείνη, βρίσκεται σε κίνηση, έχουμε στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της θέσης».

 Το κιβώτιο στο πάτωμα του αρχικά ακίνητου τρένου . Αν το όχημα ξεκινήσει «συμπαρασύροντας» το κιβώτιο όπως συμβαίνει συνήθως κατά τις μεταφορές εμπορευμάτων, για παρατηρητή στο σύστημα αναφοράς προσαρμοσμένο στο έδαφος,  η ασκούμενη στο κιβώτιο δύναμη  είναι εκτός από το βάρος και την κάθετη δύναμη από το πάτωμα του τρένου – και η στατική τριβή στην κατεύθυνση της επιτάχυνσης του τρένου. Η δύναμη αυτή είναι στατική τριβή διότι η σχετική ταχύτητα κιβωτίου και δαπέδου είναι μηδενική, αλλά η στατική αυτή τριβή εκτελεί έργο και μάλιστα έργο θετικό διότι το εσωτερικό γινόμενο με τη στιγμιαία ταχύτητα είναι θετικό. Σε γλώσσα αισθητηριακής αντίληψης , η στατική τριβή περιγράφει το εμπειρικό δεδομένο ότι το πάτωμα του τραίνου «γαντζώνει» το κιβώτιο και το συμπαρασύρει .

 Τραπέζι ,  τραπεζομάντιλο και πάνω ένα πιάτο . Αν τραβήξουμε με προσοχή το τραπεζομάντιλο θα συμπαρασύρει το πιάτο. Το πιάτο έχει μηδενική ταχύτητα ως προς το τραπεζομάντιλο, άρα η τριβή είναι στατική τριβή στην κατεύθυνση της επιτάχυνσης. Αλλά το πιάτο έχει ταχύτητα ως προς το σύστημα αναφοράς του ακίνητου – στο έδαφος – παρατηρητή άρα η στατική τριβή, σε μετατόπιση x του πιάτου  εκτελεί έργο Τσ x  ίσο με την κινητική ενέργεια που αποκτά το πιάτο. 

 Ένα γυάλινο κυλινδρικό ποτήρι με κρασί και εκείνος το σηκώνει κατακόρυφα πιάνοντάς το από τα τοιχώματα. Για να το καταφέρει χρειάζεται να πιέζει κάπως τα τοιχώματα στα σημεία που το πιάνει με τα δάκτυλά του – από τη μία με τον  αντίχειρα από την άλλη τα άλλα με τα  τρία άλλα δάκτυλά συνήθως –  να ασκεί κάθετες σε αυτά δυνάμεις. Εκτός από τις οριζόντιες αυτές δυνάμεις οι οποίες, ασκούμενες στο ποτήρι, εξουδετερώνονται,  στο ποτήρι ασκείται η δύναμη βάρος και στατική τριβή σε κάθε επαφή του χεριού με το γυάλινο τοίχωμα. Καθεμιά από αυτές είναι στατική τριβή διότι η σχετική ταχύτητα του χεριού που την ασκεί ως προς το ποτήρι στο οποίο ασκείται είναι μηδενική. Αλλά η στατική αυτή τριβή εκτελεί θετικό έργο καθώς το σημείο στο οποίο ασκείται έχει ταχύτητα στην κατεύθυνση της δράσης της .

 Ας επιστρέψουμε σε παράδειγμα που είχε προταθεί – τόσο από τον Βαγγέλη Κορφιάτη, όσο και, παλιότερα, από τον Διονύση Μάργαρη – με την οριζόντια ράβδο την οποία κάποιος μετακινεί  ασκώντας δύναμη, ενώ παράλληλα ο κύλινδρος  κάτω από αυτή εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Για σύστημα αναφοράς προσαρμοσμένο στο έδαφος,  το μεν σημείο επαφής κυλίνδρου-ράβδου έχει διπλάσια ταχύτητα από εκείνη του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, ενώ τα σημεία επαφής του τροχού με το έδαφος έχουν  μηδενική ταχύτητα . Στον κυλιόμενο τροχό:

α. στο σημείο επαφής με το έδαφος ασκείται στατική τριβή η οποία δεν εργάζεται διότι το σημείο εκείνο έχει μηδενική ταχύτητα ως προς το σύστημα αναφοράς το έδαφος .

β. στα σημεία επαφής με την οριζόντια ράβδο ασκείται στατική τριβή η οποία «εργάζεται» διότι τα σημείο εκείνο – για τον ίδιο πάντα σύστημα αναφοράς- έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα της μεταφορικά κινούμενης ράβδου .

