by 
Η ανάρτηση αυτή είναι μία προσπάθεια κωδικοποίησης των διαφόρων τρόπων σύνθεσης εξισώσεων αρμονικών ταλαντώσεων που έχουν γίνει σε παλαιότερες συζητήσεις και αφιερώνεται στον Νίκο Ανδρεάδη, ο οποίος έχει ασχοληθεί με το θέμα από εδώ.
Η συνέχεια στο Blogspot…
Ξενοφώντα καλησπέρα
Πλήρες και εμπεριστατωμένο. Πράγματι από μόνος του ο τύπος της εφαπτομένης δεν επαρκεί (θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν και οι τύποι ημίτονου, συνημιτόνου).
Η αμεσότητα βέβαια της μεθόδου με τα στρεφόμενα διανύσματα είναι αδιαμφισβήτητη!
Καλησπέρα Μανώλη , σ’ ευχαριστώ.Πράγματι χρειάζεται διερεύνηση και αιτιολόγηση της επιλογής.Κάθε φορά που αναφέρομαι στον 5ο τρόπο σκέφτομαι ότι ταιριάζει στον αμελή, αλλά ευφυή υποψήφιο.
Να είσαι καλά.
Kαλησπέρα Ξενοφώντα …
Οι προτάσεις σου είναι μια σημαντική βοήθεια
για αυτό … το αμφιλεγόμενο ζήτημα που το λέμε σύνθεση ταλαντώσεων .
Να’ σαι καλά.
Καλησπέρα Ξενοφώντα. Το ξετίναξες το θέμα!!!
Έχω ετοιμάσει 2-3 αναρτήσεις πάνω στη σύνθεση, αλλά διαβάζοντας το κείμενό σου, βλέπω ότι δεν έμεινε τίποτα άλλο να ειπωθεί!!!
Καλησπέρα Γιάννη.Αμφιλεγόμενο αλλά συχνά αποτελεί αντικείμενο εξέτασης.Επιχείρησα να δώσω διάφορους τρόπους προσέγγισης που κατά καιρούς έχουν προταθεί,απευθυνόμενος στους υποψηφίους , αλλά και σε όσους βαθμολογούν.Προσωπικά μένω στο θέμα της αιτιολόγησης της επιλογής της γωνίας θ, στον 5ο τρόπο και όπως έχω γράψει και παλαιότερα, στην “απαξίωση” του νόμου των ημιτόνων.
Σ’ ευχαριστώ καλό βράδυ.
Καλησπέρα Διονύση, σ’ ευχαριστώ.Εγώ τις περιμένω τις αναρτήσεις σου, πάντα μας δίνεις την προσωπική σου “ματιά”.Εγώ προσπάθησα να κάνω μια “κωδικοποίηση” των όσων κατά καιρούς έχουμε συζητήσει. Έγραψα “κωδικοποίηση” και σκέφθηκα ότι ο όρος είναι νομικός,( ιστορικά ανανεώσεων συμβάσεων , εταιρικών,κ.λ.π).Αλλά διαπιστώνω ότι τελευταία έχουν αρχίσει να γίνονται απαραίτητες και μεταξύ ανθρώπων που διακονούν θετικές επιστήμες, λες να είναι η “εκδίκηση” των “αρνητικών” επιστημών για την “αφ΄υψηλού” θεώρηση που έχουμε γι αυτές εμείς των θετικών επιστημών ή η αδυναμία να συνεννοηθούμε κάποιες φορές εμείς μεταξύ μας;(… είναι και αυτές οι αρνητικές αρχικές φάσεις…)
Ξενοφώντα καλησπέρα,
Προσθέτω και τα δικά μου συγχαρητήρια στην παρουσίασή σου,
που φέρει και αυτή τη … σφραγίδα σου!
(Απολογούμαι ειλικρινά γιατί δεν έχω σχολιάσει τις πρόσφατες αναρτήσεις σου
που είναι εξαιρετικές!)
Θα ήθελα με την ευκαιρία να υπενθυμίσω μια ανάρτηση ή ερώτημα συναδέλφου, που αναφερόταν σε κάποιες λυμένες ασκήσεις σύνθεσης ταλαντώσεων από το study4exams.
(Δεν μπόρεσα να το βρω, ίσως ο Διονύσης το θυμάται.)
Είχα ρίξει μια ματιά σ’ αυτές και πρόσεξα ότι στην προτεινόμενη λύση έθετε τον περιορισμό ότι η εξίσωση της σύνθεσης ισχύει μετά τη χρονική στιγμή που οι φάσεις των ταλαντώσεων γίνονται θετικές.
Για παράδειγμα, η y2 στο σχόλιό σου (στο τέλος) έχει φάση ωt-π/6.
Σημαίνει αυτό, ότι έχουμε ταλάντωση μόνο για ωt-π/6 ≥ 0 → t ≥ T/12 ;
Συνηθίζεται να θεωρούμε την αρχική φάση στο διάστημα [0, 2π), αλλά αυτό είναι μια σύμβαση. Παλαιότερα στις δέσμες προτιμούσαμε θυμάμαι το (-π, +π], ώστε αρνητική αρχική απομάκρυνση να αντιστοιχεί σε αρνητική αρχική φάση.
