by 
Ο κώνος του σχήματος κυλίεται. Η γωνία της κορυφής του είναι 2α. Το ύψος του είναι h. Αξονας του ειναι η ευθεια που διερχεται εκ της κορυφης του και του κεντρου της βασεως.Η ταχυτητα του κεντρου της βασεως P ειναι υ.Η γωνιακη ταχυτητα περιστροφης του κωνου γυρω απο τον αξονα του, ειναι ω. Να γραψετε την εξισωση που δινει την ταχυτητα υ του σημειου Ρ, συναρτησει των ω,α,h.
Καλημέρα σε όλους
Κωνσταντίνε, ενδιαφέρον πρόβλημα.
Μια λύση ακόμη.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλημερα σε ολους.Επειδη φευγω για το σχολειο θα διαβασω τις απαντησεις σας το μεσημερι. 🙂
Aρη Καλημερα.Ζηταω ως τελικο αποτελεσμα να γραψεις μια εκφραση που δινει το μετρο της ταχυτητας του σημειου Ρ σαν συναρτηση των ω,h,α.
Συμφωνώντας με τον Θρασύβουλο για το Λ, συμπληρώνω:
Βαγγελη αν καταλαβα καλα στην πρωτη σειρα εννοεις τον κυκλο ακτινας οσο το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος επαφης κωνου οριζοντιου επιπεδου αρα στο
Τ=2π/ω το ω δεν ειναι αυτο γυρω απο τον αξονα του κωνου αλλα το αλλο που ο Κυριακοπουλος το συμβολιζει Ω.Αυτο ειναι το Ω περιστροφης ολου του κωνου γυρω απο ενα φυτεμενο πασσαλο καθετα στο οριζοντιο επιπεδο στο σημειο που βρισκεται η κορυφη του κωνου.Επισης στην τριτη σειρα μαλλον θελει 2πhσυνα.οποτε το τελικο σου αποτελεσμα ειναι υ=Ωhσυνα,που ειναι σωστο αλλα δεν ειναι αυτο που ζηταω εγω διοτι εγω θελω την ω μεσα οχι την Ω.
Μπραβο Θρασυβουλε.Brilliant.Eισαι πολυ δυνατος στους αναλυτικους υπολογισμους!
Καλησπερα Συναδελφοι.Η εξισωση που ζηταω δεν ειναι καθολου προφανης.Ομως μοιαζει προφανες οτι αν R η ακτινα της βασεως του κωνου,τοτε υ=ωR=ωhεφα και τελος.Για αυτο εδωσα και αυτον τον τιτλο και οχι διοτι η ασκηση ειναι ευκολη.Καθε αλλο! Το υ=ωR βεβαια δεν ειναι σωστο λογω της μη καθετοτητας της βασεως του κωνου με το επιπεδο επαφης,αλλα μπορει ευκολα κανεις να το γραψει ετσι και σε ξεγελαει οπως συζητησα και με τον Γιάννη χτες. Εγω το ελυσα ως εξης.
Ο κωνος κανει δυο κινησεις με δυο γωνιακες ταχυτητες. Μια περιστροφη γυρω απο τον αξονα του με γωνιακη ταχυτητα ω,και μια περιστροφη γυρω απο εναν αξονα που περναει απο την κορυφη του και ειναι καθετος στο επιπεδο πανω στο οποιο γινεται η κυλιση,με γωνιακη ταχυτητα Ω. .Ομως η ευθεια επαφης του κωνου με το οριζοντιο επιπεδο ειναι στιγμιαιος αξονας περιστροφης.Αρα το Ω+ω ειναι κατα μηκος της ευθειας επαφης και επισης υ=(Ω+ω)hsinα.
Επισης υ=Ωhcosα. Ομως απο την καθετοτητα μεταξυ Ω+ω και Ω πρεπει να να ισχυει το πυθαγορειο θεωρημα: ω^2 =Ω^2+(Ω+ω)^2 αρα ω^2= (υ/hcosα)^2+(υ/hsinα)^2.
Αρα υ=ωhsinαcosα. που ειναι και το τελικο αποτελεσμα.Αν θελουμε την εκφραση της ταχυτητας,οχι μονο του μετρου της,χρησιμοποιουμε το μοναδιαιο διανυσμα φ των πολικων συντεταγμενων οπως εκανε ο Θρασυβουλος. Ερωτηση.Πως μπορουμε με απλη γεωμετρια να εξηγησουμε οτι η σχεση υ=ωR ειναι λαθος? Δεν εχω γραψει κατι ικανοποιητικο σε αυτο αλλα νομιζω οτι εχει σχεση με τις 6,75 στροφες!
Eυχαριστω πολυ που ασχοληθηκατε με το προβλημα.
Φυσικά σχετίζεται με τις 6,75 στροφές.
Νομίζω ότι βγαίνει και με απλή Γεωμετρία το άτοπον αν το h είναι πολύ μικρότερο από την ακτίνα.
Θα το δώ καλύτερα.
Δες την τεράστια διαφορά του υ από το ω.R.
Έχουν λόγο ίσο με (ΗΡ)/(ΟΑ) που εδώ είναι 1/5,5.
Οχι μονο να δειξουμε το ατοπον αλλα να βρουμε και την ακριβη σχεση μεταξυ υ και ω. Δηλαδη την σχεση υ=ωhsinαcosα.να την βρουμε με παραγωγιση μιας σχεσης μεταξυ χ και θ η οποια ειναι σκετη γεωμετρια.Εγω σκεφτηκα οτι καθως αρχιζουμε να γερνουμε τον κυκλο η κατασταση ειναι ισοδυναμη με κυλιση οχι πανω σε ευθεια αλλα σε καμπυλη οπως στις 6,75 στροφες.Οταν ο κυκλος ειναι κατακορυφος ακομα και αν κυλιεται πανω σε καμπυλη οπως στο Όχι επιπεδη κύλιση τροχού.τοτε ισχυει το υ=ωR διοτι δεν υπαρχει καμπυλοτητα στην διευθυνση που μας ενδιαφερει,αρα ειναι σαν να εχουμε ευθεια..Οσο ομως ο κυκλος αρχιζει να γερνει αρχιζει να υπαρχει καμπυλοτητα η οποια γινεται μεγιστη οταν ο κυκλος ξαπλωσει τελειως στο οριζοντιο επιπεδο,οποτε τοτε ενας κυκλος κυλιεται μεσα σε αλλο κυκλο.. Αρα αν βρουμε την ακτινα καμπυλοτητας που δημιουργειται συναρτησει της γωνιας κλισης και το εχουμε λυσει για μια τυχαια ακτινα καμπυλοτητας οπως πχ στις 6,75 στροφες,τοτε το λυσαμε.Ελπιζω να με καταλαβαινεις.
Καλησπέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε πολύ αξιόλογο θέμα.
Eυχαριστώ πολύ Βασίλειε.
Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ όμορφο και μάλλον δύσκολο (υπάρχει στο βιβλίο του Landau – αν και δεν είμαι σίγουρος αν είναι δατυπωμένο έτσι). Επειδή είναι δύσκολο να δουλέψει κανείς με τα διανύσματα των γωνιακών ταχυτήτων, θα πρότεινα ως τρόπο αντιμετώπισης απειροστές στροφές και εύρεση όλων των αντίστοιχων μετακινήσεων. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι η βάση του κώνου περιστραφεί κατά dφ, οπότε το σημείο της βάσης που ακουμπά στο έδαφος προχωρήσει κατά ds=dφ R (R η ακτίνα της βάσης),…κλπ.