Στο ίδιο λοιπόν σώμα «στατική τριβή άεργη και στατική τριβή εργαζόμενη».

 

 

β. Κύλιση χωρίς ολίσθηση, σύστημα αναφοράς

και έργο της στατικής τριβής

Μια σφαίρα αφήνεται από σημείο κεκλιμένου επιπέδου και κυλίεται χωρίς ολίσθηση δεδομένου ότι ισχύουν κάποιες προϋπόθεσης. Για έναν παρατηρητή σε σύστημα αναφοράς με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας η κίνηση είναι στροφική περί το κέντρο μάζας. Οι ασκούμενες δυνάμεις είναι η στατική τριβή, το βάρος, η κάθετη δύναμη και η δύναμη αδρανείας και αν τις συνθέσουμε θα προκύψει η στατική τριβή Τ και μια δύναμη στο κέντρο μάζας ίση με mgημθ – macm ίση κατά μέτρο με την Τ  και αντιπαράλληλη.  

Η δύναμη Τ  είναι στατική τριβή . Ας δούμε γιατί.  Στην επαφή σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου τον μεν σημείο της σφαίρας έχει –ως προς αυτόν – ταχύτητα αλλά ίση ακριβώς ταχύτητα έχει το σημείο του κεκλιμένου επιπέδου ( για τον παρατηρητή Π το κεκλιμένο επίπεδο εκτελεί μεταφορική κίνηση) άρα η δύναμη Τ ασκείται ανάμεσα σε σώματα με μηδενική το ένα ως προ το άλλο ταχύτητα,  άρα είναι στατική τριβή.

Ταυτόχρονα η στατική αυτή τριβή εκτελεί θετικό έργο  διότι το σημείο στο οποίο ασκείται έχει – ως προς τον Π -ταχύτητα.   

Κατά την περιστροφή αυτή , η – ως προς τον Π – κινητική ενέργεια της σφαίρας αυξάνεται και η ενέργεια που μεταβιβάζεται σε αυτή είναι ίση με το έργο της στατικής τριβής.

Η στροφική αυτή κίνηση την οποία καταγράφει ο Π είναι η ακριβώς η στροφική κίνηση στην οποία αναφερόμαστε όταν λέμε ότι «αναλύουμε την κύλιση σε κίνηση μεταφορική και κίνηση στροφική περί το κέντρο μάζας».

Γι αυτό τον λόγο δεν είναι λάθος να λέμε ότι «το έργο της στατικής τριβής είναι ίσο με την αύξηση της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής». Είναι ίσως περιττό για μια συνήθη διδασκαλία αλλά δεν είναι λάθος.

 Συμπεράσματα :

1. Χρειάζεται  σε κάθε περίπτωση να αποσαφηνίζουμε το σύστημα αναφοράς

2. Αν καταγράφει κάποιος την κίνηση μιας σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο ως παρατηρητής με σύστημα αναφοράς το έδαφος, η κίνηση είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση και η στατική τριβή ασκούμενη σε σημείο με μηδενική ταχύτητα δεν εκτελεί έργο. Η  αύξηση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας είναι ίση με το έργο της δύναμης βάρος, της μόνης που εργάζεται.

3. Αν καταγράφει κάποιος την κίνηση μιας σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο ως παρατηρητής με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας, η κίνηση την οποία καταγράφει είναι  στροφική περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και η ασκούμενη στην επαφή δύναμη είναι στατική τριβή αλλά εκτελεί  και έργο.

 

Παραπομπές

1 . Για ένα σύστημα δύο υλικών σημείων, μαζών m1 και m2 ,  αν είναι υ1 , υ2   οι (αλγεβρικές)  τιμές των ταχυτήτων   ως προς το έδαφος, υcm  η τιμής της ταχύτητας του κέντρου μάζας και  υ1,cm , υ2,cm  οι αντίστοιχες τιμές των ταχυτήτων ως προς σύστημα αναφοράς κινούμενο με υcm και όλες κατά τον άξονα x ισχύει : 

Κ = ½m1υ1 +  ½m2υ22                 Κcm  = ½m1υ1,cm + ½m2υ2,cm2  

υ1,cm  = υ1   – υcm                                                 υ2,cm = υ2 – υcm

και για την ορμή του συστήματος   m1υ1 + m2υ = (m1+ m2 ) υcm.

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει :      ½m1υ12 + ½m2υ22   = ½(m1+m2 ) υcm2 + ½m1υ1,cm2 + ½m2υ2,cm2  

Και αντίστοιχα για τον άξονα y. Τελικά    Κ =  ½mυcm2 + Κcm

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
1 Σχόλιο
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια