by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Νίκος Σταματόπουλος στις 4 Δεκέμβριος 2010 και ώρα 4:30
Με αφορμή τους προβληματισμούς που έθεσε ο Διονύσης Μάργαρης στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια των σημείων μιας χορδής κατά τη διάδοση ενός κύματος η “άσκηση” αυτή προσπαθεί να ρίξει λίγο φως.
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται η διάταξη του σχήματος που αποτελείται από Ν (Ν→∞) όμοια σημειακά σώματα μάζας m το καθένα, τα οποία συνδέονται με όμοια ελατήρια σταθεράς k. Στα άκρα τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται πάνω στους οδηγούς χωρίς τριβές. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος οι μάζες απέχουν απόσταση α και τα ελατήρια είναι σε επιμήκυνση λόγω της δύναμης που ασκείται από τους οδηγούς (προένταση). Το σώμα που βρίσκεται στο αριστερό άκρο συνδέεται με κατάλληλη μηχανική διάταξη ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση.
α) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς που επενεργεί σε κάθε σώμα.
β) Μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε σώμα;
γ) Να βρεθεί το εύρος των συχνοτήτων για το οποίο η διαταραχή αυτή μπορεί να διαδοθεί χωρίς απώλειες. Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή);
δ) Να δείξετε ότι η ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα(διασκεδασμός). Πώς διαμορφώνεται το αποτέλεσμα για ένα συνεχές μέσο (χορδή);
Να θεωρήσετε το πλάτος ταλάντωσης μικρό και την δύναμη προέντασης ισχυρή ώστε κάθε σώμα να ταλαντώνεται κάθετα στην ευθεία ισορροπίας του συστήματος.
Διονύση (Μητ.) είμαι δικαιολογημένος τώρα για την αργοπορία; Ο Σ. άνοιξε ένα σωρό θέματα και άλλα τόσα ανοίχθηκαν στην πορεία. (Τι να πρωτοπρολάβει κανείς!)
Νίκο σε ευχαριστούμε. Άργησα χθες βράδυ (και με αρκετή κατανάλωση οινοπνεύματος) μου έπεσε λίγο βαριά η μελέτη, αλλά νιώθω να δίνει απαντήσεις σε προηγούμενα ερωτήματα. Θα το μελετήσω ξανά… Νά’ σαι καλά.
Νίκο δεν είναι βέβαια άπειροι αλλά…..
Με οδηγούς
Χωρίς οδηγούς
Νίκο πολύ καλή η μελέτη σου. Η δεύτερη ανάγνωση (μετά το δεύτερο καφέ και σαφώς με πιο ανοιχτό μάτι….) με οδήγησε σε κάποιες σκέψεις τις οποίες θέλω να θέσω.
Αν κατά μήκος του γραμμικού αυτού μέσου διαδίδεται «ελεύθερα» μια διαταραχή, τότε έχουμε μια κυκλική ιδιοσυχνότητα:
Αυτό μου «πάει» και νομίζω ότι απαντάς στο ερώτημα που είχα βάλει εδώ.