Προκύπτει πουθενά από το σχολικό ότι η αρνητική αρχική φάση έχει το νόημα πως η ταλάντωση δεν ξεκινάει παρά μόνο τη στιγμή που η φάση αρχίζει να παίρνει θετικές τιμές;
Στα κύματα χρησιμοποιούμε αυτή τη συνθήκη διότι, μέσα στη φάση (ωt-2πx/λ), ο όρος 2πx/λ εκφράζει την καθυστέρηση φάσης λόγω της διάδοσης του κύματος. Το κύμα φτάνει στη θέση x και αρχίζει η ταλάντωση, για t ≥ x/υ.
Σε μια ταλάντωση όμως, η αρχική φάση φ σχετίζεται απλά με τις αρχικές συνθήκες έναρξης της ταλάντωσης. Γιατί θα πρέπει να υπάρχει κι εδώ περιορισμός ωt+φ ≥ 0;
Καλημέρα Διονύση, σ’ ευχαριστώ.Ο λόγος που έκανα το σχόλιο ήταν αυτός ακριβώς που αναφέρεις.Όπως γράφεις, παλαιότερα προτιμούσαμε το (-π, +π], τώρα όπως αυτό δεν προκύπτει από κάπου.Ίσως αξίζει να τοποθετηθούν φίλοι και συνάδελφοι που βαθμολογούν για το πως το αντιμετωπίζουν, γιατί ως θέμα στην ουσία έχει ήδη τεθεί.
Υ.Γ Ξέρεις ότι δεν αντέχω να μην σε πειράξω.Όταν σηκώνεις το χέρι σου και το ξανακατεβάζεις στην αρχική του θέση το έργο της βαρυτικής δύναμης είναι μηδέν, παραμένει όμως το αίσθημα της κούρασης.(Ξέρω, το ταξίδι αξίζει…):-).
Να είσαι πάντα καλά , όπως και οι υπόλοιποι που συμμετείχατε στην συζήτηση,η εκτίμησή μου είναι περιττό να πω ότι είναι δεδομένη για όλους.
Καλή συνέχεια.
Διονύση και Ξενοφώντα καλημέρα.
Το θέμα που βάζετε σε συζήτηση, μπορεί να μην έχει φυσικό βάθος:-), αλλά περιγράφει ένα υπαρκτό πρόβλημα, που έχει να αντιμετωπίσει ο υποψήφιος. Η προσωπική μου γνώμη είναι ότι αν μπει στις εξετάσεις, θα βαθμολογηθεί θεωρώντας σωστές και τις δύο εκδοχές!
Υπάρχει πράγματι πρόβλημα, με τις τιμές που μπορεί να πάρει η αρχική φάση. Αν δούμε το σχολικό βιβλίο, εδώ, θα παρατηρήσουμε ότι δεν ορίζει τι τιμές μπορεί να πάρει η αρχική φάση. Δεν έχει πει ούτε από 0-2π, ούτε από -π έως π, ούτε κάτι άλλο. Θα μπορούσε κάποιος να υποστηρίξει ότι η αρχική φάση παίρνει τιμή φο=48,5π και δεν βλέπω, με όσα έχει το βιβλίο, γιατί θα πρέπει να θεωρηθεί λανθασμένη απάντηση…
Προσωπικά τάσσομαι στη λογική 0-2π, με την έννοια ότι έχει φυσικό περιεχόμενο, τη στιγμή t=0 το σώμα να περνά από κάποια άλλη θέση και όχι από τη θέση x=0 και αν βάλουμε στη συζήτηση τα περιστρεφόμενα! μετρώντας τη γωνία, όπως και στα μαθηματικά, να την μετρήσουμε μόνο με θετικές τιμές.
Όμως το ίδιο το βιβλίο, έρχεται στη συνέχεια στη σύνθεση και δίνει ασκήσεις με αρνητικές τιμές αρχικής φάσης. Εδώ σε ερώτηση μαθητή, γιατί κύριε αρνητική αρχική φάση, τι νόημα έχει, νομίζω ότι υπάρχει ένα προβληματάκι στη δικαιολόγηση….
Ερχόμαστε μετά στα κύματα και βρίσκουμε μέχρι πού έχει διαδοθεί το κύμα, λέγοντας μηδενίστε την φάση, αφού δεν έχει νόημα η αρνητική φάση!!!
Το ελάχιστον που προκύπτει είναι μια ασυνέπεια στη σκέψη μας και σε αυτό που διδάσκουμε.
Αν θέλουμε να έχουμε μια ενιαία λογική, είμαστε υποχρεωμένοι να πούμε και στις δύο περιπτώσεις το ίδιο πράγμα. Αλλά τότε καταλήγουμε να κάνουμε “κωδικοποίηση” και δικαιώνεται πλήρως στο πρώτο του σχόλιο ο Ξενοφών!!!
Πάψαμε να διδάσκουμε φυσική και είμαστε ήδη στο άλλο γήπεδο:-)
Καλημέρα Ξενοφώντα και Διονύση.
