by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 11 Αύγουστος 2012 και ώρα 8:30
1. Σωματίδιο κινείται σε επίπεδο και η τροχιά του δίνεται από τις σχέσεις x=acos(ωt), y=bsin(ωt),* όπου a,b και ω είναι γνωστές σταθερές.
α) Αποδείξτε ότι η τροχιά του σωματιδίου είναι έλλειψη.
β) Υπολογίστε τις ακτίνες καμπυλότητας της τροχιάς στα σημεία (-a,0) και (0,b).
και η γενική λύση του β) ερωτήματος από τον Γιάννη Φιορεντίνο
Να θυμίσω μια μεγάλη συζήτηση πάνω στο θέμα που συζητάτε, που έγινε παλιότερα εδώ;
… …
Καλημέρα σε όλους
( και στον Μητρόπουλο που θα χρειαστεί ακόμα ένα 8ωρο μετά τα τελευταία πονήματά του στα ηλεκτρικά κυκλώματα)
Θρασύβουλε ευχαριστώ για τον χρόνο και τον κόπο που κάνεις για να βοηθήσεις στην διόρθωση αυτού του θέματος που δεν ξέρω γιατί μου έκανε… «κλικ».
Στα 4 σημεία της τροχιάς (x,y)ε{(a,0), (0,b), (-a,0), (0,-b)} είναι σημεία στα οποία ο ρυθμός μεταβολής της επιτρόχιας ταχύτητας μηδενίζεται ( επιτρόχια επιτάχυνση 0 ) και έτσι η καμπυλότητα μπορεί να υπολογιστεί από το πηλίκο του τετραγώνου της ταχύτητας προς το μέτρο της επιτάχυνσης.
Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι απαντήσεις είναι a2/b και b2/a αντίστοιχα. ( αυτό έχει προκύψει και σε μένα και στο Γιάννη και τώρα και σε σένα. ) Απλά για την ορθότητα της γενικής λύσης είχαμε αμφιβολίες. Για την R=f(x) που απέδειξε ο Γιάννης δεν έχω πια αμφιβολία. αλλά για την δική μου R=f(x,y) διατηρώ πολλές αμφιβολίες.
… …
Δημήτρη πρέπει να έχεις κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις.
Ρίξε μια ματιά εδώ
… …
Καλημέρα σε όλους τους φίλους.
Θρασύβουλε ευχαριστώ πολύ. Δημήτρη, έκανα τις πράξεις και νομίζω ότι και ο δικός σου τύπος καταλήγει τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα. Το λαθάκι βρίσκεται (αν έκανα σωστά τις πράξεις), στον παρονομαστή και μέσα στη ρίζα, όπου θέλει (α^2-b^2) αντί για (α^2+b^2) στον αριθμητή του κλάσματος.
… …
Μπράβο Θρασύβουλε
Αν ξέρεις για τι λάθος ψάχνεις , τότε μπορεί και να το βρεις
Μεταξύ σχέσης 9 και 10 είχα εξαφανίσει ένα – από την παράγωγο του cos(ωt)
Θα το διορθώσω αργότερα.
Ευχαριστώ.
… …
Μια ακόμα λύση, με χρήση των παραμετρικών εξισώσεων:
ΕΛΛΕΙΨΗ 4
(Στην ουσία ίδια με την προηγούμενη, όμως μου φάνηκε απλούστερη).
… …
Δίνω και εγώ μια ακόμη λύση εδώ.
(Αναρωτιόμουνα μήπως το παρακάναμε, αλλά νομίζω κάτι προσθέτει η κάθε λύση)
Γιάννη μπράβο, πολύ πιο σύντομη η τελευταία σου λύση. Και πολύ πιο ήρεμη από τη δικιά μου.
Η λύση όμως του Δημήτρη περιέχει την πιο πολύ φυσική από όλες τις άλλες και νομίζω ότι αυτό έχει τη μεγαλύτερη αξία.
Δημήτρη, Γιάννη, Διονύση σας ευχαριστώ γιατί με ευκαιρία αυτή την άσκηση:
1) Θυμήθηκα να δώσω μια δουλειά μου που είχα υποσχεθεί εδώ και 2,5 χρόνια περίπου σε μια άλλη συζήτηση και είχα ξεχάσει ότι ποτέ δεν την είχα δώσει παρόλο που ήταν έτοιμη.
2) Έμαθα 3 επιπλέον τρόπους λύσης της
3) Μου δίνεται ξανά η ευκαιρία να τονίσω ότι η άσκηση 14 / Σελίδα 158 του σχολικού βιβλίου Φυσικής Α΄ Λυκείου
«Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα του ελαστικού όταν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα
35 m/sec»
δεν πρέπει να διδάσκεται, γιατί είναι αδύνατο να τη λύσει ένας μαθητής.
Εκείνο που πρέπει όμως να μας προβληματίσει είναι το εξής:
Από ό,τι θυμάμαι τότε που ασχολήθηκα με αυτή την άσκηση, το σχολικό βιβλίο και σχεδόν όλα τα φροντιστηριακά την είχαν λυμένη λανθασμένα. Ίσως τώρα να τη διόρθωσαν. Κάτι που ειλικρινά το εύχομαι.
4) Να συνειδητοποιήσουμε ότι οι έννοιες κεντρομόλος και επιτρόχιος επιτάχυνση είναι δύσκολες στην ουσία τους, γιατί αναφέρονται σε κινούμενο και μάλιστα με πολύπλοκο τρόπο, σύστημα αξόνων.
5) Πρέπει οπωσδήποτε να ξαναδιαβαστεί η κωδικοποίηση που έκανε ο Διονύσης τότε για την κεντρομόλο και την επιτρόχιος επιτάχυνση.
