Η αντίδραση είναι Ν=3mgsinθ, όπου θ η γωνία με τον ορίζοντα.
Εφόσον το Μ ισορροπεί, έχουμε Τ=Νcosθ=3mgsinθcosθ.
Επίσης είναι Τολ=μ.(Mg+Nsinθ)=m.3mg.(1+sin^2θ).
Πρέπει Τ<=μΝ, άρα μ>= sinθ.cosθ/(1+sin^2θ) = f(θ).
Πρέπει ο συντελεστής τριβής να είναι ικανός να κρατήσει το σώμα m για κάθε γωνία θ, άρα να είναι μεγαλύτερος και από την μέγιστη τιμή της f(θ). Πάμε να βρούμε την μέγιστη τιμή.
Πρέπει f'(θ)=0. Δηλαδή αν κάνουμε την παραγώγιση πρέπει, cos(2θ).(3-cos(2θ))=1-cos^(2θ).
Άρα cos(2θ)=1/3 και sin(2θ)=(ρίζα8)/3. Επίσης είναι τότε 1+sin^2θ=4/3.
Βάζοντας τα στην f(θ), παίρνουμε μέγιστη τιμή ίση με (ρίζα2)/4.
Καλημερα Μανολη και Σπυρο.Το οτι υπαρχουν χρονικες στιγμες οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση σημαινει οτι δεν εχουμε ποτε ολισθηση? Αν ο συντελεστης τριβης ηταν πολυ μικρος ωστε για ενα μικρο χρονικο διαστημα απο την αρχη της κινησης να μην εχουμε ολισθηση και μετα να αρχισει η ολισθηση,τοτε η χρονικη στιγμη που ξεκιναει η ολισθηση δεν ειναι χρονικη στιγμη οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση? Γιατι αν η χρονικη στιγμη που ξεκιναει η ολισθηση ειναι χρονικη στιγμη οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση τοτε η ασκηση δεν λυνεται.Ελπιζω να μην σας μπερδεψα χαχα.Καλοκαιρι ειναι.
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Αν η άσκηση εννοεί αυτό που λέτε τότε δεν έχει λύση!
Προφανώς όμως εννοεί ότι το ημικύκλιο είναι ακίνητο, και κατά συνέπεια κοντεύει οριακά να κινηθεί όταν οριακά πάει να ολισθήσει – εν τελεί δεν ξεπερνά αυτήν την τιμή και άρα συνεχίζει να είναι ακίνητο.
Ναι Σπυρο το καταλαβα σιγουρα αυτο εννοει.Ομως η ασκηση για να ειναι σαφως μαθηματικα διατυπωμενη πρεπει να λεει οτι δεν εχουμε ποτε ολισθηση μεταξυ σωματος Μ και εδαφους.Συμφωνεις?
Τελευταία διόρθωση4 έτη πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Καλησπέρα παιδιά. Σπύρο , Κωνσταντίνε, Αριστείδη σας ευχαριστώ όλους για το σχολιασμό. Σπύρο εύγε για την όμορφη λύση , η οποία συμπίπτει και με τη δική μου.
Κωνσταντίνε έχεις δίκιο η εκφώνησή παρα ήταν λακωνική. Ναι Αριστείδη και γω αυτό είχα βρει , οπότε επιβεβαιώνεται με τις λύσεις σας ότι δεν έκανα λάθος πράξεις εκεί με ττην παράγωγο. Να είστε καλά
by 
Χρόνια πολλά σε όλους (με λίγο καθυστέρηση οι ευχές) με υγεία. Μια ασκησούλα για να περάσει η ώρα .
Καλησπέρα κ. Μανόλη.
Μια αναλυτική λύση.
Η αντίδραση είναι Ν=3mgsinθ, όπου θ η γωνία με τον ορίζοντα.
Εφόσον το Μ ισορροπεί, έχουμε Τ=Νcosθ=3mgsinθcosθ.
Επίσης είναι Τολ=μ.(Mg+Nsinθ)=m.3mg.(1+sin^2θ).
Πρέπει Τ<=μΝ, άρα μ>= sinθ.cosθ/(1+sin^2θ) = f(θ).
Πρέπει ο συντελεστής τριβής να είναι ικανός να κρατήσει το σώμα m για κάθε γωνία θ, άρα να είναι μεγαλύτερος και από την μέγιστη τιμή της f(θ). Πάμε να βρούμε την μέγιστη τιμή.
Πρέπει f'(θ)=0. Δηλαδή αν κάνουμε την παραγώγιση πρέπει, cos(2θ).(3-cos(2θ))=1-cos^(2θ).
Άρα cos(2θ)=1/3 και sin(2θ)=(ρίζα8)/3. Επίσης είναι τότε 1+sin^2θ=4/3.
Βάζοντας τα στην f(θ), παίρνουμε μέγιστη τιμή ίση με (ρίζα2)/4.
Οπότε σωστό το (γ).
Καλό βράδυ!!
Καλημερα Μανολη και Σπυρο.Το οτι υπαρχουν χρονικες στιγμες οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση σημαινει οτι δεν εχουμε ποτε ολισθηση? Αν ο συντελεστης τριβης ηταν πολυ μικρος ωστε για ενα μικρο χρονικο διαστημα απο την αρχη της κινησης να μην εχουμε ολισθηση και μετα να αρχισει η ολισθηση,τοτε η χρονικη στιγμη που ξεκιναει η ολισθηση δεν ειναι χρονικη στιγμη οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση? Γιατι αν η χρονικη στιγμη που ξεκιναει η ολισθηση ειναι χρονικη στιγμη οπου οριακα δεν εχουμε ολισθηση τοτε η ασκηση δεν λυνεται.Ελπιζω να μην σας μπερδεψα χαχα.Καλοκαιρι ειναι.
Καλημερα κ. Κωνσταντίνε,
Αν η άσκηση εννοεί αυτό που λέτε τότε δεν έχει λύση!
Προφανώς όμως εννοεί ότι το ημικύκλιο είναι ακίνητο, και κατά συνέπεια κοντεύει οριακά να κινηθεί όταν οριακά πάει να ολισθήσει – εν τελεί δεν ξεπερνά αυτήν την τιμή και άρα συνεχίζει να είναι ακίνητο.
Ναι Σπυρο το καταλαβα σιγουρα αυτο εννοει.Ομως η ασκηση για να ειναι σαφως μαθηματικα διατυπωμενη πρεπει να λεει οτι δεν εχουμε ποτε ολισθηση μεταξυ σωματος Μ και εδαφους.Συμφωνεις?
Μανόλη καλημέρα . Το γ σωστό
Καλησπέρα παιδιά. Σπύρο , Κωνσταντίνε, Αριστείδη σας ευχαριστώ όλους για το σχολιασμό. Σπύρο εύγε για την όμορφη λύση , η οποία συμπίπτει και με τη δική μου.
Κωνσταντίνε έχεις δίκιο η εκφώνησή παρα ήταν λακωνική. Ναι Αριστείδη και γω αυτό είχα βρει , οπότε επιβεβαιώνεται με τις λύσεις σας ότι δεν έκανα λάθος πράξεις εκεί με ττην παράγωγο. Να είστε καλά