Ξενοφώντα δίκιο έχεις για το ταξίδι 🙂
Συνάδελφοι δεν έχω πρόβλημα με το [0. 2π) ή όποιο άλλο διάστημα για την αρχική φάση.
(Αρκεί να καλύπτει μια περιοχή 360 μοιρών για να καλύπτουμε όλες τις αρχικές συνθήκες)
Ο λόγος που έθεσα το θέμα ήταν ότι στη λύση του study4exams θεωρούν ότι η ταλάντωση αρχίζει όχι τη στιγμή μηδέν, αλλά από τη στιγμή που η φάση της αρχίζει να παίρνει θετικές τιμές.
Από που προκύπτει κάτι τέτοιο;
Καλημέρα ξενοφώντα και Διονύση Μπορεί να δικαιολογηθεί Διονύση αν η σύζευξη ξεκινά με τον μηδενισμό της φάση ,δηλαδή οτι η δεύτερη μπαίνει στο παιχνίδι αργότερα.αρα μέχρι τότε X=X1;
Αυτό ακριβώς είναι το ερώτημα Νίκο, γιατί η 2η μπαίνει αργότερα στο παιχνίδι;
Αν έχουμε π.χ. χ1=Α1ημωt και χ2=Α2ημ(ωt-π/3), η 2η εμφανίζεται σαν προσθετέος για t>Τ/6;
Για ποιό λόγο;
Νίκο και Διονύση καλό μεσημέρι.Απαντώ με καθυστέρηση , λόγω εργασίας.Διονύση αφού συμφωνήσω ότι το βιβλίο δεν παίρνει θέση, θα συμφωνήσω και στο ερώτημα που θέτεις για το γιατί πρέπει η ταλάντωση να αρχίζει , όταν η φάση γίνεται θετική. Νομίζω ότι θα ξαναβρεθούμε στο ερώτημα αν στο αρμονικό κύμα , όταν σχεδιάζουμε τη φ=φ(t) για την ταλάντωση ενός σημείο που βρίσκεται στη θέση x=x1 πρέπει να σχεδιάζουμε την ευθεία(νοητή, διακεκομμένη) μέχρι την αρνητική τιμή -2πχ1/λ.
Καλημέρα Ξενοφώντα 🙂
Το καταλαβαίνω για το κύμα, υπάρχει πραγματική αιτία που η ταλάντωση του σημείου χ1 δεν ξεκινά για t=0 αλλά αργότερα, όταν φτάσει εκεί το μέτωπο του κύματος.
Αλλά σε μια ταλάντωση;
Για ποιό λόγο, βλέποντας μια εξίσωση χ=Αημ(ωt-π/3) θα πρέπει να συμπεράνω χωρίς άλλη πληροφόρηση ότι το σώμα αρχίζει να κινείται μετά τη στιγμή Τ/6;
Στο σχολικό δεν μπαίνει πουθενά κάποιος περιορισμός να παίρνει η φάση θετικές μόνο τιμές.
Νομίζω ότι κάνουν αυθαίρετη παραδοχή στο study4exams θεωρώντας κάτι τέτοιο.
Διονύση έστω :1.σε διάγραμμα φ-t δίνονται 2 γραφικές παραστάσεις με την μια να αρχίζει την t=0 με φ=π/6 και η άλλη να αρχίζει με t=0,2 και φ=0. Έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνση ,άρα ίδιο ω.Πως μπορούμε να εκφράσουμε αυτή τη χρονική καθυστέρηση ;
2.Στο σχήμα 1.34 του σχολικού σελίδα 25 που δίνεται πειραματικός τρόπος σύνθεσης(για μένα λανθασμένα αφού δεν μπορεί η κίνηση της λείας πλατφόρμας να επηρεάσει την κίνηση του σώματος) πως θα εκφράσουμε κινηματικά την περίπτωση που περιγράφεται οτι την t=0 αρχίζει με D=Κ1+Κ2 και αργότερα κινείται και η πλατφόρμα ώστε να υπάρχει σύζευξη;
Σχόλιο από τον/την Δρακόπουλος Διονύσιος στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 12:58
Καλημέρα σε όλους.
Οι λύσεις που πρότεινα για τα δυο θέματα από το study4exams, υπάρχουν στη σελίδα μου (δε γνωρίζω αν μπορείτε να τη δείτε ή αν πρέπει να τα αναρτήσω ξανά).
Έχω προσπαθήσει να έρθω σε επικοινωνία με συναδέλφους που είναι στην Κ.Ε.Γ.Ε. γιατί θέλω υπεύθυνες απαντήσεις για τις τιμές που θεωρούν ότι παίρνει η αρχική φάση. Δυστυχώς, ήταν άκαρπες. Επίσης έχω στείλει email στο stydy4exams, (και για άλλα θέματα) αλλά καμία απάντηση.
Στις λύσεις που έδωσα, δέχτηκα ότι φο ε [0,2π).
Από το φίλο Χρήστο Ελευθερίου δίνεται και ο επόμενος τρόπος λύσης. Για τον οποίο τον ευχαριστούμε.