Βέβαια αναρωτιέμαι ακόμη. Η παράσταση:
δείχνει ότι η ΣF δεν είναι ανάλογη του y. Μήπως όμως θα μπορούσε να μετασχηματισθεί ώστε το γινόμενο k(2yn-yn-1-yn) να γίνει ίσο με D∙yn ;
δείχνει ότι η ΣF δεν είναι ανάλογη του y. Μήπως όμως θα μπορούσε να μετασχηματισθεί ώστε το γινόμενο k(2yn-yn-1-yn) να γίνει ίσο με D∙yn ;
Αυτή η παρένθεση δείχνει να εξαρτάται όχι μόνο από την απομάκρυνση της μάζας στη θέση n αλλά και από τις διπλανές της. Μήπως αυτό μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση του ℓ0, k και Α; Ξέρεις ότι δεν μου «πάει» το να μην αποδώσω δυναμική ενέργεια…
Ας προχωρήσουμε:
Όταν έχουμε εξαναγκασμένη ταλάντωση του ενός άκρου η διαταραχή ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη και τότε μεταβάλλεται η ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής, αφού πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση:
Αυτό που μου δημιουργεί πρόβλημα είναι το εύρος των γωνιακών συχνοτήτων:
Δηλαδή τι συμβαίνει; Ο διεγέρτης δεν μπορεί να έχει οποιαδήποτε γωνιακή συχνότητα; Τι θα γίνει αν θέσουμε σε ταλάντωση το αριστερό άκρο με γωνιακή συχνότητα μεγαλύτερη από 2ω0;
Και ένα τελευταίο. Ενώ για διακριτά υλικά σημεία έχουμε το φαινόμενο του διασκεδασμού, πράγμα που μου φαίνεται λογικό στο όριο του συνεχούς προκύπτει
οπότε εδώ υπάρχει ένα, να το πω χάσμα;
Νίκο μπράβο, δεν έχω λόγια!
(Με έκανες να … ξεχάσω να πιω καφέ, παρόλο τον εθισμό μου :-))
Με εντυπωσίασε ιδιαίτερα αυτή η ποσότητα ωο, που σε συνεχές μέσο τείνει στο 0.
Ας μην ξεχνάμε ότι το κάθε σφαιρίδιο (μόριο) εκτελεί εξαναγκασμένη ΑΤ.
Έχω λοιπόν την εντύπωση ότι εκφράζει (ή τουλάχιστον σχετίζεται με) το βαθμό σύζευξης μεταξύ των σφαιριδίων. Αν είναι μεγάλες οι μεταξύ τους αποστάσεις, ή αν η ασκούμενη τάση είναι μικρή (χαλαρή σύζευξη, μικρή “ελαστικότητα” του μέσου), τότε αυξάνεται η δυσκολία διάδοσης ενέργειας σε πιο μεγάλες συχνότητες.
Σε συνεχές μέσο όμως είναι πιο ισχυρή (τείνει να γίνει πλήρης;) η σύζευξη μεταξύ των μορίων, οπότε μπορεί να διαδοθεί κύμα οποιασδήποτε συχνότητας.
Τώρα σχετικά με τη δυναμική ενέργεια, ας μην ξεχνάμε πάλι ότι πρόκειται για εξαναγκασμένες διαδοχικές ΑΤ.
Το κάθε σωματίδιο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση, αλλά λειτουργεί και ως διεγέρτης για το επόμενο.
Η ενέργεια μεταφέρεται λοιπόν διαρκώς από σωματίδιο σε σωματίδιο (ακόμα και κι αν είναι μηδενικές οι απώλειες, αφού το μέτωπο εξαπλώνεται).
Επομένως είναι λογικό να μην φαίνεται να έχει “δική του” ενέργεια το κάθε σωματίδιο. Μπορούμε υποθέτω να μιλάμε για ένα σταθερό ποσό ενέργειας ταλάντωσης (ή μήπως κατά μέσο όρο σε κάθε περίοδο σταθερό; Θυμηθείτε αυτά που λέγαμε παλαιότερα στην εξαναγκασμένη ΓΑΤ), αλλά πρόκειται για μια κατάσταση “δυναμικής” ισορροπίας, είναι “περαστική” δηλαδή από το κάθε σωματίδιο.
Γιάννη και Διονύση σας ευχαριστώ !!
1. Άλλαξα λίγο τις παραμέτρους στο ip του Γιάννη (εδώ) και αξίζει να παρατηρήσετε ότι πάνω από 2Ηz έχουμε εμφανέστατα απόσβεση ενώ πάνω από 6Ηz δεν διαδίδεται η διαταραχή.
