by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 27 Μάρτιος 2014 και ώρα 13:00
Λεπτή ομογενής ράβδος μήκους d και μάζας m βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από καρφί Κ τοποθετημένο στο ένα της άκρο.
α) Να εξετάσετε αν ασκείται στη ράβδο ροπή ως προς το σημείο Κ.
β) Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής της ως προς Κ.
γ) Κάποια στιγμή αφαιρούμε το καρφί. Τί κίνηση θα κάνει τη συνέχεια η ράβδος;
δ) Να υπολογίσετε πάλι τη στροφορμή της ως προς το σημείο Κ που βρισκόταν το καρφί, μετά την αφαίρεση του καρφιού.
(Ιcm = m∙d²/12)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
α) Η συνισταμένη των κατακόρυφων δυνάμεων, βάρους και κάθετης στήριξης από το δάπεδο είναι μηδενική. Η δύναμη που ασκείται από το καρφί στη ράβδο διέρχεται από το Κ, οπότε:
Στ(Κ) = 0
β) Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:
Ι(Κ) = Ιcm + m∙d²/4 = m∙d²/3
και η στροφορμή της:
L(K) = Ι(Κ)∙ω = m∙d²∙ω/3
γ) Μόλις αφαιρέσουμε το καρφί, η ράβδος θα κάνει σύνθετη κίνηση, μεταφορική με ταχύτητα υcm = ω∙d/2 και στροφική γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω.
δ) Η στροφορμή της ως προς το Κ είναι τώρα συνισταμένη της ιδιοστροφορμής της και της τροχιακής στροφορμής της, της στροφορμής δηλαδή του κέντρου μάζας της ως προς Κ:
Lʹ(K) = Ιcm∙ω + m∙υcm∙d/2 = m∙d²∙ω/12 + m∙ω∙d²/4 = m∙d²∙ω/3
Παρέμεινε δηλαδή αμετάβλητη, όπως ήταν αναμενόμενο, αφού δεν ασκήθηκε στη ράβδο κάποια ροπή.
Σχόλια
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 27 Μάρτιος 2014 στις 13:17
-
Καλησπέρα συνάδελφοι,
Διονύση, Γιάννη, Παντελή, Μανώλη, Πρόδρομε, Δημήτρη, Αριστείδη, Ξενοφώντα σας ευχαριστώ για τα σχόλια 🙂
Μανώλη ο στόχος ήταν, να αναδείξω (μέσα από τη διατήρηση) την αναγκαιότητα εισαγωγής με πιο ολοκληρωμένο τρόπο της έννοιας της τροχιακής στροφορμής υλικού σημείου και κέντρου μάζας, και όχι μόνο με μια απλή αναφορά όπως γίνεται στο σχολικό.
Σκέφτηκα αρχικά να κάνω αυτό που πρότεινες, αλλά αποφάσισα να την αφήσω πιο «λιτή» δεδομένου ότι αυτό διαφαίνεται ούτως ή άλλως, αλλά και για να μην φανεί ότι … «μεροληπτώ» υπέρ του κέντρου μάζας 🙂
Η αίσθησή μου πάντως είναι ότι οι δύο αυτές συνιστώσες «συνυπάρχουν» ούτως ή άλλως ακόμα και στην αμιγή στροφική κίνηση περί άξονα που δεν περνάει από το CM.
Μπορώ να πω ότι φαντάζομαι τον άξονα να «παγιδεύει» ένα σημείο του στερεού προκαλώντας έτσι ένα «συγχρονισμό» της στροφικής κίνησης του στερεού με την κυκλική κίνηση που κάνει το κέντρο μάζας του 🙂
Εξάλλου, κάτι ανάλογο συμβαίνει και με την κινητική ενέργεια της ράβδου:
Πριν αφαιρέσουμε το καρφί Κ = ½∙Ι(Κ)∙ω² , μετά Κʹ = ½∙Ιcm∙ω² + ½∙m∙υcm² και εύκολα φαίνεται ότι Κ = Κʹ , όπως εξάλλου είναι αναμενόμενο αφού δεν υπάρχει ανταλλαγή ενέργειας με το περιβάλλον.
Ξενοφώντα τί να πω 🙂
Είναι νομίζω φανερά τα προβλήματα που δημιουργεί η έλλειψη μιας πιο ολοκληρωμένης εισαγωγής της έννοιας της στροφορμής στο σχολικό. Αλλά τους «νόμους» … άλλοι τους ψηφίζουν !
Αριστείδη έχεις δίκιο ότι μπορούμε επικαλούμενοι τη διατήρηση της στροφορμής να δικαιολογήσουμε την ισότητα ω = ωʹ πριν και μετά την αφαίρεση του καρφιού.
Στόχος ήταν όμως να αναδείξω το έλλειμμα που υπάρχει στο σχολικό, με τον τρόπο που ορίζεται η στροφορμή υλικού σημείου, ο οποίος αφήνει την ΑΔΣ μετέωρη.