Συγνώμη Ξενοφώντα αμέλησα να σε ευχαριστήσω για την ανάρτησή σου ,που με βοηθά πάρα πολύ
Διονύση (Δρακ.) καλημέρα
Το αρχείο pdf που έχεις ΕΔΩ είχα στο μυαλό μου.
Η λύση αυτή είναι από το study4exams ή την προτείνεις εσύ;
Η μία από τις δύο εξισώσεις είναι η:
χ1=0,4ημ(2πt-π/6)
και γράφεις ότι:
“πρέπει η φάση της να είναι θετική, δηλαδή 2πt-π/6≥0 → t≥(1/12)sec
Έχει δηλαδή νόημα να τη μελετήσουμε μετά τη στιγμή αυτή …”
Αυτή ακριβώς είναι η απορία μου,
Γιατί όχι από την αρχή; Δεν άρχισε η κίνηση τη στιγμή t=0;
Γιατί θα πρέπει να είναι θετική η φάση της;
Νίκο δεν πειράζει, έτσι όπως “τρέχουμε” όλοι…
Να είσαι καλά.
Γεια σου Ξενοφών. Πάντα με κάτι ξεχωριστό στο μανίκι βρίσκεσαι κοντά μας.
Θα παρακαλούσα, αν βέβαια το θες και συ, να επισημάνεις κάτι που το θεωρώ πάρα πολύ σημαντικό για τη συνείδησή μας ως Φυσικών:
Η παράγραφος 1.7 του σχολικού είναι λάθος. Η σύνθεση α.α.τ. ίδιας διεύθυνσσης και ίδιας συχνότητας και ίδιας ΘΙ, δεν είναι φαινόμενο!
Η σύνθεση αυτή είναι κάτι χωρίς κανένα νόημα, προς το οποίο μας εξωθεί το σχολικό βιβλίο,το οποίο
υποχρεωνόμαστε να διδάξουμε όπως είναι,
αλλά που ως Φυσικοί πρέπει να ξέρουμε ότι είναι λάθος και συνεπώς ότι διδάσκουμε λάθη.
Δες αυτή μου την ανάρτηση
http://ylikonet.gr/group/themata/forum/topics/3647795:Topic:135199?…
ή αν δεν βαριέσαι δες όλη την κουβέντα που έγινε τότε
http://ylikonet.gr/group/themata/forum/topics/3647795:Topic:135199
…………….
Κοντολογίς θα νόμιζα ότι είναι καλύτερο ή να επισημάνεις τα παραπάνω που λέω ή να αφαιρέσεις το “απλών” από την εργασία σου.
Αλλά αυτό που σου λέω δεν παύει να είναι μια απλή γνώμη. Η γνώμη μου…
Τίποτε περισσότερο…
Να είσαι καλά Ξενοφών
.
Σχόλιο από τον/την Δρακόπουλος Διονύσιος στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 17:44
Διονύση (Μητρ) καλησπέρα.
Τη λύση την προτείνω εγώ.
Η συλλογιστική μου στηρίζεται στο ότι στον τύπο της φάσης φ=ωt, είναι ω>0 και t>0.
Υ.Γ.1 Εχω μεγάλη πίεση χρόνου. Και πιθανόν να καθυστερήσω να απαντήσω σύντομα. Σήμερα τελειώνω στις 11 το βράδυ. Πάντως, θεωρώ ότι όλα τα προβλήματα ξεκινούν από το ότι δεν καθορίζεται στο σχολικό βιβλίο ποιες τιμές μπορεί να έχει η αρχική φάση.
Υ.Γ. 2 Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον.
Συμφωνώ απολύτως με τους Διονύση (Μα και Μη).
Όταν γράφουμε μια συνάρτηση ή μελετάμε ένα φαινόμενο με μια συνάρτηση, βάζουμε πεδίο ορισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής και όρια μεταβολής παραμέτρων.
Σε μια ταλάντωση συνηθίζεται να βάζουμε t>=0 και η φο σε διάστημα που να καλύπτει έναν κύκλο, όποιον θες. Εγώ προτιμώ όπως είπε και ο Διονύσης (Μα) το [0,2π)
Κάντε ό,τι θέλετε με το φο, αρκεί να είναι σε διάστημα ενός κύκλου.
Η φάση μιας ταλάντωσης δεν έχει επομένως καμιά υποχρέωση να είναι θετική.
Τί με νοιάζει για τη φάση, αφού έχω βάλει τις βαλβίδες μου μέσω του πεδίου ορισμού του t και της φο;
Η επιλογή του [0,2π)μας γλιτώνει από πολλά..
Το σχολικό ως συνήθως δεν κάνει καθόλου καλά τη δουλειά του και μας οδηγεί σε ασυνέπειες.
Δεν ξεκαθαρίζει τί θέλει για την φο. Σε ποιο διάστημα θέλει να μεταβάλλεται…
Θα μπορούσα να πάρω τη φο μέσα στο [-502π, -500π) και τον t>=0 όπως συνηθίζεται. Έχω κάθε δικαίωμα… Το πρόσημο της φάσης στις ταλαντώσης μου είναι εντελώς αδιάφορο…
Θρασύβουλε καλησπέρα. Η απάντησή μου δίνεται καθυστερημένα λόγω εργασίας.