2. Τα αποτελέσματα της (ας πούμε) “μελέτης” έδειχναν ποιες συχνότητες διαταραχής μπορούν να διαδοθούν χωρίς απόσβεση. Ανάποδα λοιπόν αν το ω είναι έξω από αυτό το εύρος, είτε έχουμε απόσβεση είτε δεν περνά η διαταραχή. Στο ip του Γιάννη, που έχουμε πεπερασμένο πλήθος ταλαντωτών, έχουν νόημα τα παραπάνω μέχρι να φτάσει η διαταραχή στο δεξί άκρο (γιατί μετά έχουμε ανάκλαση και συμβολή).
3. Αν ο διεγέρτης σταματήσει το κύμα εξακολουθεί να διαδίδεται με την ω (η ω0 δεν έχει να κάνει με ιδιοσυχνότητα απλά έχει διαστάσεις κυκλικής συχνότητας).
4.Το άθροισμα yn-1+yn+1 είναι ανάλογο της yn όπως φαίνεται δύο γραμμές κάτω από την (8) αλλά αυτό ισχύει μόνο για αρμονική διέγερση.
5. Εξαιρετικής σημασίας ρόλο παίζει η ισχυρή δύναμη προέντασης. Χωρίς αυτή δεν ισχύουν όλα τα παραπάνω.
6. Σε αρμονική διέγερση κάθε ταλαντωτής εκτελεί αρμονική ταλάντωση αλλά το D=mω2 (όπως εύκολα αποδεικνύεται) και όχι κάτι άλλο.
7. Στο όριο του συνεχούς δεν υπάρχει χάσμα. Όλα τα ω επιτρέπονται και διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα.
Καλώς τον παραπονιάρη Διονύση (Μητ) !!
Σ’ ευχαριστώ για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σου!
Όπως στην εξαναγκασμένη ισχύει : υ2+ω2×2=ω2Α2
που οδηγεί στην (1/2)(mυ2+mω2×2)=σταθ δηλ D=mω2 όπου ω του διεγέρτη, το ίδιο ισχύει και εδώ.
Διονύση στο συνεχές η ω0 τείνει στο άπειρο (γι’ αυτό επιτρέπονται όλα τα ω).
(θεωρώντας ότι το μ παραμένει σταθερό)
Ναι Νίκο ακριβώς αυτό λέω.
Τι είναι αυτό που στα διακριτά σφαιρίδια δυσκολεύει σε πιο μεγάλες συχνότητες τη μεταφορά ενέργειας, ενώ όσο τείνει το μέσο προς το συνεχές, αυτός ο περιορισμός αίρεται;
Αυτή η αύξηση του ορίου ωο, δεν φαίνεται να εκφράζει την όλο και πιο ισχυρή σύζευξη μεταξύ των σφαιριδίων;
Νίκο σε ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις. Βλέποντας την εξίσωση (3) και θέλοντας οι επιθυμίες μου να είναι πραγματικότητα, το ονόμασα γωνιακή ιδιοσυχνότητα. Έχεις δίκιο. δεν είναι αυτό. Έπαιξα και λίγο με το i.p. (του έκανα και μια αλλαγή στις περιοχές μέτρησης, δείτε τη νέα έκδοση) και πράγματι επιβεβαιώνει αυτό που λες. Αλλά και ο Διονύσης νομίζω ότι έχει δίκιο σε αυτό που λέει. Αν αυξήσουμε το k αυξάνουμε τη σύζευξη και μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι διαδίδονται και συχνότητες μεγαλύτερες.
Τώρα τι λέτε να μιλήσουμε για τη διατήρηση! της ενέργειας της ταλάντωσης ενός σωματιδίου;
Το θέμα είναι τι κερδίζουμε και τι χάνουμε…
Διονύση συγχαρητήρια και σε σένα και στον Γιάννη (που θα έχει βαρεθεί να τα ακούει!) για το ip.
Είναι πράγματι πολύ περίεργα τα πράγματα με την ενέργεια στα κύματα.