Η ισότητα ω = ωʹ όμως προκύπτει εύκολα από το γεγονός ότι η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού είναι ανεξάρτητη από το σημείο / άξονα αναφοράς και εφόσον δεν ασκήθηκε κάποια ροπή στο στερεό κατά την αφαίρεση του καρφιού δεν είχε λόγο να μεταβληθεί.
Αλλά και στο πλαίσιο του σχολικού μπορούμε να τη δικαιολογήσουμε από τις αρχικές συνθήκες ως εξής:
Πριν την αφαίρεση του καρφιού οι ταχύτητες των σημείων Κ, Ο και του άλλου άκρου έστω Κ της ράβδου ήταν αντίστοιχα: υΚ = 0 , υΟ = υcm = ω∙d/2 , υΛ = ω∙d.
Αμέσως μετά της αφαίρεση του καρφιού οι ταχύτητες αυτές είναι ίδιες, αλλά τώρα λόγω της σύνθετης κίνησης ισχύει: υΚ = υcm – ωʹ∙d/2, και υΛ = υcm + ωʹ∙d/2.
Με σύγκριση προκύπτει εύκολα ότι ωʹ = ω.
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 28 Μάρτιος 2014 στις 2:35
-
Θοδωρή καλησπέρα,
Γράφαμε ταυτόχρονα και τώρα είδα το σχόλιό σου, νάσαι καλά 🙂
Η συμβολή όμως είναι συλλογική 🙂
Δεν προλαβαίνω να διαβάζω τόσες και τόσες ωραίες αναρτήσεις συναδέλφων !
Όσο για το … γκάλοπ που προτείνεις, αν κρίνω (απολογούμενος για τον μη σχολιασμό) από τις πολύ εύστοχες επαναληπτικές ερωτήσεις που ανεβάζεις τελευταία, έχω την αίσθηση ότι αν γίνει στους δικούς σου μαθητές θα τους βρει όλους … “ετοιμοπόλεμους” 🙂
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 28 Μάρτιος 2014 στις 23:13
-
Καλησπέρα,αυτό που προκύπτει είναι ότι στη συντριπτική πλειονοψηφία(>80%) διδάσκεται ότι γράφει το σχολικό βιβλίο για την στροφορμή υλικού σημείου.Ένα μικρό ποσοστό (<10%) διδάσκεται τα περί εξωτερικού γινομένου και το υπόλοιπο είναι αυτό που θα λέγαμε “Δεν ξέρω – Δεν απαντώ”, όπου συναθροίζονται απαντήσεις όπως “δεν έχουμε φθάσει ακόμη στην στροφορμή” ή “δεν κάνουμε θεωρία” ή “τελειώσαμε το στερεό σε 4 διδακτικές ώρες”…
Σχόλιο από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 28 Μάρτιος 2014 στις 23:14
-
“τελειώσαμε το στερεό σε 4 διδακτικές ώρες”
Η σωστή διαδικασία!!!
Καλησπέρα Ξενοφώντα.
Σχόλιο από τον/την Κωστας Ψυλακος στις 28 Μάρτιος 2014 στις 23:19
-
Ξενοφων τα πραγματα ειναι ακριβως ετσι ! Αλλωστε δεν ειναι τυχαιο που εδω και αρκετα χρονια οι βαθμοι στη Φυσικη ειναι αρκετα χαμηλοι ανεξαρτητα την δυσκολια των θεματων. Μεγαλα δυστυχως τα ποσοστα που καθε χρονο ειναι κατω απο τη βαση ! Ειναι ενα θεμα που εξαρταται βεβαια απο πολλα πραγματα ,αλλα στο κομματι μαθημα – γνωση – προετοιμασια πρεπει ολοι να αναλογιστουμε τις ευθυνες μας !
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 29 Μάρτιος 2014 στις 0:10
-
Καλησπέρα, Διονύση ,Κώστα.Είναι φορές που σκέπτομαι ότι η χώρα έχει 1000 Λύκεια και έχουμε τον Μάργαρη , τον Μητρόπουλο , τον Κυριακόπουλο και άλλους πολλούς άξιους εκπαιδευτικούς, παίρνω ενδεικτικά αυτούς τους τρεις. Τους αναθέτουμε να περιηγηθούν την επικράτεια και παρουσιάσουν τα της Στροφορμής .Σε μια εβδομάδα 5 εργάσιμων ημερών καλύπτουν 15 Λύκεια και σε 65 ημέρες όλη τη χώρα.Έξοδα μετακίνησης και διαμονής πληρωμένα, θα μας στοιχίσουν 1.570.000 Ευρώ;(κόστος για τη δημιουργία της τράπεζας θεμάτων).