Πριν πω οτιδήποτε θέλω να σε διαβεβαιώσω ότι έχω διαβάσει το βιβλίο σου και τη θέση σου για το συγκεκριμένο θέμα. Όπως ήδη διαπίστωσες αφαίρεσα από τον τίτλο της ανάρτησης τον όρο «απλών», όχι γιατί μου το ζήτησες, αλλά γιατί συμφωνώ ότι ο όρος «απλή αρμονική ταλάντωση» απαιτεί τη γνωστή διαφοροποίηση. Θέλω επίσης να σου πω ότι έχω συμφωνήσει με το συμπέρασμα που προέκυψε από παλαιότερη συζήτηση σε σχέση με το παράδειγμα του σχολικού βιβλίου (σχήμα 1.34) που παρατίθεται ως παράδειγμα σύνθεσης ταλαντώσεων.
Τώρα όμως πρέπει να ακούσεις και την προσωπική μου άποψη που είναι ότι, όταν ο τυμπανικός υμένας του αφτιού μας πάλλεται υπό την επίδραση δύο ήχων, εγώ δυσκολεύομαι να πω ότι δεν υπάρχει φαινόμενο.
Έρχομαι τώρα στο πιο δύσκολο σημείο της απάντησής μου. Η επαγγελματική μου ιδιότητα είναι γνωστή. Τα τελευταία χρόνια η πραγματικότητα έχει αλλάξει για όλους μας. Στο ακροατήριό μου υπάρχει ο γιος του άνεργου της ναυτεπισκευαστικής ζώνης και η κόρη της απολυμένης από το super market. Είναι παιδιά τα οποία θέλουν να σπουδάσουν χωρίς να μπορούν να μετακινηθούν σε άλλη πόλη. Μετά από τόσα χρόνια σ’ αυτόν το χώρο αισθάνομαι ιδιαίτερη ευθύνη απέναντί τους και σε σχέση με την προετοιμασία τους για τις εξετάσεις. Η αναφορά μου αυτή δε γίνεται για να δώσω μελοδραματικό χαρακτήρα στην απάντησή μου, δεν το συνηθίζω. Εκτιμώ τη στάση σου, αλλά εγώ δεν μπορώ να παραιτηθώ από αυτό που κάνω. Ξέρεις καλύτερα από εμένα ότι το περιεχόμενο του σχολικού βιβλίου δεν αμφισβητείται σε επίπεδο εξετάσεων (Σε επίρρωση των όσων λέω κοίταξε στη διατύπωση του θέματος των Επαναληπτικών Εξετάσεων του 2012 που παραθέτω στο σχόλιο της ανάρτησης). Προσωπικά με υπερβαίνει η ευθύνη να τους πω μη γράψετε αυτά που λέει το σχολικό βιβλίο, προσπαθώ να κάνω τη δουλειά μου διατηρώντας το μεγαλύτερο δυνατό σεβασμό γι’ αυτό που σπούδασα. Όταν όμως οι αναφορές στα κακώς κείμενα είναι τόσο πολλές (απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτος φθίνουσας, εξαναγκασμένη, σύνθεση ταλαντώσεων, κύμα που δεν είναι κύμα, προβλήματα στην εφαρμογή του Doppler, κλπ) στο τέλος κλονίζεται η πεποίθηση του μαθητή ότι μπορεί να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις των εξετάσεων γιατί πιθανώς υποθέτει ότι αυτό που του διδάσκουμε (συγχώρεσέ μου τον αγγλισμό) δεν είναι physics αλλά might have been physics.
Είναι από τις φορές που σκέφτομαι ότι ο αναχωρητισμός είναι πιο εύκολος από την αντιμετώπιση της πραγματικότητας. Μην το εκλάβεις ως υπαινιγμό εναντίον σου. Έλα στη θέση ενός παιδιού 17 χρονών που επειδή ενδιαφέρεται για τη Φυσική και την προετοιμασία του για τις εξετάσεις παρακολουθεί το ylikonet και διαπιστώνει ότι την ώρα που εγώ «σβήνω» τον όρο «απλών», σε παρακείμενη ανάρτηση ο Διονύσης Μάργαρης καλείται να εξηγήσει γιατί δεν κάνει το αντίθετο. Εσύ τι θα σκεφτόσουν;
Με εκτίμηση, Ξενοφώντας.
Ξενοφών το σχολικό θα διδάξουμε και θα κάνεις υποχρεωτικά αυτό που κάνω και εγώ. Θα διδάξουμε αυτό που λέει το σχολικό. Αλλά ως Φυσικοί είμαστε υποχρεωμένοι να ξέρουμε το σωστό και το ποσοστό βιασμού μας από τις ασχετοσύνες του σχολικού…
Ποτέ δε με απασχόλησε η θέση ενός παιδιού, γιατί η θέση του είναι δεδομένη απέναντί μας:
Το σχολικό και μόνο το σχολικό πρέπει να διδάξουμε…
Η θέση των Φυσικών με προβλημάτισε που πρέπει επιτ’ελους να καταλάβουν τί διδάσκουνε…
Δε με νοιάζει πια Ξενοφών τί θα διδάξουμε αλλά η στάση των Φυσικών που πρέπει να κάταλάβουνε πόσα λάθη διδάσκουμε..