Να υποθέσουμε κατ’ αρχήν ιδανικό γραμμικό ελαστικό μέσο (χωρίς εσωτερικές απώλειες) και χωρίς αντίσταση αέρα, κλπ.
Αν δούμε μεμονωμένα το κάθε μόριο (έστω, στοιχειώδες τμήμα), αφού σταθεροποιηθεί η κυματική εικόνα, παρατηρούμε ότι κάνει μια «ιδιότυπη» εξαναγκασμένη ΑΤ, ιδιότυπη με την έννοια ότι του προσφέρεται μεν διαρκώς ενέργεια από το προηγούμενο μόριο – διεγέρτη, η ενέργεια αυτή όμως δεν χάνεται σε έργο δυνάμεων απόσβεσης, αλλά μεταφέρεται στο επόμενο μόριο – ταλαντωτή.
Οι δυνάμεις που συμμετέχουν στις ταλαντώσεις των μορίων πιστεύω μπορούν θεωρούνται συντηρητικές από τη φύση τους (εκτός από την εξωτερική δύναμη που ασκεί η πηγή).
Αν θυμηθούμε προηγούμενες συζητήσεις πάνω στην εξαναγκασμένη ΑΤ, είχαμε μιλήσει για σταθερή κατά μέσο όρο ανά περίοδο ολική ενέργεια, που όμως παρουσιάζει διακυμάνσεις (διαφορετικές τιμές των Κmax και Umax) όταν η διεγείρουσα δύναμη δεν βρίσκεται σε φάση με τη δύναμη επαναφοράς.
Εδώ βέβαια είναι οι ίδιες δυνάμεις που παίζουν, από τη μια πλευρά ρόλο διέγερσης και δύναμης επαναφοράς, και από την άλλη δύναμης επαναφοράς και απόσβεσης (ή κάπως έτσι).
Επομένως είναι μηχανική ενέργεια αυτή που μεταφέρεται μέσω των έργων τους από μόριο σε μόριο.
Επιπλέον, η διαφορά φάσης από μόριο σε μόριο είναι πολύ μικρή.
Πιστεύω λοιπόν ότι μπορούμε να μιλάμε για σταθερή ολική ενέργεια ταλάντωσης για κάθε μόριο (με ένα δυναμικό τρόπο βέβαια).
Έχουμε ΑΔΜΕ σε κάθε ταλαντούμενο μόριο; Αυτό μάλλον δεν μπορούμε να το ισχυριστούμε, διότι παρόλο που η εμπλεκόμενη ενέργεια είναι μόνο μηχανική, υπάρχει διαρκής μεταφορά της από μόριο σε μόριο και μένει σταθερή ανά μόριο απλά επειδή οι ρυθμοί απώλειας / αναπλήρωσης είναι ίδιοι.
Εξάλλου αν παρατηρήσουμε όλο το κύμα από την πηγή μέχρι το μέτωπο η μηχανική ενέργεια αυξάνεται με τη διάδοση αφού συνεχώς προσφέρεται ενέργεια από την πηγή.
Αν βέβαια το κύμα φτάσει στα όρια του μέσου και τύχει με την ανάκλαση να δημιουργηθεί και στάσιμο, τότε τα πράγματα αλλάζουν ριζικά! 🙂
Μόλις τώρα κατάλαβα τι εννοούσες Νίκο!
Είχα γράψει κατα λάθος για την ωο ότι τείνει στο 0 αντί στο άπειρο!
Διονύση (Μητ) συμφωνώ απόλυτα στην ερμηνεία που δίνεις. Μόνο για τη διαφορά φάσης θα περιμένουμε να μην είναι πολύ μικρή στο όριο του μικρού μήκους κύματος, όπου το λ είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με την διαμοριακή απόσταση α.