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 11 Αύγουστος 2012 στις 0:19
Σχόλιο από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 11 Αύγουστος 2012 στις 0:51
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 11 Αύγουστος 2012 στις 1:30
Σχόλιο από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 11 Αύγουστος 2012 στις 10:11
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 11 Αύγουστος 2012 στις 20:47
Σχόλιο από τον/την Γκενές Δημήτρης στις 11 Αύγουστος 2012 στις 21:04
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 11 Αύγουστος 2012 στις 21:29
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 12 Αύγουστος 2012 στις 0:19
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 12 Αύγουστος 2012 στις 1:38
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 12 Αύγουστος 2012 στις 2:26
Σχόλιο από τον/την Θρασύβουλος Μαχαίρας στις 12 Αύγουστος 2012 στις 8:45
Δημήτρη, παλιά είχα κάνει μια ανάρτηση για την επιτάχυνση και άλλα μεγέθη. Δε μπορώ να τη βρω.
Στην αρχή έχει το θεωρητικό υπόβαθρο και μετά το εφαρμόζω στην πιο δύσκολη άσκηση (κατά τη γνώμη μου) της Α΄ Λυκείου, την οποία βέβαια ποτέ δε δίδαξα.
Νομίζω ότι θα σου λύσει τα χέρια για τη δικιά σου άσκηση.
Σου την αφιερώνω, έστω και μετά από τόσο καιρό…
Επιταχύνσεις και άλλα…
… …
Ευχαριστώ Θρασύβουλε.
Διέτρεξα το «Επιταχύνσεις και άλλα»
Είναι πολύ ενδιαφέρουσα εργασία για πρωτοετείς ( Πανεπιστημίου όχι Λυκείου ).
Στην άσκησή μου ξεκίνησα από την δική σου σχέση 19…τώρα αν έχω κάνει λάθη στη πορεία…
Θα τα ξαναδώ όταν θα έχω πιο καθαρό μυαλό…
… …
Δημήτρη το κείμενο «επιταχύνσεις και άλλα» συνοδεύοταν και από μια ιστορία, που καλό θα
ήταν κάποια αποσπάσματά της να το ξανασυνοδέψουν.
Έτσι, ίσως θα πρέπει αύριο να αρχίσεις από την ιστορία…
Η άσκηση μιας ιστορίας
… …
1. Κατά λάθος είχε γίνει φραγή στο διορθωμένο κείμενο. Αποκαταστάθηκε.
2. Ο Γιάννης Φιορεντίνος μου έστειλε μια πολύ σύντομη λύση για R=f(x) εδώ Δεν ξέρω αν οι δυο αυτές λύσεις είναι συμβατές. Ίσως η δική μου λύση R=f(x,y) να μην είναι σωστή.
3. Θρασύβουλε διάβασα και την Ιστορία όντως η άσκηση αυτή δεν έχει θέση στο βιβλίο της Α Λυκείου. (Ναι στην αρχική λύση είχα κάνει το ίδιο λάθος θεωρώντας ότι η κεντρομόλος έχει την κατεύθυνση του διανύσματος θέσης. )
… …
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους και καλό υπόλοιπο καλοκαιριού.
Δημήτρη, προσπάθησα να «συμμαζέψω» λίγο την προηγούμενη λύση και κατέληξα σε μια
πιο κομψή (πιστεύω) παρουσίαση της γενικής λύσης:
ΕΛΛΕΙΨΗ 2
… …
Ευχαριστώ Γιάννη.
έβαλα αυτόν τον σύνδεσμο ως γενική λύση σου, στην παρουσίαση της καταχώρισης.
… …
Ευχαριστώ Δημήτρη.
Εννοείται πως και εγώ δεν είμαι βέβαιος ότι είναι απόλυτα σωστή η λύση που προτείνω και ότι στην πορεία δεν «ξέφυγε» κάτι, αν προηγουμένως δεν επιβεβαιώσουν και άλλοι συνάδελφοι το αποτέλεσμα.
… …
Δημήτρη, Γιάννη τώρα είδα τη γενική λύση. Κάτι δε μου παέι καλά.
Η ακτίνα καμπυλότητας δε μπορεί να είναι αρνητική.
Κοτάξτε τη σχέση (17) αφορά τρισδιάστατη κίνηση και που προέρχεται από τη σχέση (15) της ανάρτησης Επιταχύνσεις και άλλα…
Προβλέπεται μόνο θετικό νούμερο για την ακτίνα καμπυλότητας. Ίσως πάλι κάνω λάθος.
Θα κάνω υπολογισμούς για να δω την τιμή που προβλέπει η σχέση (17) για ακτίνα καμπυλότητας.
… …
Καλησπέρα Θρασύβουλε.
Έχεις απόλυτο δίκιο. Η καμπυλότητα k μορεί να πάρει θετικές ή αρνητικές τιμές, η ακτίνα καμπυλότητας πρέπει να είναι θετική.
Θα ανεβάσω σε λίγο το διορθωμένο.
… …
Νομίζω ότι τώρα πρέπει να είναι σωστό:
ΕΛΛΕΙΨΗ.3
… …
Είναι σωστά Γιάννη. Υπολόγισα και γω την ακτίνα καμπυλότητας στα δύο σημεία της άσκησης του Δημήτρη με τη βοήθεια της σχέσης 17 και τα αποτελέσματα είναι ίδια με τα δικά σου παρόλο που ο δρόμος που ακολούθησα έχει παραγώγους ως προς s και όχι ως προς x όπως στη δικιά σου δουλειά.