.
Σχόλιο από τον/την Δρακόπουλος Διονύσιος στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 21:07
Θρασύβουλε, καλησπέρα.
Συμφωνώ μαζί σας.
Ο λόγος που με οδήγησε να επιλέξω t>=1/12s ήταν ότι αντικαθιστώντας t=0 στη φάση προκύπτει αρνητική τιμή και σκοντάφτει στο ότι είχα δεχτεί ότι φο ε [0,2π).
Όχι Διονύση (Δρα). Η φάση δεν έχει καμιά αξία προσδιορισμού. Η συνάρτηση έχει αξία… Μέσα από το το πεδίο ορισμού του t και τους περιορισμούς των παραμέτρων φο, Α και ω, αποκτούν αξία συνέπειας όλα..
Δε με νοιάζει αν η φάση στις ταλαντώσεις αν είνια αρνητική ή θετική.
Και αν Θρασύβουλε δεν έχει δοθεί, καλώς ή κακώς το πεδίο ορισμού;
Μήπως αυτό που λέει ο Διονύσης (ΔΡΑ) είναι ένας έμμεσος τρόπος να καθοριστεί το πεδίο ορισμού;
Σχόλιο από τον/την Δρακόπουλος Διονύσιος στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 21:39
Θρασύβουλε, το πρόβλημα είναι ότι αυτά δεν καθορίζονται πουθενά στο σχολικό βιβλίο.
Πρέπει, ωστόσο, κάποιος εκ μέρους του υπουργείου παιδείας να δώσει “διορθώσεις” σε όλες αυτές τις ασάφειες.
Σχόλιο από τον/την ΜΑΝΩΛΗΣ ΔΡΑΚΑΚΗΣ στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 22:32
Ξενοφώντα καλησπέρα.
Εργασία πλήρης και σαφής.
Δηλώνω , οπαδός του 6ου τρόπου.
Σχετικά με το θέμα της αρχικής φάσης , είναι απλά μια σταθερά , που επηρεασμένος από την ξένη βιβλιογραφία την αποκαλώ σταθερά φάσης , συμφωνούμε όλοι νομίζω , για τις τιμές που μπορεί να πάρει στα πλαίσια ενός κύκλου , όταν μελετούμε μια και μόνο ταλάντωση, καλό είναι όμως να κωδικοποιούμε τα πράγματα για τους μαθητές.
Συμφωνώ με αρκετούς συναδέλφους που τοποθετήθηκαν πριν.
Σε περίπτωση λοιπόν που μελετάμε δυο ή περισσότερες ταλαντώσεις που εξελίσσονται ταυτόχρονα, η αρνητική σταθερά φάσης σε εξίσωση απομάκρυνσης – χρόνου , είναι νόμιμη, κι έχει το νόημα ότι η συγκεκριμένη ταλάντωση , καθυστερεί σε σχέση με μια άλλη που την παίρνουμε ως ταλάντωση αναφοράς.
Έτσι , από την σύνθεση ταλαντώσεων , φτιάχνουμε και μια γέφυρα για τα κύματα , όπου η σταθερά φάσης μπορεί να πάρει την οποιαδήποτε τιμή.
Τα στρεφόμενα βοηθάνε στην κατανόηση.
Καλησπέρα Μανώλη, χαίρομαι που τα λέμε μετά από καιρό, σ΄ευχαριστώ.Συμφωνούμε λοιπόν όλοι στην ανάγκη κωδικοποίησης προς όφελος των μαθητών.
Να είσαι καλά.
Σχόλιο από τον/την Φιορεντίνος Γιάννης στις 20 Νοέμβριος 2013 στις 23:55
Καλησπέρα Ξενοφώντα.
Πλήρης, κατατοπιστική και εξαιρετικά χρήσιμη η εργασία σου!
Να είσαι πάντα καλά!
Σχόλιο από τον/την Στεργιάδης Ξενοφών στις 21 Νοέμβριος 2013 στις 0:20
Καλησπέρα Γιάννη(Φιορ), σ΄ευχαριστώ.Έκανα μια προσπάθεια να βρεθεί “κοινός τόπος”.
Καλό βράδυ.
Καλησπέρα συνάδελφοι
Ξενοφώντα εξαιρετική ( όπως πάντα ) δουλειά.
Κάποια σχόλια
Θεωρώ ότι το πρόβλημα θα είχε λυθεί άπαξ αν στην ύλη των μαθηματικών ήταν ο μετασχηματισμός της συνάρτησης ( που υπήρχε στο βιβλίο μαθηματικών της Β τάξης αλλά πάντα ήταν εκτός ύλης) f(x)=αημx+βσυνx στην ρημ(x+θ).
Μη έχοντας στην διάθεσή μας το κατάλληλο εργαλείο αρχίζουμε τα μαγειρέματα.