Διονύση (Μαρ), στην ερώτηση: “Τώρα τι λέτε να μιλήσουμε για τη διατήρηση! της ενέργειας της ταλάντωσης ενός σωματιδίου;Το θέμα είναι τι κερδίζουμε και τι χάνουμε… ”
Η απάντηση που μου ‘ρχεται αυθόρμητα είναι :”θα κερδίσουμε εχθρούς και θα χάσουμε φίλους από το δίκτυο !” :-))
Σοβαρολογώντας, όπως ανέπτυξε παραπάνω ο Διονύσης, θα πρέπει μάλλον να αρκεστούμε μόνοσε κινηματικές σχέσεις (της αρμονικής ταλάντωσης).
Συμφωνώ και εγώ Νίκο να αρκεστούμε στις κινηματικές σχέσεις. Θολώνουμε το τοπίο αν κάνουμε οποιαδήποτε διασταλτική ερμηνεία της ενέργειας και εφαρμόσουμε ΔΕΤαλάντωσης. Πέρα από τη ζημιά που κάνουμε, όσον αφορά την εξαναγκασμένη ταλάντωση, δημιουργούμε την εντύπωση ότι κάθε υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, διατηρώντας την ενέργειά του, πράγμα που πολύ απέχει από την πραγματικότητα.
Σωστά! Αλλά είχα στο μυαλό μου κύματα που τα … βλέπουμε να ταξιδεύουν 🙂
Τώρα για την ενέργεια, είναι σωστό αυτό που λες, αν επιμένουμε να τη λέμε ΑΔΜΕ.
Ιδιαίτερα σε περιπτώσεις εξαναγκασμένης, μακριά από το συντονισμό, που διεγέρτης – ταλαντωτής δεν βρίσκονται σε φάση, η ολική ενέργεια παρουσιάζει διακύμανση όπως είχε ετονιστεί και στις σχετικές συζητήσεις, οπότε δεν έχουμε καν σταθερή ποσότητα παρά μόνο κατά μέσο όρο. Βέβαια η διακύμανση οφείλεται στο γεγονός ότι συγκρίνουμε την ποσότητα Κmax=½mυο²=½mω²Α² με την ποσότητα Umax=½DΑ²=½mωo²Α².
Η ποσότητα Ε=½mω²Α² παραμένει πάντως σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης και εκφράζει το συνολικό παραγόμενο ή καταναλισκόνενο έργο κάθε φορά της συνισταμένης δύναμης.
Αν λοιπόν κάθε σωματίδιο του ελαστικού μέσου στα κύματα βρίσκεται κάποια στιγμή σε θέση x με ταχύτητα υ, τότε έχει κινητική ενέργεια Κ=½mυ²και, σε σχέση με τη θέση ισορροπίας του, έχασε ή θα πάρει μέσω έργου ποσό ενέργειας ίσο με |W|=½mω²Α²−½mυ²=½mω²x², ώστε το άθροισμα Κ+|W| να παραμένει σταθερό.
Στα γραμμικά κύματα μάλιστα (αν θεωρήσουμε ιδανική κατάσταση), δεν εμπλέκονται δυνάμεις απόσβεσης, οπότε αυτό το έργο ±|W| οφείλεται στη δράση ελαστικών δυνάμεων και προσωπικά δεν θα με πείραζε να το ονομάσω “δυναμική ενέργεια”.
Εν τούτοις αντιλαμβάνομαι ότι ίσως ενοχλεί αυτή η ονομασία αφού παραπέμπει στην ΑΔΜΕ.
Αν όμως χρησιμοποιούμε όπως λέει κι ο Διονύσης τον όρο “ενέργεια ταλάντωσης”, Ε=Κ+W=½mυ²+½mω²x², τότε δεν βλέπω ότι κάνουμε κάποιο λάθος.
Συμφωνώ φυσικά ότι μπορούμε να αποφύγουμε τις ενέργειες και να χρησιμοποιούμε την κινηματική, αλλά δεν παύει και σχέση Ε=Κ+W να έχει την ευκολία της.
