Εξαιρετικό. Για όποιον δεν έχει αντιμετωπίσει κάτι τέτοιο τότε είναι πολύ δύσκολο. Σε γενικές γραμμές όμως είναι βατό για όλους.
Θα το λύσω όπως έκανα όλα τα βήματα στο μυαλό μου.
Αρχικά αποκλείουμε την περίπτωση να μην έχει ρίζα. Παραγωγίζοντας την συνάρτηση f=x^2 + sqrt(5-x) -5, βλέπουμε ότι έχει δύο ρίζες, μια θετική και μια αρνητική.
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο την αρχική εξίσωση, παίρνουμε ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού. Δεν κατάφερα να το παραγοντοποιήσω.
Αλλάζουμε τακτική και γράφουμε το x = (+-)sqrt(5-sqrt(5-x)). Αντικαθιστούμε το x εντός της ρίζας και παίρνουμε θετικώς x=sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-…))) (άπειρες φορές). Έτσι αν υψώσουμε στο τετράγωνο παίρνουμε x^2 = 5 – x με δεκτή λύση την 1.791..
Αν κάνουμε το ίδιο και για αρνητικά προκύπτει η λύση -1.562…
μετα απο μια παρατηρηση του Σπυρου Τερλεμε σχετικα με τον αρχικο περιορισμο βλεπε σχεση (2) πιο πανω πρεπει να γινει μια αλλαγη !
Διοτι πρεπει να υπαρχει η ριζα αλλα πρεπει και το
5-x^2 >0 <=> x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] φυσικα οι Χ2 και Χ3 ικανοποιουν αυτον τον περιορισμο !
Να εισαι καλα Σπυρο ειναι ενα σημειο αρχικο που θελει σιγουρα προσοχη !
Σπυρο αν παρεις θετικα χ καταληγεις στην δευτεροβαθμια εξισωση x^2 = 5 – x με δεκτή λύση την 1.791…Αν παρεις αρνητικα χ σε ποια δευτεροβαθμια εξισωση καταληγεις που εχει λυση την -1.562…? Μπορεις να το γραψεις αναλυτικα οπως εκανες και με τα θετικα χ?
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Την έλυσα αρχικά για α=5 με Newton-Raphson,
αφού πρώτα εύκολα δείχνεται,
για την πολυωνυμική εξίσωση (1),
η ύπαρξη ριζών στα διαστήματα (-3,-2) , (-2,0) , (0,2) , (2,3) .
Βλέποντας όμως ότι παραγοντοποιείται το πολυώνυμο
για α=5 (λύση Κώστα Ψυλάκου)
η γενική περίπτωση προκύπτει αβίαστα . . .
by 
Εξαιρετικό. Για όποιον δεν έχει αντιμετωπίσει κάτι τέτοιο τότε είναι πολύ δύσκολο. Σε γενικές γραμμές όμως είναι βατό για όλους.
Θα το λύσω όπως έκανα όλα τα βήματα στο μυαλό μου.
Αρχικά αποκλείουμε την περίπτωση να μην έχει ρίζα. Παραγωγίζοντας την συνάρτηση f=x^2 + sqrt(5-x) -5, βλέπουμε ότι έχει δύο ρίζες, μια θετική και μια αρνητική.
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο την αρχική εξίσωση, παίρνουμε ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού. Δεν κατάφερα να το παραγοντοποιήσω.
Αλλάζουμε τακτική και γράφουμε το x = (+-)sqrt(5-sqrt(5-x)). Αντικαθιστούμε το x εντός της ρίζας και παίρνουμε θετικώς x=sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-…))) (άπειρες φορές). Έτσι αν υψώσουμε στο τετράγωνο παίρνουμε x^2 = 5 – x με δεκτή λύση την 1.791..
Αν κάνουμε το ίδιο και για αρνητικά προκύπτει η λύση -1.562…
Αυτές είναι και οι δύο λύσεις της εξίσωσης.
Κωνσταντίνε καλημέρα!
Η εξίσωση έχει σίγουρα λύση;
Την βάζω στο graph και παίρνω την γραφική παράσταση (με περιορισμό -sqrt(5) < x < sqrt(5)
Για την εξίσωση: f(x) = x4 – 10x2 + x + 30
shorturl.at/qyG68
Κωνσταντίνε καλημέρα!!!
Άκυρο το παραπάνω σχόλιο αφού για + 20 είχα βάλλει + 30, οπότε η σωστή γραφική παράσταση είναι
f(x) = x4 – 10×2 + x + 20
Καλησπερα σε ολους !
Καποιες σκεψεις στο θεμα με μολυβι και χαρτι …..:))
μετα απο μια παρατηρηση του Σπυρου Τερλεμε σχετικα με τον αρχικο περιορισμο βλεπε σχεση (2) πιο πανω πρεπει να γινει μια αλλαγη !
Διοτι πρεπει να υπαρχει η ριζα αλλα πρεπει και το
5-x^2 >0 <=> x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] φυσικα οι Χ2 και Χ3 ικανοποιουν αυτον τον περιορισμο !
Να εισαι καλα Σπυρο ειναι ενα σημειο αρχικο που θελει σιγουρα προσοχη !
Καλησπερα σε ολους. Επειδη ολη μερα ελειπα θα διαβασω τωρα και θα επανελθω Ευχαριστω πολυ που ασχοληθηκατε,
Σπυρο αν παρεις θετικα χ καταληγεις στην δευτεροβαθμια εξισωση x^2 = 5 – x με δεκτή λύση την 1.791…Αν παρεις αρνητικα χ σε ποια δευτεροβαθμια εξισωση καταληγεις που εχει λυση την -1.562…? Μπορεις να το γραψεις αναλυτικα οπως εκανες και με τα θετικα χ?
Κωστα εισαι μεγαλος μαστορας στην παραγοντοποιηση!!
Προφανώς στην x^2=4+x
Ειναι το ίδιο βήμα με την θετική περίπτωση γιαυτο δεν το έγραψα.
x = -sqrt(5-sqrt(5-x)),και Αντικαθιστούμε το x εντός της ρίζας και ποια παρασταση με απειρες ριζες βγαινει? Βγαινει με +,- εναλλαξ?
Καλησπέρα Κώστα
Ωραία άσκηση!
Είπα να γράψω μια γενίκευση . . . στον σύνδεσμο εδώ.
Καλό σου βράδυ.
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλησπερα Θρασυβουλε. Μετα το Η εξίσωση (1) γίνεται:…πως απο την δευτερη σειρα πας στην τριτη?
Καλησπερα Βασιλη.Το graph ταιριαζει πολυ καλα με τις λυσεις που βρηκαν αναλυτικα ο Κωστας και ο Σπυρος.
Την έλυσα αρχικά για α=5 με Newton-Raphson,
αφού πρώτα εύκολα δείχνεται,
για την πολυωνυμική εξίσωση (1),
η ύπαρξη ριζών στα διαστήματα (-3,-2) , (-2,0) , (0,2) , (2,3) .
Βλέποντας όμως ότι παραγοντοποιείται το πολυώνυμο
για α=5 (λύση Κώστα Ψυλάκου)
η γενική περίπτωση προκύπτει αβίαστα . . .
Διόρθωση
… πρώτα εύκολα δείχνεται
για την πολυωνυμική εξίσωση x^4-10x^2+x+20=0 ,
η ύπαρξη ριζών …