Νομίζω ότι ο αποτελεσματικότερος και ίσως ο γενικότερος τρόπος ( εξαιρώ τα στρεφόμενα) είναι ο 2ος και ο 3ος ( ουσιαστικά είναι ο ίδιοι).
Συζητώντας με μια μαθήτρια δοκίμασα την εφαρμογή του 5ου τρόπου στην εξής σύνθεση:
x=Aημ(ωt+π/3) + Α ημ(ωt + 11π/6)
Προφανώς επειδή τα πλάτη είναι ίσα μπορούμε να εφαρμόσουμε την σχέση ημα+ημβ=2…Ας προσποιηθούμε όμως ότι δεν είναι για να εφαρμόσουμε την μέθοδο.
Στην παραπάνω σύνθεση φ=φ2-φ1=3π/2
Επομένως Αολ=Asqrt(2).
εφθ=-1 και θ=-π/4 ή 3π/4. Η σωστή είναι η πρώτη.
Άρα x=Aολημ(ωt+π/3-π/4)
Δηλαδή π/3+θ = 15ο.
Στην πορεία εφαρμογής του τρόπου 5 θα εμφανιστεί το ημ15ο που είναι άγνωστο στους μαθητές.
Ακόμη και με τον τρόπο 3 οριακά γίνεται η επιλογή από τους μαθητές.
Ισχύει ότι x1(0)+x2(0) >0
Με θ=-π/4 προκύπτει ότι x(0)=Αολ ημ(15ο)>0
Με θ=3π/4 προκύπτει ότι x(0)=Aολ ημ(195ο)<0
Ο τέταρτος είναι ένα καλό τρυκ για να προσαρμοστούμε στο σχολικό, αλλά πως τον παρουσιάζουμε στους μαθητές; Τους εξηγούμε ότι είναι χρονική μετάθεση ή τους δίνουμε έτοιμο τον μετασχηματισμό 10t+ /3 =10t΄ ;
Όσον αφορά στην αρχική φάση μιας ταλάντωσης προσωπικά ακολουθώ την εξής πρακτική. Δεν αναφέρομαι καν στο εύρος τιμών της αρχικής φάσης.
Ας υποθέσουμε ότι ημφο= ½ και συνφο >0 ó φ0 =2κπ +π/6
Επομένως η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι
x=Aημ(ωt +2κπ+5π/6) => x=Aημ(ωt +5π/6)
Θα συμφωνήσω με τους Διονύσηδες ότι μια ταλάντωση με εξίσωση Αημ(ωt- π/6) δεν καθυστερεί υποχρεωτικά σε σχέση με μια ταλάντωση Αημ(ωt).
Άλλωστε οι όποιοι περιορισμοί πρέπει να μπαίνουν στο πεδίο ορισμού.
Βαγγέλη καλησπέρα, σ’ ευχαριστώ.Όπως πάντα καίριες οι παρατηρήσεις σου.
Σε σχέση με το παράδειγμα που θέτεις για την εφαρμογή του 5ου τρόπου πράγματι κατά την εφαρμογή του τρόπου προκύπτει ημ(π/3 +θ)=…(αριθμός που δεν αντιστοιχεί σε ημίτονο χαρακτηριστικού τόξου), σ’ αυτή την περίπτωση και εφόσον δεν έχει διδαχθεί ο τριγωνομετρικός μετασχηματισμός που αναφέρεις ,στην έκφραση της εξίσωσης που ζητείται δεν έχουμε παρά να γράψουμε x=2Aημ(ωt+τόξο(arc) ημ…).Δεν θέλω να αναφερθώ σε τριγωνομετρικές “πατέντες”( ημ30 =2ημ15συν 15 ή ημ45= ημ30συν 15 + συν30 ημ15 ),γιατί αφ΄ενός δεν διδάσκονται και αφετέρου προτιμώ τον μετασχηματισμό που περιγράφεις. Η απάντηση σ΄αυτό που θέτεις σε σχέση με τις δυνατότητες του συγκεκριμένου τρόπου είναι ότι ,εφόσον η επιλογή αριθμητικών δεδομένων είναι αυτή που περιγράφεις , εύλογα και η διατύπωση της ζητούμενης εξίσωσης θα γίνει με τον τρόπο που θα γράψει κάποιος που δεν οφείλει να ξέρει το ημ15. Νομίζω ότι η μαθήτρια που θα γράψει x=Aημ(ωt +π/ 12) εφαρμόζοντας το 2 τρόπο “κερδίζει τις εντυπώσεις” , αλλά και ο 5ος τρόπος “έχει κάνει τη δουλειά” , προφανώς λιγότερο κομψά.
Σε σχέση με τον 4ο τρόπο , όντως είναι τρυκ, αλλά νομίζω ότι μπορούμε να το εξηγήσουμε με χρονική μετάθεση.
Να είσαι καλά.
