Σχετικιστικές διορθώσεις στα χρονικά σήματα GPS

Σχετικότητας συνέχεια και μάλιστα σε ένα ακόμα φαινόμενο στο οποίο δοκιμάστηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας, που είναι η επιστημονική θεωρία με τις περισσότερες αμφισβητήσεις και τις πολύ περισσότερες διαψεύσεις των αμφισβητούντων. Ακόμα και στις μέρες μας 100 χρόνια μετά η ΓΘΣ δοκιμάστηκε με επιτυχία στην αποτύπωση του ορίζοντα γεγονότων της μαύρης τρύπας στον πυρήνα του γαλαξία Μ87. Στο GPS όμως δεν είναι ότι δοκιμάστηκε μόνο η ΓΘΣ αλλά όπως θα δούμε χωρίς τη σχετικότητα δε θα υπήρχε GPS με ότι αυτό συνεπάγεται.

Στο σήμα που στέλνει ο δορυφόρος GPS στους επίγειους δέκτες γίνεται εκτός των άλλων μία διόρθωση από την ειδική θεωρία της σχετικότητας λόγω της σχετικής ταχύτητας του δορυφόρου ως προς τον επίγειο δέκτη και μία από τη ΓΘΣ λόγω μικρότερης βαρύτητας στην τροχιά του δορυφόρου σχετικά με την επιφάνεια της γης. Στην ανάλυση που ακολουθεί χρησιμοποιήσαμε την προσέγγιση μέχρι δεύτερη τάξη απο την ταυτότητα του Talor: Αν χ << 1 => (1 + χ)^1/2 = 1 + (1/2)χ  και τις εξισώσεις από τη σχετικότητα.

Σε 1s το ρολόι του δορυφόρου πάει μπροστά κατά Δt = Δt₁ + Δt₂ = -0,8334×10^-10 + 5,29×10^-10 = 4,57×10^-10 s  και σε 1 αστρική ημέρα 38,4 μs. Για να εκτιμήσουμε το μέγεθος αυτής της φαινομενικά πολύ μικρής χρονικής διαφοράς και την ανάγκη για διόρθωσή της πρέπει χοντρικά να δούμε πως λειτουργεί το σύστημα GPS.

O δορυφόρος GPS στέλνει σήμα στον δέκτη με ψευδοκώδικα(αλληλουχία 0,1) που περιλαμβάνει το χρόνο εκπομπής και τη διόρθωση Δt. Το ρολόι στον δέκτη είναι συντονισμένο να λαμβάνει το σήμα στα 10,23 MHz οπότε ο δορυφόρος εκπέμπει σε 10,23 – 4,57χ10^-10 = 10,229999999543 ΜHz. Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός της απόστασης του δορυφόρου από τον δέκτη:  d = c(χρόνος άφιξης σήματος – χρόνος εκπομπής) + cΔt. Το ρολόι στον δέκτη δεν είναι της ίδιας ποιότητας με τα ατομικά ρολόγια των δορυφόρων και δεν θα συγχρονιστεί με ακρίβεια με αυτούς. Αυτό παράγει ψευδοαποστάσεις με μεγάλες διαφορές σε σύγκριση με τις πραγματικές αποστάσεις από τους δορυφόρους. Επομένως, στην πράξη, η χρονική διαφορά μεταξύ του ρολογιού του δέκτη και της ώρας του δορυφόρου ορίζεται ως άγνωστη . Οι εξισώσεις στη συνέχεια λύνονται ταυτόχρονα για τη θέση του δέκτη και το χρόνο του ρολογιού. Ο χώρος των λύσεων [ x, y, z, t ] μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τετραδιάστατος χωροχρόνος και απαιτούνται σήματα από τουλάχιστον τέσσερις δορυφόρους. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες x,y,z της θέσης του δέκτη ως προς το κέντρο της γης μετατρέπονται σε γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος και ύψος το οποίο ύψος εξαρτάται και από το σχήμα της γης(γεωειδές).

To σφάλμα απόστασης χωρίς διόρθωση σε 1s είναι πολύ μικρό(300.000.000.000 cm/s x 4,57×10^-10 s = 14 cm περίπου) το συσσωρευμένο όμως λάθος σε μία αστρική ημέρα είναι cΔt_ολ  300.000 km/s x 38,4 x 10^-6 s = 11,52 km !!!

Ο δορυφορικός αστερισμός GPS αποτελείται σήμερα από 31 δορυφόρους σε μεσαία τροχιά(περίπου 20184 km) εκ των οποίων οι 24 είναι διατεταγμένοι σε 6 κυκλικές τροχιές που σχηματίζουν γωνία 55⁰ με τον ισημερινό και 60⁰ μεταξύ τους. Κάθε μία από τις 6 τροχιές περιλαμβάνει 4 δορυφόρους. Από τους υπόλοιπους οι 3 είναι ενεργοί σε διαφορετικές τροχιές ώστε να εξασφαλίζεται η ανα πάσα στιγμή σε κάθε σημείο της γης ορατότητα 9 δορυφόρων έναντι 6 που ήταν παλαιότερα με τους 24 δορυφόρους. Οι 4 δορυφόροι είναι εφεδρικοί. Η μισή αστρική ημέρα περίοδος περιφοράς των δορυφόρων εξασφαλίζει ότι κάθε δορυφόρος διέρχεται πάνω από το ίδιο σημείο της γης μετά από κάθε στροφή και ετσι να είναι γνωστή η θέση όλων των δορυφόρων κάθε στιγμή.

ο αστερισμός GPS από έναν τόπο