Τά πάντα ῥεῖ ;

          Δύο ομόκεντροι ομογενείς δίσκοι Δ₁ , Δ₂  με ακτίνα R₁=0,1m και R₂=0,2m δημιουργούν μια διπλή τροχαλία όχι αμελητέας μάζας. Η διπλή τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα zz΄, ο οποίος έχει στερεωθεί σε κατακόρυφο τοίχωμα και διέρχεται από το κέντρο Ο των δίσκων. Γύρω από το μικρό δίσκο Δ₁ είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα Ν₁ που στο άκρο του είναι δεμένο σώμα Σ_1, μάζας m₁=1kg. Κάτω από το μεγάλο δίσκο Δ₂ εφάπτεται το άκρο Λ, της οριζόντιας ομογενούς ράβδου ΛΡ μήκους L και μάζας M=3kg, που είναι αρθρωμένη με σταθερό οριζόντιο άξονα z₁z₁΄ σε κατακόρυφο τοίχωμα και διέρχεται από το σημείο Α που απέχει απόσταση L/3 από το άκρο της Λ. Στο άλλο άκρο Ρ της ράβδου δένουμε λεπτό αβαρές και μη έκτακτο νήμα Ν₂ όπου στο άλλο άκρο του είναι δεμένο σώμα Σ_2, μάζας m₂=0,25kg. Το σώμα Σ₂ είναι στερεωμένο στο πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς σκληρότητας Κ=10 N/m το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά Δl =0,25m από τη θέση φυσικού μήκους του l₀ .

α. Στην αρχική κατάσταση το σύστημα – διπλή τροχαλία, ράβδος και σημειακές μάζες m₁ , m₂ – ισορροπεί με τα σώματα Σ₁ , Σ₂  να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Τότε ο δίσκος  Δ₂ της διπλής τροχαλίας μόλις που ισορροπεί εξαιτίας της οριακής τριβής που εμφανίζει με το άκρο Λ της ράβδου. Να υπολογίσετε τον συντελεστή οριακής τριβής μεταξύ της ράβδου και του δίσκου Δ₂ της διπλής τροχαλίας.

       Τη χρονική στιγμή t=0 κόβεται το νήμα Ν₂ και τότε η διπλή τροχαλία ξεκινά να στρέφεται, ενώ ταυτόχρονα το νήμα Ν₁  ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει από τον μικρό δίσκο Δ₁ με το σώμα Σ₁  να κατεβαίνει, ενώ το σώμα Σ₂ αρχίζει να ταλαντώνεται.

β. Να εξηγήσετε γιατί η ράβδος εξακολουθεί να ισορροπεί οριζόντια και να υπολογίσετε τη δύναμη της τριβής μεταξύ της ράβδου και της διπλής τροχαλίας, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,2 μεταξύ της ράβδου και του δίσκου Δ₂ της διπλής τροχαλίας.

γ. Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης με το χρόνο για την απλή αρμονική ταλάντωση  που εκτελεί το σώμα Σ₂ με σταθερά επαναφοράς D=K και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση για 0 ≤ t ≤ 3s.

         Δίνεται ότι θετική είναι η φορά της επιμήκυνσης του ελατηρίου για την απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος Σ₂ και ότι π²=10.

        Τη χρονική στιγμή t₁ που το σώμα Σ₁ φθάνει στο οριζόντιο δάπεδο από το νήμα που ξετυλίχτηκε από το δίσκο Δ₁ της διπλής τροχαλίας , το σώμα Σ₂ διέρχεται για πέμπτη  φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσης από θέση όπου το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του γίνεται μέγιστο. Ταυτόχρονα, στιγμή t₁ ,η διπλή τροχαλία έχει εκτελέσει Ν=25/4π στροφές.

δ. Να υπολογίσετε τη σταθερή γωνιακή επιτάχυνση της διπλής τροχαλίας και το φυσικό μήκος του ελατηρίου.

ε. Τη χρονική στιγμή t₁ για το σώμα Σ₁, να δείξετε ότι η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της μηχανικής του ενέργειας ισούται με την απόλυτη τιμή του ρυθμού παραγωγής έργου της τάσης του νήματος Ν₁.

       Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s² .

Λύση σε pdf