Ξέρω, ξέρω τι θα απαντήσετε , “αυτά γίνονται σε άλλη φάση του καπιταλισμού πιο ώριμη…”
Σχόλιο από τον/την Παπασγουρίδης Θοδωρής στις 29 Μάρτιος 2014 στις 2:27
-
Διονύση, για να καταλάβεις, τη χρονική σύμπτωση, χθες αφιέρωσα μια ώρα για τη στροφορμή υλικού σημείου και στερεού που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Στο τέλος τους είπα: «Αύριο συνεχίζουμε με τη στροφορμή στερεού που εκτελεί σύνθετη»
Σήμερα τους έδωσα αυτό, λέγοντας*: «Πάρτε το, όχι τόσο για τις εξετάσεις, αλλά κρατείστε το και όσοι του χρόνου διδαχθείτε Μηχανική σε επίπεδο 1ου έτους, διαβάστε το ξανά, για να καταλάβατε αυτά που πρέπει….»
* Αδίκησα την εξαιρετική μελέτη του Μάργαρη, αλλά πρέπει να κάνω «οικονομία» στο χαρτί και στο μελάνι του φωτοτυπικού…..Η μελέτη αυτή, όμως, ήταν ο κορμός της χθεσινής διδασκαλίας…
Ξενοφώντα, το συμπέρασμα είναι απλό: Αν ζητηθεί σε θέμα εξετάσεων στροφορμή υλικού σημείου, θα πρέπει να βρεθεί πάση θυσία και κυκλική τροχιά…..
Καλησπέρα Διονύση.
Διδακτικότατη!
Αποτελεί καλή περίπτωση γνωστικής σύγκρουσης.
-Αφού παιδιά η ροπή είναι μηδέν γιατί αλλάζει το Ι.ω ;;
-Έτσι Διονύση & Διονύση να εμπεδωθεί η L καλά.
Βλέπουμε και στη ΔΤ το παγκόσμιο πρωτάθλημα καλ/κού πατινάζ…,
να ξέρουμε τι βλέπουμε, πέρα από την ομορφιά της πλαστικότητας
του ανθρώπινου κορμιού!
Γιάννη λες «-Αφού παιδιά η ροπή είναι μηδέν γιατί αλλάζει το Ι.ω ;;»
Μήπως θες να πείς «… γιατί να αλλάξει το Ι.ω ;;
Θέλω να πω Παντελή ότι το ω μένει ίδιο αλλά το Ι γίνεται από Ι ->Ιcm (υποτετραπλάσια) οπότε στα μάτια ενός παιδιού η στροφορμή , ταυτιζόμενη λόγω βιβλίου με την ιδιοστροφορμή, υποτετραπλασιάζεται.
-Με ποια ροπή ρε παιδιά;
Διονύση καλησπέρα
Πολύ διδακτικό θέμα που συντελεί στην βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της σροφορμής.
Λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση του Γιάννη θα έλεγα ότι θα ήταν σκόπιμο και όσο η ράβδος είναι δεσμευμένη να ζητηθεί ο υπολογισμός των συνιστωσών στροφορμών τροχιακής και ιδιοστροφορμής οπότε θα γινόταν φανερό ότι δεν αλλάζουν και μετά την ελευθέρωση της ράβδου.
Μπράβο Διονύση, με δυο κινήσεις ματ!! Ευφυές!!
Εξαιρετικής διδακτικής αξίας … “παρτίδα”
( όπως όμορφα διατύπωσε ο Πρόδρομος )
και πάλι ευχαριστώ Διονύση.
ΜΠΡΑΒΟ ΔΙΟΝΥΣΗ ΠΟΛΥ ΚΑΛΟ . ΜΗΠΩΣ ΕΠΡΕΠΕ ΠΡΩΤΑ ΝΑ ΕΦΑΡΜΟΣΕΙΣ ΤΗΝ Α.Δ.ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΓΙΑ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΤΙ Η ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΣΤΑΘΕΡΗ; ΠΩΣ Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΘΑ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ ΟΤΙ Η ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΙΔΙΑ ΟΤΑΝ Η ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΕΝΩ ΠΡΙΝ Η ΡΑΒΔΟΣ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΑΚΡΟ;ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΣ ΙΔΙΑ ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η Α.Δ.ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ
Καλησπέρα Διονύση.Πολύ ωραία πρόταση που επιβεβαιώνει ότι το απλό είναι δύσκολο.Τελικά η στροφορμή υλικού σημείου -εκτός κυκλικής-έχει “νομιμοποιηθεί”;
Μπράβο Διονύση, εξαιρετική
Νομίζω ότι οι αναρτήσεις Μάργαρη, Μητρόπουλου, Κυριακόπουλου στη στροφορμή
συνθέτουν ένα πάρα πολύ καλό διδακτικό πλαίσιο για τη στροφορμή, που αμφιβάλλω
αν το συναντάς και σε βιβλία Φυσικής 1ου έτους….
Ξενοφώντα, δοκίμασε ένα γκάλοπ στους μαθητές σου, πώς διδάχθηκαν τη στροφορμή
υλικού σημείου στο σχολείο τους. Θα είχε ενδιαφέρον να μάθουμε σε τι ποσοστό
διδάσκεται ως ροπή της ορμής και σε τι ορίζεται μόνο για κυκλική κίνηση.