Σχόλιο από τον/την Τάσος Τζανόπουλος στις 22 Νοέμβριος 2013 στις 10:42
Ξενοφώντα, εμπνευσμένος από τον 5ο τρόπο σύνθεσης των ταλαντώσεων, που προτείνεις, και από τον 7ο τρόπο που προτείνει ο Χρήστος Ε., προτείνω να παρουσιάζουμε στους μαθητές μας το θέμα της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων με ίδια Θ.Ι, διεύθυνση και συχνότητα με τον εξής απλό τρόπο:
Αν x1= A1ημ(ωt +φ1) και x2 =Α2ημ(ωt+φ2) είναι οι εξισώσεις των επί μέρους ταλαντώσεων, τότε επειδή οι ταλαντώσεις διεξάγονται στην ίδια ευθεία, οι μετατοπίσεις x1και x2 μπορούν να προστεθούν αλγεβρικά και να δώσουν τη συνολική μετατόπιση xολ= x1+x2. Η σχέση αυτή ικανοποιείται μόνο όταν και η xολ μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω.
Έστω, λοιπόν, ότι xολ= A0λημ(ωt +θ), τότε:
A0λημ(ωt +θ)= A1ημ(ωt +φ1)+ Α2ημ(ωt+φ2).
Η σχέση αυτή πρέπει να ικανοποιείται για κάθε t. Θέτοντας ωt = 0 (ή π, ή 2π κ.λπ.) προκύπτει:
A0λημθ= A1ημφ1+ Α2ημφ2 (1)
Θέτοντας ωt = π/2 (ή 3π/2, ή 5π/2 κ.λπ.) έχουμε:
A0λσυνθ= A1συνφ1+ Α2συνφ2 (2)
Από τις (1) και (2) υπολογίζουμε το ημθ και το συνθ, άρα και τη γωνία θ [0 ως 2π)
(με τον περιορισμό φ1≤θ≤φ2).
Υψώνοντας στο τετράγωνο τις (1) και (2) και λαβαίνοντας υπόψη ότι ημ2θ + συν2θ = 1, έχουμε:
Α2ολ= Α21 +Α22+2Α1Α2(ημφ1ημφ2+συνφ1συνφ2)
Όμως το άθροισμα εντός της παρένθεσης ισούται με συν(φ1-φ2) και άρα:
Α2ολ= Α21 +Α22+2Α1Α2 συν(φ1-φ2) (3)
Απ’ όπου υπολογίζουμε το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης.
Βέβαια, στους μαθητές μου δείχνω και τον τρόπο με τα στρεφόμενα (διαδοχικά) διανύσματα γιατί θα τους χρειαστεί πολύ στις παραπέρα σπουδές τους, ειδικά στη συμβολή από δύο σχισμές και στην περίθλαση, όπου απαιτείται η σύνθεση ενός πολύ μεγάλου αριθμού αρμονικών με το χρόνο σχέσεων ίδιου πλάτους και συχνότητας.
x1=Αημ(ωt +φ)
x2=Αημ(ωt +φ+α)
x3=Αημ(ωt +φ+2α)
…………………………………….
XΝ=Αημ[ωt +φ+(Ν-1)α)]
Τάσο καλό μεσημέρι.Τώρα είδα το σχόλιο σου.Νομίζω ότι η σχέση xολ= x1+x2 ,
από την οποία αρχίζεις την απόδειξή σου ,είναι η αρχή της επαλληλίας , την οποία ο υποψήφιος στις εξετάσεις νομιμοποιείται να χρησιμοποιήσει επώνυμα.Κατά τα άλλα νομίζω ότι ο τρόπος που προτείνεις είναι καθόλα αποδεκτός.Για την χρήση των στρεφόμενων έχουν γίνει στο δίκτυο αυτό πολλές συζητήσεις με υπέρμαχους και πολέμιους.Προσωπικά την παραθέτω με τις απαραίτητες διευκρινήσεις.
Σ’ ευχαριστώ για την συνεισφορά σου στο θέμα.Να είσαι καλά.
Σχόλιο από τον/την Βασίλειος Γκάγκας στις 26 Νοέμβριος 2013 στις 15:14
Κοιτάξτε και την δική μου προσέγγιση στο θέμα:
(χωρίς περιστρεφόμενα διανύσματα).
http://theroadofphysics.blogspot.gr/2013/11/blog-post_26.html
Καλησπέρα Βασίλη.Σου απαντώ με καθυστέρηση διότι τώρα είδα την προσέγγισή σου.Διάβασα αυτό που προτείνεις και φυσικά είναι αποδεκτό.Εστιάζεις στη μη χρήση περιστρεφόμενων, είναι νομίζω θέμα προτίμησης, αλλά όπως θα είδες σε όλους τους τρόπους που παρουσιάζονται πρέπει να γίνεται διερεύνηση για την τιμή της θ,εκτός του 5ου όπου η ίδια η αρχή της επαλληλίας αποτελεί μέρος της λύσης και του 6ου όπου χρησιμοποιούνται τα περιστρεφόμενα.Στην τρίτη περίπτωση που παρουσιάζεις νομίζω ότι επαναδιατυπώνεις τον 4ο τρόπο με το μετασχηματισμό του χρόνου.
Αφού σ΄ευχαριστήσω για την συνεισφορά σου να σε καλοσωρίσω με τη σειρά μου και εγώ.