by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μητρόπουλος στις 2 Δεκέμβριος 2013 και ώρα 2:30
Σώμα εκτοξεύεται από την άκρη ταράτσας κτιρίου ύψους H, τη στιγμή t = 0,
με αρχική ταχύτητα μέτρου υο κατακόρυφα προς τα πάνω,
και φτάνει στο έδαφος τη στιγμή t = 7 s με ταχύτητα μέτρου 40 m/s.
Θεωρώντας ως αρχή του y άξονα τη βάση του κτιρίου και θετική φορά προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση θέσης y(t) του σώματος.
(g = 10 m/s²)
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Η εξίσωση που ζητάμε έχει γενική μορφή:
y = yo + υο∙(t–to) + ½∙α∙(t–to)² (1)
όπου yo και υο η θέση και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή to.
Επίσης α = – g = –10 m/s².
αʹ τρόπος
Ο συνήθης τρόπος είναι να θεωρούμε ως to τη στιγμή έναρξης της κίνησης,
δηλαδή to = 0, οπότε yο = H και υο η αρχική ταχύτητα του σώματος.
Οι εξισώσεις θέσης και ταχύτητας είναι τότε:
y = Η + υο∙t – ½∙g∙t² (2) και υ = υο – g∙t (3)
Το σώμα φτάνει στο έδαφος (y = 0) τη στιγμή t = 7 s με υ = – 40 m/s, οπότε,
από τη (3) βρίσκουμε: – 40 = υο – 10∙7 → υο = 30 m/s
από την (2): 0 = Η + 30∙7 – ½∙10∙7² → Η = 35 m
και τελικά η ζητούμενη εξίσωση θέσης είναι:
y = 35 + 30∙t – 5∙t²
βʹ τρόπος
Η χρονική στιγμή αναφοράς δεν είναι υποχρεωτικό να είναι η στιγμή έναρξης της κίνησης, αλλά οποιαδήποτε άλλη στιγμή τ. Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί γενικότερα:
y = yτ + υτ∙(t–τ) + ½∙α∙(t–τ)² (4)
όπου τώρα yτ και υτ η θέση και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή τ.
Αν τώρα επιλέξουμε τη στιγμή τ = 7 s για την οποία γνωρίζουμε ότι yτ = 0 και υτ = – 40 m/s
και αντικαταστήσουμε στην (4), η ζητούμενη εξίσωση προκύπτει όπως και πριν:
y = 0 – 40∙(t–7) – ½∙10∙(t–7)² → y = 35 + 30∙t – 5∙t²
