by 
Μια ανοιχτή από πάνω δεξαμενή, περιέχει νερό ύψους H και έχει στον πάτο της έναν σωλήνα πολύ μικρής διατομής, που οδηγεί σε μεγαλύτερο σωλήνα ακτίνας R, που φράσσεται με έμβολο. Το έμβολο είναι συνδεδεμένο με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Το όλο σύστημα ισορροπεί.
Να βρεθεί η συσπείρωση του ελατηρίου.
Γεια σου Σπύρο και μπράβο για την άσκηση!!
Το πρώτο μέρος της άσκησης, θα μπορούσε να απαντηθεί με Λυκειακή Φυσική ως εξής:
Όπως πήρες τη λωρίδα σε απόσταση y από το κέντρο, μπορείς να πάρεις μια όμοια λωρίδα σε απόσταση y από το κέντρο του κυλίνδρου. Στο πάνω η πίεση είναι P1=Patm+ρg[H-(R+y)] , ενώ στην κάτω λωρίδα είναι P2=Patm+ρg[H-(R-y)]
Η πίεση στο κέντρο είναι P=Patm+ρg(H-R)=P1-ρgy=P2+ρgy
Η δύναμη στην πάνω λωρίδα είναι F1=P1*ds , στην κάτω λωρίδα F2=P2*ds , και στην λωρίδα από το κέντρο F=P*ds=F2-ρgy*ds=F1+ρgy*ds
F1+F2=(P1+P2)*ds=[2Patm+ρg(H-R-y+H-R+y)]=2F άρα η συνολική δύναμη είναι
ΣF=P*Σds=P*πR^2=[Patm+ρg(H-R)]*πR^2
αυτή ισούται με τη δύναμη του ελατηρίου kx και τη δύναμη από την ατμόσφαιρα
kx+Patm.πR^2=[Patm+ρg(H-R)]*πR^2 άρα x=[ρg(H-R)]*πR^2]/k
Καλημέρα κ.Πρόδρομε και ευχαριστώ!
Πάρα πολύ έξυπνη η λύση, αποφεύγοντας τα ολοκληρώματα! Χρησιμοποιείτε την συμμετρία του εμβόλου και το πρόβλημα τελείωσε.
Ευχαριστώ Σπύρο να είσαι καλά.
Ήθελα να δω και το β μέρος της άσκησης, αλλά δεν…
Γράφεις ότι το ελατήριο θα είναι στο φυσικό μήκος του. Από πού συνάγεται αυτό;
Θα εγκλωβιστεί αέρας στον αριστερό κύλινδρο; Ή η στάθμη του νερού και στους δύο κυλίνδρους θα είναι ίδια; Αν ναί, θα υπάρξει μια μικρή συσπείρωση, δε νομίζεις;
κ.Πρόδρομε το ελατήριο θα είναι στο φυσικό του μήκος, μόνο στην περίπτωση όπου H=R. Αυτό γιατί τότε η δύναμη που ασκεί δεξιά το υγρό θα ισούται με την δύναμη που ασκείται αριστερά στο έμβολο από τον ατμοσφαιρικό αέρα. Άρα το έμβολο θα ισορροπεί και το ελατήριο δεν θα χρειαστεί να ασκήσει επιπλέον δύναμη, οπότε θα βρίσκεται στο φυσικό του μήκος.
Για τιμές όπου Η>R θα έχουμε συσπείρωση.
Για τιμές όπου Η<R θα έχουμε επιμήκυνση.
Σπύρο θα υπάρχει αέρας στον μικρό κύλινδρο;
Αν ξεπεραστεί μια οριακή τιμή του Η (σχετικά μικρό) τότε ναι στον αριστερό σωλήνα πράγματι θα υπάρξει εγκλωβισμένος αέρας.
Αλλά εδώ δεν είναι σαν ανοιχτά συγκοινωνούντα δοχεία που δέχονται την ίδια ατμοσφαιρική πίεση, γιατί το ένα είναι κλειστό από πάνω. Αυτό το λέω γιατί η γνωστή αρχή λαμβάνει μορφή.
Έβγαλα προς το παρόν το δεύτερο ερώτημα. Ίσως κάποια στιγμή να δω τι θα συμβεί όταν το ύψος Η πάρει οριακή τιμή.