Βλέπω φίλε μου Διονύση (Μητ.) δεν θα τον αφήσεις σε ησυχία τον άλλο Διονύση … πάνω που πήρε μια βαριά απόφαση. 🙂
Αυτό με το Ε=Κ+W δεν θα τον αφήσει να κοιμηθεί ! (Βαλτός είσαι ; :-))
Να ‘σαι καλά για τις ωραίες – ευστοχότατες παρατηρήσεις σου.
Να ευχαριστήσω επίσης τον άλλο Διονύση και φυσικά τον Γιάννη που βοήθησαν να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα.
Όταν πήγαινα σχολείο, ο καθηγητής μας στην πολιτική αγωγή μου έλεγε όταν με εξέταζε:
Μητρόπουλε παρόλο που δεν διάβασες, έχεις μια τρομερή ικανότητα να αυτοσχεδιάζεις!
Δεν θα το έλεγα αυτοσχεδιασμό αλλά εμπειρία και “φυσική” διαίσθηση (όχι βέβαια για την αγωγή του πολίτη … εκεί ποιος ξέρει τι έλεγες !!)
Αν κρίνω από αυτά που μας λένε οι πολιτικοί μας σήμερα, μπορεί να με κάνανε και πρωθυπουργό!
Εσείς τα συζητήσατε το βράδυ, αλλά εγώ το πρωί τα διάβασα…Οπότε Νίκο δεν έχασα τον ύπνο μου! Άλλωστε τι να απαντήσω στο Διονύση και στην πρότασή του: “Συμφωνώ φυσικά ότι μπορούμε να αποφύγουμε τις ενέργειες και να χρησιμοποιούμε την κινηματική, αλλά δεν παύει και σχέση Ε=Κ+W να έχει την ευκολία της.” Να του πω ότι διαφωνώ; Δύσκολο είναι.
Αλλά είχα γράψει 2-3 φορές το ερώτημα “τι κερδίζουμε και τι χάνουμε;” Και συ Νίκο κατάλαβες και πολύ σωστά μου απάντησες αυθόρμητα…
Στη συζήτηση για τη δυναμική ενέργεια πρόσθεσα ένα σχόλιο που συνδέεται και με το θέμα της παραπάνω ανάρτησης. Από εδώ.
Φαίνεται στην “εξαναγκασμένη” η ταχύτητα διάδοσης να είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη για την “ελεύθερη”. Γιατί να συμβαίνει αυτό;
Στην Ελλάδα είμαστε Διονύση! Έχεις δει να προχωρά γρήγορα οποιαδήποτε υπόθεση από μόνη της χωρίς σπρώξιμο-εξαναγκασμό;
Μία εξήγηση (σοβαρότερη) εδώ
Νίκο … δεν παίζεσαι !! (όπως θα έλεγε κι ο Βαγγέλης :-))
Εντυπωσιακή ευστοχία !!!
Με την ευκαιρία σου εύχομαι υγεία, ευτυχία, και χρόνια πολλά 🙂
Σ’ ευχαριστώ πολύ Διονύση για τις ευχές σου και τα καλά σου λόγια !! Οι αποστάσεις δεν μας επιτρέπουν να τα πούμε σήμερα από κοντά, όμως, ελπίζω (και εύχομαι) στην επόμενη συνάντηση (κρασοσυνάντηση) να είμαι παρών. Να ‘σαι πάντα καλά !!
Περιμένω με λαχτάρα την επόμενη συνάντηση Νίκο!
(Και κάνω και … προπόνηση τα βράδια για να είμαι σε φόρμα!)
Βλέπω όμως πολλή … δυστοκία 🙂
Νίκο δεν παίζεσαι!!! Μπράβο, σε ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.
Να σου ευχηθώ και γω, χρόνια πολλά, με υγεία προσωπική και οικογενειακή και κάθε ευτυχία. Και πάντα έτοιμος για τα δύσκολα.